Nomor 6
Diketahui $ f(x) = 2x+5 $ dan $ g(x) = \frac{x-1}{x+4} $ . Jika $ (f \circ g) (a) = 5 $ , maka $ a = .... $
$\spadesuit \, $ Menentukan fungsi komposisinya
$\begin{align} (f\circ g) (x) & = f(g(x)) \\ & = f \left( \frac{x-1}{x+4} \right) \\ & = 2. \left( \frac{x-1}{x+4} \right) + 5 \\ (f\circ g) (x) & = \frac{7x+18}{x+4} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} (f\circ g) (a) & = 5 \\ \frac{7a+18}{a+4} & = 5 \\ 7a+18 & = 5(a+4) \\ 7a+18 & = 5a + 20 \\ a & = 1 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 1 . \heartsuit $
$\begin{align} (f\circ g) (x) & = f(g(x)) \\ & = f \left( \frac{x-1}{x+4} \right) \\ & = 2. \left( \frac{x-1}{x+4} \right) + 5 \\ (f\circ g) (x) & = \frac{7x+18}{x+4} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} (f\circ g) (a) & = 5 \\ \frac{7a+18}{a+4} & = 5 \\ 7a+18 & = 5(a+4) \\ 7a+18 & = 5a + 20 \\ a & = 1 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 1 . \heartsuit $
Nomor 7
Grafik fungsi $ y = ax^2+bx-1 $ memotong sumbu X di titik ($\frac{1}{2}, \, 0$) dan (1,0). Fungsi ini mempunyai nilai ekstrim ....
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ a $ , $ b $ dengan substitusi ke $ y = ax^2+bx-1 $
$(1,0) \rightarrow 0 = a.1^2 + b.1 - 1 \rightarrow a+b = 1 $ ...pers(i)
$(\frac{1}{2},0) \rightarrow 0 = a.(\frac{1}{2})^2 + b.\frac{1}{2} - 1 \rightarrow a+2b = 4 $ ...pers(ii)
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} a+2b = 4 & \\ a+b = 1 & - \\ \hline b = 3 & \end{array}$
pers(i) : $ a+b = 1 \rightarrow a+3 = 1 \rightarrow a = -2 $
Sehingga fungsinya menjadi : $ f(x) = -2x^2 + 3x - 1 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai ekstrimnya
$\begin{align} y_p & = \frac{D}{-4a} = \frac{b^2-4ac}{-4a} \\ y_p & = \frac{3^2-4.(-2).(-1)}{-4.(-2)} = \frac{1}{8} \end{align} $
karena nilai $ a = -2 $ (negatif), maka jenisnya maksimum.
Jadi, nilai ekstrimnya adalah maksimum sebesar $ \frac{1}{8} . \heartsuit$
$(1,0) \rightarrow 0 = a.1^2 + b.1 - 1 \rightarrow a+b = 1 $ ...pers(i)
$(\frac{1}{2},0) \rightarrow 0 = a.(\frac{1}{2})^2 + b.\frac{1}{2} - 1 \rightarrow a+2b = 4 $ ...pers(ii)
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} a+2b = 4 & \\ a+b = 1 & - \\ \hline b = 3 & \end{array}$
pers(i) : $ a+b = 1 \rightarrow a+3 = 1 \rightarrow a = -2 $
Sehingga fungsinya menjadi : $ f(x) = -2x^2 + 3x - 1 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai ekstrimnya
$\begin{align} y_p & = \frac{D}{-4a} = \frac{b^2-4ac}{-4a} \\ y_p & = \frac{3^2-4.(-2).(-1)}{-4.(-2)} = \frac{1}{8} \end{align} $
karena nilai $ a = -2 $ (negatif), maka jenisnya maksimum.
Jadi, nilai ekstrimnya adalah maksimum sebesar $ \frac{1}{8} . \heartsuit$
Nomor 8
Fungsi $ y = (x-2a)^2 + 3b $ mempunyai nilai minimum 21 dan memotong sumbu Y dititik yang berordinat 25. Nilai $ a + b $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Nilai minimum fungsi adalah 21, artinya $y_p = 21 $ dengan $ y_p = \frac{D}{-4a} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ b $ dari $ y_p $
$\begin{align} y & = (x-2a)^2 + 3b \\ y & = x^2-4ax+4a^2+3b \\ \rightarrow a = 1, \, b = -4a, \, c & = 4a^2 + 3b \\ y_p & = 21 \rightarrow \frac{b^2-4ac}{-4a} = 21 \\ \frac{b(-4a)^2-4.1.(4a^2+3b)}{-4.1} & = 21 \\ \frac{16a^2-4(4a^2+3b)}{-4} & = 21 \\ -4a^2 + 4a^2 + 3b & = 21 \\ 3b & = 21 \rightarrow b = 7 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Fungsi memotong sumbu Y dengan ordinat 25, artinya titiknya (0,25). Substitusi titik (0,25) dan $ b = 7 $ ke fungsi
$\begin{align} y & = (x-2a)^2 + 3b \\ 25 & = (0-2a)^2 + 3.7 \\ 25 & = 4a^2 + 21 \\ 4a^2 & = 4 \\ a^2 & = 1 \rightarrow a = \pm 1 \end{align}$
Sehingga diperoleh :
$ a = 1 , \, b = 7 \rightarrow a+b = 1 + 7 = 8 $
$ a = -1 , \, b = 7 \rightarrow a+b = -1 + 7 = 6 $
Jadi, nilai $ a+ b $ adalah 8 atau 6 . $\heartsuit $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ b $ dari $ y_p $
$\begin{align} y & = (x-2a)^2 + 3b \\ y & = x^2-4ax+4a^2+3b \\ \rightarrow a = 1, \, b = -4a, \, c & = 4a^2 + 3b \\ y_p & = 21 \rightarrow \frac{b^2-4ac}{-4a} = 21 \\ \frac{b(-4a)^2-4.1.(4a^2+3b)}{-4.1} & = 21 \\ \frac{16a^2-4(4a^2+3b)}{-4} & = 21 \\ -4a^2 + 4a^2 + 3b & = 21 \\ 3b & = 21 \rightarrow b = 7 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Fungsi memotong sumbu Y dengan ordinat 25, artinya titiknya (0,25). Substitusi titik (0,25) dan $ b = 7 $ ke fungsi
$\begin{align} y & = (x-2a)^2 + 3b \\ 25 & = (0-2a)^2 + 3.7 \\ 25 & = 4a^2 + 21 \\ 4a^2 & = 4 \\ a^2 & = 1 \rightarrow a = \pm 1 \end{align}$
Sehingga diperoleh :
$ a = 1 , \, b = 7 \rightarrow a+b = 1 + 7 = 8 $
$ a = -1 , \, b = 7 \rightarrow a+b = -1 + 7 = 6 $
Jadi, nilai $ a+ b $ adalah 8 atau 6 . $\heartsuit $
Nomor 9
Nilai dari $ \left| \frac{2x+7}{x-1} \right| \geq 1 $ dipenuhi oleh ....
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar : $ |x|^2 = x^2 $ dan $ p^2-q^2 = (p-q)(p+q) $
$\clubsuit \, $ Pertidaksamaan dikuadratkan
$\begin{align} \left| \frac{2x+7}{x-1} \right|^2 & \geq 1^2 \\ \left( \frac{2x+7}{x-1} \right)^2 & \geq 1^2 \\ \left( \frac{2x+7}{x-1} \right)^2 - 1^2 & \geq 0 \\ \left( \frac{2x+7}{x-1} -1 \right)\left( \frac{2x+7}{x-1} + 1 \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{2x+7-(x-1)}{x-1} \right)\left( \frac{2x+7+(x-1)}{x-1} \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{x+8}{x-1} \right)\left( \frac{3x+6}{x-1} \right) & \geq 0 \\ x=-8, \, x = 1 , \, x & = -2 \end{align}$
Jadi, solusinya $ HP = \{ x \leq -8 \vee -2 \leq x < 1 \vee x > 1 \} . \heartsuit$
$\clubsuit \, $ Pertidaksamaan dikuadratkan
$\begin{align} \left| \frac{2x+7}{x-1} \right|^2 & \geq 1^2 \\ \left( \frac{2x+7}{x-1} \right)^2 & \geq 1^2 \\ \left( \frac{2x+7}{x-1} \right)^2 - 1^2 & \geq 0 \\ \left( \frac{2x+7}{x-1} -1 \right)\left( \frac{2x+7}{x-1} + 1 \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{2x+7-(x-1)}{x-1} \right)\left( \frac{2x+7+(x-1)}{x-1} \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{x+8}{x-1} \right)\left( \frac{3x+6}{x-1} \right) & \geq 0 \\ x=-8, \, x = 1 , \, x & = -2 \end{align}$
Jadi, solusinya $ HP = \{ x \leq -8 \vee -2 \leq x < 1 \vee x > 1 \} . \heartsuit$
Nomor 10
Pertaksamaan $ \frac{x^2-2x-3}{x-1} \geq 0 $ mempunyai penyelesaian ....
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} \frac{x^2-2x-3}{x-1} & \geq 0 \\ \frac{(x-3)(x+1)}{x-1} & \geq 0 \\ x = 3, \, x = -1, \, x & = 1 \end{align}$
Jadi, solusinya adalah $ HP = \{ -1 \leq x < 1 \vee x \geq 3 \} . \heartsuit $
$\begin{align} \frac{x^2-2x-3}{x-1} & \geq 0 \\ \frac{(x-3)(x+1)}{x-1} & \geq 0 \\ x = 3, \, x = -1, \, x & = 1 \end{align}$
Jadi, solusinya adalah $ HP = \{ -1 \leq x < 1 \vee x \geq 3 \} . \heartsuit $
No 10 kok bukan x kurang dari samadengan -1 dan x lebih dari sama dengan 3yah??
BalasHapus