Soal yang Akan Dibahas
Diketahui ordinat titik puncak fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $
adalah 2. Jika $ f(2) = f(4) = 0 \, $ maka $ a + b + c = .... $
A). $-10 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ -4 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 6 $
A). $-10 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ -4 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 6 $
$\heartsuit $ Logika Berpikir
Dalam pengerjaan soal fungsi kuadrat UM UGM tahun 2015 kode 571 ini, kita akan menggunakan konsep yang ada pada fungsi kuadrat yaitu titik puncak dan menyusun fungsi kuadrat itu sendiri. Pertama yang kita lakukan adalah melengkapi titik puncaknya $(x_p,y_p) \, $ , kemudian kita susun fungsi kuadratnya dengan rumus $ y = a(x-x_p)^2 + y_p \, $ . Tentu untuk memudahkan, teman-teman harus menguasai dulu materi titik puncak dan menyusun fungsi kuadrat.
Dalam pengerjaan soal fungsi kuadrat UM UGM tahun 2015 kode 571 ini, kita akan menggunakan konsep yang ada pada fungsi kuadrat yaitu titik puncak dan menyusun fungsi kuadrat itu sendiri. Pertama yang kita lakukan adalah melengkapi titik puncaknya $(x_p,y_p) \, $ , kemudian kita susun fungsi kuadratnya dengan rumus $ y = a(x-x_p)^2 + y_p \, $ . Tentu untuk memudahkan, teman-teman harus menguasai dulu materi titik puncak dan menyusun fungsi kuadrat.
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ memotong sumbu X di $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ jika terpenuhi $ f(x_1) = f(x_2) = 0 $ .
*). Rumus titik puncak $(x_p , y_p ) $ :
$ x_p = -\frac{b}{2a} = \frac{x_1 + x_2}{2} $
dengan $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ adalah titik potong sumbu X.
*). Menyusun fungsi kuadrat diketahui titik puncak $(x_p,y_p) $
$ y = a(x-x_p)^2 + y_p $ .
*). Fungsi kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ memotong sumbu X di $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ jika terpenuhi $ f(x_1) = f(x_2) = 0 $ .
*). Rumus titik puncak $(x_p , y_p ) $ :
$ x_p = -\frac{b}{2a} = \frac{x_1 + x_2}{2} $
dengan $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ adalah titik potong sumbu X.
*). Menyusun fungsi kuadrat diketahui titik puncak $(x_p,y_p) $
$ y = a(x-x_p)^2 + y_p $ .
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ordinat titik puncak fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ adalah 2, artinya $ y_p = 2 $.
*). Diketahui $ f(2) = f(4) = 0 \, $ , artinya $ x_1 = 2 \, $ dan $ x_2 = 4 $
sehingga $ x_p = \frac{x_1+x_2}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 $
kita peroleh titik puncaknya : $ (x_p,y_p) = (3,2) $ .
*). Menyusun fungsi kuadrat dengan $ (x_p,y_p) = (3,2) \, $ dan $ f(2) = 0 $
$ \begin{align} y & = a(x-x_p)^2 + y_p \\ y & = a(x-3)^2 + 2 \, \, \, \, \, \, \, \text{[substitusi } f(2) = 0 ] \\ 0 & = a(2-3)^2 + 2 \\ 0 & = a + 2 \\ -2 & = a \\ y & = a(x-3)^2 + 2 \\ y & = -2(x^2 - 6x + 9) + 2 \\ y & = -2 x^2 +12x -18 + 2 \\ y & = -2 x^2 +12x -16 \end{align} $
dari bentuk $ f(x) = -2 x^2 +12x -16 \, $ sama dengan bentuk $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ sehingga kita peroleh nilai $ a = -2, \, b = 12, \, $ dan $ c = -16 $.
*). Menentukan hasilnya :
$ a + b + c = -2 + 12 + (-16) = -6 $
Jadi, nilai $ a + b + c = -6 . \, \heartsuit $
*). Ordinat titik puncak fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ adalah 2, artinya $ y_p = 2 $.
*). Diketahui $ f(2) = f(4) = 0 \, $ , artinya $ x_1 = 2 \, $ dan $ x_2 = 4 $
sehingga $ x_p = \frac{x_1+x_2}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 $
kita peroleh titik puncaknya : $ (x_p,y_p) = (3,2) $ .
*). Menyusun fungsi kuadrat dengan $ (x_p,y_p) = (3,2) \, $ dan $ f(2) = 0 $
$ \begin{align} y & = a(x-x_p)^2 + y_p \\ y & = a(x-3)^2 + 2 \, \, \, \, \, \, \, \text{[substitusi } f(2) = 0 ] \\ 0 & = a(2-3)^2 + 2 \\ 0 & = a + 2 \\ -2 & = a \\ y & = a(x-3)^2 + 2 \\ y & = -2(x^2 - 6x + 9) + 2 \\ y & = -2 x^2 +12x -18 + 2 \\ y & = -2 x^2 +12x -16 \end{align} $
dari bentuk $ f(x) = -2 x^2 +12x -16 \, $ sama dengan bentuk $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ sehingga kita peroleh nilai $ a = -2, \, b = 12, \, $ dan $ c = -16 $.
*). Menentukan hasilnya :
$ a + b + c = -2 + 12 + (-16) = -6 $
Jadi, nilai $ a + b + c = -6 . \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
Pembahasan di atas adalah salah satu alternatif penyelesaian yang bisa teman-teman pelajari untuk menyelesaikan soal ini. Ide yang perlu kita cermati adalah rumus mencari nilai $ x_p \, $ nya yaitu $ x_p = \frac{x_1+x_2}{2} \, $ yang kalau kita jabarkan akan kembali menjadi rumus awal yaitu $ x_p = -\frac{b}{2a} $ . Ingat rumus penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat $ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} $ .
Pembahasan di atas adalah salah satu alternatif penyelesaian yang bisa teman-teman pelajari untuk menyelesaikan soal ini. Ide yang perlu kita cermati adalah rumus mencari nilai $ x_p \, $ nya yaitu $ x_p = \frac{x_1+x_2}{2} \, $ yang kalau kita jabarkan akan kembali menjadi rumus awal yaitu $ x_p = -\frac{b}{2a} $ . Ingat rumus penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat $ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} $ .
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.