Jumat, 28 Juli 2017

Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ akar-akar persamaan $ x^2 - 2x + k = 0 $ dan $ 2x_1, x_2, x_2^2 - 1 $ adalah 3 suku berturutan suatu deret aritmetika dengan beda positif, maka $ x_1^2 + x_2^2 = .... $
A). $ 4 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 10 \, $ E). $ 12 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan ada persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $, maka operasi penjumlahan akar-akarnya adalah $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $
*). Ciri-ciri barisan aritmetika : Memiliki selisih sama.
Misalkan ada barisan $ x, y, z $ maka : $ y - x = z - y $
Beda barisannya : $ b = U_2 - U_1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Penjumlahan akar pada $ x^2 - 2x + k = 0 $ :
$ \begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-(-2)}{1} \\ x_1 + x_2 & = 2 \\ x_1 & = 2 - x_2 \, \, \, \, \, \text{...(i)} \end{align} $
*). Barisan aritmetika : $ 2x_1, x_2, x_2^2 - 1 $
Selisih sama dengan beda $ = x_2 - 2x_1 $
$ \begin{align} x_2 - 2x_1 & = (x_2^2 - 1 ) - x_2 \\ x_2^2 - 2x_2 + 2x_1 - 1 & = 0 \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusi (i) ke (ii) :
$ \begin{align} x_2^2 - 2x_2 + 2x_1 - 1 & = 0 \\ x_2^2 - 2x_2 + 2(2 - x_2) - 1 & = 0 \\ x_2^2 - 4x_2 + 3 & = 0 \\ (x_2 - 1)(x_2 - 3) & = 0 \\ x_2 = 1 \vee x_2 & = 3 \end{align} $
*). Menentukan barisannya dan bedanya :
-). $ x_2 = 1 \rightarrow x_1 = 2 - x_2 = 2 - 1 = 1 $
Beda $ = x_2 - 2x_1 = 1 - 2.1 = -1 $
(tidak memenuhi karena bedanya harus positif)
-). $ x_2 = 3 \rightarrow x_1 = 2 - x_2 = 2 - 3 = -1 $
Beda $ = x_2 - 2x_1 = 3 - 2.(-1) = 5 $
(memenuhi karena bedanya harus positif)
Sehingga nilai :
$ \begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = (-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 \end{align} $
Jadi, nilai $ x_1^2 + x_2^2 = 10 . \, \heartsuit $

Pembahasan Deret Log UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika dalam suatu deret berlaku
$ {}^3 \log x + {}^3 \log ^2 x + {}^3 \log ^3 x + .... = 1 $
maka nilai $ x $ adalah ....
A). $ \frac{1}{3} \, $ B). $ \frac{\sqrt{3}}{3} \, $ C). $ \sqrt{3} \, $ D). $ \frac{2}{9} \, $ E). $ \frac{1}{9} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jumlah deret geometri tak hingga : $ S_\infty = \frac{a}{1 - r} $
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan suku pertama ($a$) dan rasio ($r$) :
$ \begin{align} {}^3 \log x & + {}^3 \log ^2 x + {}^3 \log ^3 x + .... \\ a & = {}^3 \log x \\ r & = \frac{U_2}{U_1} = \frac{{}^3 \log ^2 x}{{}^3 \log x} = {}^3 \log x \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x $ :
$ \begin{align} {}^3 \log x + {}^3 \log ^2 x + ... & = 1 \\ S_\infty & = 1 \\ \frac{a}{1 - r} & = 1 \\ \frac{{}^3 \log x}{1 - {}^3 \log x} & = 1 \\ {}^3 \log x & = 1 - {}^3 \log x \\ 2{}^3 \log x & = 1 \\ {}^3 \log x & = \frac{1}{2} \\ x & = 3^\frac{1}{2} = \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ x = \sqrt{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Dua orang pergi nonton sepak bola ke suatu stadion. Stadion itu mempunyai 3 pintu dan mereka masuk lewat pintu yang sama tetapi keluar lewat pintu yang berlainan. Banyaknya cara mereka masuk dan keluar pintu stadion adalah ....
A). $ 60 \, $ B). $ 24 \, $ C). $ 20 \, $ D). $ 18 \, $ E). $ 9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Kaidah pencacahan (untuk aturan perkalian)
*). Misalkan kejadian pertama ada $ p $ cara dan kejadian kedua ada $ q $ cara, maka total cara adalah $ p \times q $ cara

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ada dua orang dan tiga pintu
*). Masuk lewat pintu yang sama:
cara masuk = 3 cara
(kedua orang bisa masuk lewat pintu I, atau pintu II, atau pintu III)
*). Keluar lewat pintu berlainan :
-). Misalkan orang pertama keluar dengan 3 pilihan pintu, maka orang kedua tersisa 2 pilihan pintu sehingga cara keluar sebanyak $ 3 . 2 = 6 $ cara.
*). Total cara masuk dan keluar :
$ \begin{align} = 3 \times 6 = 18 \end{align} $
Jadi, banyak cara masuk dan keluar adalah $ 18 \text{ cara } . \, \heartsuit $

Pembahasan Integral UM UGM 2007 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Perhatikan gambar di atas. Jika $ P\left( \frac{3}{2}, \frac{1}{2} \right) $ maka luas daerah terarsir adalah ....
A). $ \frac{1}{6} \, $ B). $ \frac{1}{3} \, $ C). $ \frac{5}{8} \, $ D). $ \frac{2}{3} \, $ E). $ \frac{3}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus Dasar Integral :
$ \int kx^n \, dx = \frac{k}{n+1} x^{n+1} + c $ dan $ \int k \, dx = kx + c $
*). Menentukan luas daerah menggunakan integral
Misalkan ada daerah yang dibatasi oleh dua kurva fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ seperti gambar berikut ini :
gambar 1.
Maka luas daerah tersebut dapat dihitung dengan rumus :
Luas $ = \int \limits_a^b [ f(x) - g(x)] dx $
(kurva atas kurang kurva bawah)
*). Persamaan garis melalui $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $ :
$ \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x - x_1}{x_2-x_1} $
*). Persamaan garis memotong sumbu X di $ ( b, 0 ) $ dan sumbu Y di $ ( 0,a) $ :
$ ax + by = a.b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :
 

*). Persamaan garis I melalui titi $ (x_1,y_1) = (0,0) $ dan $ (x_2 , y_2) = \left( \frac{3}{2}, \frac{1}{2} \right) $ :
$ \begin{align} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x - x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{y-0}{\frac{1}{2} - 0} & = \frac{x - 0 }{\frac{3}{2} - 0 } \\ 2y & = \frac{2x}{3} \\ y & = \frac{1}{3} x \end{align} $
*). Persamaan garis II memotong sumbu X dan sumbu Y :
$ \begin{align} 2x + 2y & = 4 \rightarrow x + y = 2 \rightarrow y = 2 - x \end{align} $
*). Titik potong garis II dan parabola :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 & = 2 - x \\ x^2 + x - 2 & = 0 \\ (x+2)(x-1) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 1 \end{align} $
*). Menghitung Luas Daerah Arsiran :
$ \begin{align} L & = \text{ Luas A } + \text{ Luas B} \\ & = \int \limits_0^1 ( x^2 - \frac{1}{3}x) dx + \int \limits_1^\frac{3}{2} (2-x) - \frac{1}{3}x \, dx \\ & = \int \limits_0^1 ( x^2 - \frac{1}{3}x) dx + \int \limits_1^\frac{3}{2}( 2 - \frac{4}{3}x) \, dx \\ & = ( \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{6}x^2)_0^1 + ( 2x - \frac{2}{3}x^2)_1^\frac{3}{2} \\ & = ( \frac{1}{3} .1^3 - \frac{1}{6}.1^2 ) + \left[ ( 2.\frac{3}{2} - \frac{2}{3}(\frac{3}{2})^2) - ( 2.1 - \frac{2}{3}.1^2) \right] \\ & = ( \frac{1}{3} - \frac{1}{6} ) + \left[ ( 3 - \frac{3}{2}) - ( 2 - \frac{2}{3} ) \right] \\ & = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} + 1 - \frac{3}{2} + \frac{2}{3} \\ & = \frac{2 - 1 + 6 - 9 + 4 }{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, luas daerah arsirannya adalah $ \frac{1}{3} . \, \heartsuit $