Jumat, 24 Maret 2017

Kode 246 Pembahasan Vektor SBMPTN Matematika IPA tahun 2016



Soal yang Akan Dibahas
Misalkan vektor $ p = \left( {}^2 \log x^c , \, 2, \, {}^2 \log x^{2c} \right) $ dan $ q = \left( {}^2 \log x, \, 2, \, {}^2 \log x^{2c^2} \right) $ dengan $ 0 < x < \infty $. Nilai $ c $ yang memenuhi syarat agar $ p $ dan $ q $ membentuk sudut tumpul berada pada interval .....
A). $ \left(0, \, \frac{4}{3} \right) \, $ B). $ \left(-\frac{4}{3}, \, 0 \right) \, $
C). $ \left(-\frac{4}{3}, \, \frac{4}{3} \right) \, $ D). $ \left(-\frac{1}{3}, \, \frac{4}{3} \right) \, $
E). $ \left(\frac{1}{3}, \, \frac{4}{3} \right) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar pada Vektor
*). Misalkan ada dua vektor
$ p = (p_1, \, p_2, \, p_3) \, $ dan $ q = (q_1, \, q_2, \, q_3 ) $
*). Perkalian dot $ p $ dan $ q $ ($p.q$) :
$ p.q = p_1.q_1 + p_2.q_2 + p_3.q_3 $
juga berlaku :
$ p.q = |p|. |q| \cos \theta $
Sehingga $ \cos \theta = \frac{p.q}{|p|.|q|} $
*). Panjang vektor $ p $ ($|p|$) :
$ |p| = \sqrt{p_1^2 + p_2^2 + p_3^2} $
*). Vektor $ p $ dan $ q $ membentuk sudut tumpul jika
$ -1 \leq \cos \theta \leq 0 \, $ atau $ -1 \leq \frac{p.q}{|p|.|q|} \leq 0 $

*). Sifat logaritma :
$ {}^a \log b^n = n {}^a \log b $
$ {}^a \log a = 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Untuk memudahkan dalam penyelesaian, kita pilih $ x = 2 $ yang memenuhi interval $ 0 < x < \infty $ , sehingga vektor $ p $ dan $ q $ menjadi :
$\begin{align} p & = \left( {}^2 \log x^c , \, 2, \, {}^2 \log x^{2c} \right) \\ & = \left( {}^2 \log 2^c , \, 2, \, {}^2 \log 2^{2c} \right) \\ & = \left( c{}^2 \log 2 , \, 2, \, 2c {}^2 \log 2 \right) \\ & = \left( c , \, 2, \, 2c \right) \\ q & = \left( {}^2 \log x, \, 2, \, {}^2 \log x^{2c^2} \right) \\ & = \left( {}^2 \log 2, \, 2, \, {}^2 \log 2^{2c^2} \right) \\ & = \left( 1, \, 2, \, 2c^2 {}^2 \log 2 \right) \\ & = \left( 1, \, 2, \, 2c^2 \right) \end{align} $
*). Menentukan $ p.q $ dan panjangnya
$\begin{align} p.q & = \left( c , \, 2, \, 2c \right). \left( 1, \, 2, \, 2c^2 \right) \\ & = c.1 + 2.2 + 2c. 2c^2 \\ & = 4c^3 + c + 4 \\ |p| & = \sqrt{c^2 + 2^2 + (2c)^2 } = \sqrt{5c^2 + 4 } \\ |q| & = \sqrt{1^2 + 2^2 + (2c^2)^2} = \sqrt{4c^4 + 5} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ c $ agar vektor $ p $ dan $ q $ membentuk sudut tumpul :
$\begin{align} -1 \leq & \frac{p.q}{|p|.|q|} \leq 0 \\ -1 \leq & \frac{4c^3 + c + 4}{\sqrt{5c^2 + 4 }.\sqrt{4c^4 + 5} } \leq 0 \end{align} $
Agar pertidaksamaan ini terpenuhi, maka :
Pertama,
$ 4c^3 + c + 4 \leq 0 \, $ yang akan terpenuhi untuk $ c < 0 $.
Kedua,
$\begin{align} 4c^3 + c + 4 & \geq -1 \\ 4c^3 + c + 5 & \geq 0 \, \, \, \, \text{(faktorkan)} \\ (c+1)(4c^2 - 4c + 5) & \geq 0 \end{align} $
terpenuhi untuk $ c \geq -1 $.
*). Sehingga solusinya adalah irisan dari kedua nilai $ c $ yaitu $ c < 0 $ dan $ c \geq -1 $
$\begin{align} \text{HP } & = \{ c \geq -1 \} \cap \{ c < 0 \} \\ & = \{ -1 \leq c < 0 \} \end{align} $
Sehingga nilai $ c $ yang memenuhi adalah $ \{ -1 \leq c < 0 \} $ yang juga ada pada interval $ \left( -\frac{4}{3}, 0 \right) $.
Jadi, Nilai $ c $ agar sudut kedua vekor sudut tumpul yaitu $ \left( -\frac{4}{3}, 0 \right) $ atau $ \{ -\frac{4}{3} < c < 0 \} . \, \heartsuit $

Catatan :
Jika $ x $ tidak diganti dengan nilai tertentu, akan sulit bagi kita untuk menyelesaikan soalnya. Namun teman-teman boleh mencoba tanpa menggantikan nilai $ x $ nya terlebih dahulu, tentu langkah-langkah pengerjaannya sama dengan cara di atas. Selamat mencoba.



Cara 2 : Kode 246 Pembahasan Luasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016



Soal yang Akan Dibahas
Luas daerah di antar kurva $ y = -3a+4 $ dan kurva $ y = x^2-3a $ selalu bernilai konstan, yaitu $ k$. Nilai $ k $ adalah ....
A). $ \frac{34}{3} \, $ B). $ \frac{32}{3} \, $ C). $ \frac{28}{3} \, $ D). $ \frac{16}{3} \, $ E). $ \frac{8}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Luasan Integral Tanpa Menggambar
Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh dua kurva yaitu parabola dan parabola atau parabola dan garis adalah :
Luas $ = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} $
dengan $ D = b^2 - 4ac $.

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 : Rumus Langsung
*). Samakan kedua fungsi
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - 3a & = -3a + 4 \\ x^2 & = 4 \\ x^2 - 4 & = 0 \\ a = 1, \, b = 0 , \, c & = -4 \\ D & = b^2 - 4ac \\ & = 0^2 - 4. 1 . (-4) \\ & = 16 \end{align} $
*). Luas daerah yang diarsir adalah $ k $ :
$\begin{align} \text{Luas } & = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} \\ k & =\frac{16\sqrt{16}}{6. 1^2} \\ & = \frac{32}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ k = \frac{32}{3} . \, \heartsuit $

Catatan :
Luas selalu bernilai konstan, artinya berapapun kita gantikan nilai $ a $, luas akan selalu sama yaitu sebesar $ k = \frac{32}{3} $.



Kode 246 Pembahasan Luasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016



Soal yang Akan Dibahas
Luas daerah di antar kurva $ y = -3a+4 $ dan kurva $ y = x^2-3a $ selalu bernilai konstan, yaitu $ k$. Nilai $ k $ adalah ....
A). $ \frac{34}{3} \, $ B). $ \frac{32}{3} \, $ C). $ \frac{28}{3} \, $ D). $ \frac{16}{3} \, $ E). $ \frac{8}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Luasan Integral
*). Rumus Dasar Integral :
$ \int kx^n \, dx = \frac{k}{n+1} x^{n+1} + c $ dan $ \int k \, dx = kx + c $
*). Menentukan luas daerah menggunakan integral
Misalkan ada daerah yang dibatasi oleh dua kurva fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ seperti gambar berikut ini :
Maka luas daerah tersebut dapat dihitung dengan rumus :
Luas $ = \int \limits_a^b [ f(x) - g(x)] dx $
(kurva atas kurang kurva bawah)


$\clubsuit $ Pembahasan Cara 1 : Konsep Luas Menggunakan Integral
*). Ilustrasi Gambar :
 

*). Titik Potong Kedua Kurva
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - 3a & = -3a + 4 \\ x^2 & = 4 \\ x & = \pm 2 \end{align} $
*). Luas daerah yang diarsir adalah $ k $ :
$\begin{align} \text{Luas } & = \int \limits_{-2}^2 [ (-3a + 4) - (x^2 - 3a) ] dx \\ k & = \int \limits_{-2}^2 ( 4 - x^2) \\ & = [4x - \frac{1}{3}x^3]_{-2}^2 \\ & = ( 4.2 - \frac{1}{3}.2^3) - ( 4.(-2) - \frac{1}{3}.(-2)^3) \\ & = ( 8 - \frac{8}{3}) - ( -8 + \frac{8}{3}) \\ & = \frac{32}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ k = \frac{32}{3} . \, \heartsuit $

Catatan :
Luas selalu bernilai konstan, artinya berapapun kita gantikan nilai $ a $, luas akan selalu sama yaitu sebesar $ k = \frac{32}{3} $.



Kamis, 23 Maret 2017

Kode 246 Pembahasan Turunan SBMPTN Matematika IPA tahun 2016



Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ f(x) = x^3 + 2x^2 + a $ dan $ g(x) = x + a $ berpotongan di sumbu-x, dengan $ a $ bilangan bulat. Nilai minimum dari $ f(x) $ di interval $ -1\leq x \leq 2 $ adalah ....
A). $ -\frac{4}{3} \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Nilai Minimum/maksimum
*). Nilai minimum suatu fungsi $ f(x) $ diperoleh pada saat $ f^\prime (x) = 0 $ dan untuk $ x $ pada interval batas yang diinginkan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ a $ :
*). Fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ berpotongan di sumbu X dengan $ a $ bilangan bulat, artinya $ f(x) $ dan $ g(x) $ memotong sumbu X di $ x $ yang sama.
*). $ g(x) $ memotong sumbu X, substitusi $ y = 0 $ :
$\begin{align} y = 0 \rightarrow g(x) & = x + a \\ 0 & = x + a \\ x & = -a \end{align} $
Artinya $ f(x) $ juga memotong sumbu X di $ x = -a $, substitusi $ x = -a $ ke $ f(x) $ :
$\begin{align} x = -a , \, y = 0 \rightarrow f(x) & = x^3 + 2x^2 + a \\ (-a)^3 + 2(-a)^2 + a & = 0 \\ -a^3 + 2a^2 + a & = 0 \\ a^3 - 2a^2 - a & = 0 \\ a(a^2 - 2a - 1) & = 0 \\ a = 0 \vee a^2 - 2a - 1 & = 0 \end{align} $
Bentuk $ a^2 - 2a - 1 = 0 $ tidak bisa difaktorkan langsung sehingga kita harus menggunakan rumus ABC, ini artinya nilai $ a $ nya tidak bulat lagi. Sehingga nilai $ a $ yang bulat yang memenuhi adalah $ a = 0 $ .
*). Fungsi $ f(x) $ nya menjadi :
$ f(x) = x^3 + 2x^2 + a = x^3 + 2x^2 + 0 \rightarrow f(x) = x^3 + 2x^2 $
*). Menentukan $ f^\prime (x) $ dan syarat nilai minimum $ f^\prime (x) = 0 $
$\begin{align} f(x) & = x^3 + 2x^2 \\ f^\prime (x) & = 3x^2 + 4x \\ \text{syarat } : \, f^\prime (x) & = 0 \\ 3x^2 + 4x & = 0 \\ x ( 3x + 4) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = - \frac{4}{3} \end{align} $
Karena interval yang diminta $ -1 \leq x \leq 2 $ , maka $ x = 0 \, $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ f(x) $ untuk $ x = 0 $ , batas interval yaitu $ x = -1 $ dan $ x = 2 $
$\begin{align} x = 0 \rightarrow f(0) & = 0^3 + 2 . 0^2 \\ & = 0 \\ x = -1 \rightarrow f(-1) & = (-1)^3 + 2 . (-1)^2 \\ & = 1 \\ x = 2 \rightarrow f(2) & = (2)^3 + 2 . (2)^2 \\ & = 16 \end{align} $
Jadi, nilai minimum $ f(x) $ pada interval $ -1 \leq x \leq 2 $ adalah $ 0 . \, \heartsuit $