Sabtu, 07 Januari 2017

Kode 245 Pembahasan Garis Singgung Lingkaran SBMPTN Matematika IPA tahun 2016



Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ g $ adalah garis singgung lingkaran $ x^2+y^2=25 $ di titik A(3,4). Jika garis singgung tersebut ditransformasikan dengan matriks rotasi $ \left( \begin{matrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right)$, maka absis dari titik potong antara garis singgung lingkaran dengan garis hasil transformasi adalah ....
A). $ \frac{7}{2} \, $ B). $ \frac{18}{5} \, $ C). $ 4 \, $ D). $ \frac{24}{5} \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Garis singgung Lingkaran dan Transformasi
*). Persamaan Garis singgung lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $ di titik $ (x_1,y_1) $ dengan $(x_1,y_1)$ ada pada lingkaran adalah $ x_1.x + y_1.y = r^2 $.
*). Transformasi Matriks :
$ \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = (MT) \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right)$
*). Sifat invers matriks :
$ A = BC \rightarrow C = B^{-1}.A $
*). Invers matriks :
$ D = \left(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow D^{-1} = \frac{1}{a.d - b. c } \left(\begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan garis singgung g pada lingkaran $ x^2 + y^2 = 25 $ di titik A(3,4)
$\begin{align} x_1.x+y_1.y & = r^2 \\ x_1.x+y_1.y & = 25 \\ 3x+4y & = 25 \end{align} $
*). Menentukan hasil transformasi garis g oleh matriks $\left(\begin{matrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right)$
$\begin{align} \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT) \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left(\begin{matrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left(\begin{matrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right)^{-1} \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \frac{1}{(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2} \left(\begin{matrix} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \frac{1}{1} \left(\begin{matrix} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left(\begin{matrix} \frac{3}{5}x^\prime - \frac{4}{5}y^\prime \\ \frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime \end{matrix} \right) \end{align} $
Sehingga kita peroleh :
$ x = \frac{3}{5}x^\prime - \frac{4}{5}y^\prime $ dan $ y = \frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime $
*). Substitusikan bentuk yang kita peroleh ke pesamaan awal g : $ 3x + 4y = 25 $ , sehingga kita peroleh bayangan (hasil transformasinya) :
$ \begin{align} 3x + 4y & = 25 \\ 3(\frac{3}{5}x^\prime - \frac{4}{5}y^\prime) + 4(\frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime) & = 25 \\ 3(\frac{3}{5}x - \frac{4}{5}y ) + 4(\frac{4}{5}x + \frac{3}{5}y ) & = 25 \\ \frac{9}{5}x - \frac{12}{5}y + \frac{16}{5}x + \frac{12}{5}y & = 25 \\ \frac{25}{5}x & = 25 \\ 5x & = 25 \\ x & = 5 \end{align} $
Jadi, absis perpotongannya adalah 5 $ . \, \heartsuit $



Cara 3 : Kode 245 Pembahasan Garis Singgung Kurva SBMPTN Matematika IPA tahun 2016



Soal yang Akan Dibahas
Garis singgung kurva $ y = 3 - x^2 $ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-Y di titik R. Nilai $ a $ yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ....
A). $ 2\sqrt{3} \, $ B). $ \sqrt{3} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{4}\sqrt{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Garis singgung kurva
*). Gradien garis singgung kurva di titik $ (x_1,y_1) $ adalah
$ m = f^\prime (x_1) $.
*). Suatu garis membentuk sudut sebesar $ \theta $ terhadap sumbu X positif, maka gradiennya bisa ditentukan dengan $ m = \tan \theta $.

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 3 : Gradien garis
*). Ilustrasi Gambar segitiga PQR nya :
 

Catatan : Untuk konstruksi gambarnya ini, teman-teman bisa lihat langkah-langkahnya pada pembahasan cara 1.
*). Menentukan gradien garis singgung yaitu garis PR dititik P($-a,b$) pada kurva $ y = 3 - x^2 $
Turunannya : $ f^\prime (x) = -2x $
Gradien garis singgung : $ m_{PR} = f^\prime (x_1) = f^\prime (-a) = -2.(-a) = 2a $
*). Karena PQR adalah segitiga sama sisi, maka besar sudut masing-masing adalah $ 60^\circ $. gradien garis PR juga bisa dicari dengan menggunakan tangen sudutnya atau $ m = \tan RPT $. Sehingga :
$ \begin{align} m_{PR} & = \tan RPT \\ 2a & = \tan 60^\circ \\ 2a & = \sqrt{3} \\ a & = \frac{1}{2} \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ a = \frac{1}{2}\sqrt{3} . \, \heartsuit $



Cara 2 : Kode 245 Pembahasan Garis Singgung Kurva SBMPTN Matematika IPA tahun 2016



Soal yang Akan Dibahas
Garis singgung kurva $ y = 3 - x^2 $ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-Y di titik R. Nilai $ a $ yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ....
A). $ 2\sqrt{3} \, $ B). $ \sqrt{3} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{4}\sqrt{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar rumus Trigonmetri
*). Rumus tangen : $ \tan \theta = \frac{depan}{samping} $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 : Rumus Tangen Sudut Segitiga
*). Ilustrasi Gambar segitiga PQR nya :
 

Catatan : Untuk konstruksi gambarnya ini, teman-teman bisa lihat langkah-langkahnya pada pembahasan cara 1.
*). Karena PQR adalah segitiga sama sisi, maka besar sudut masing-masing adalah $ 60^\circ $. Perhatikan segitiga RTQ :
Panjang RT $ = (2a^2 + b ) - b = 2a^2 $
Panjang TQ $ = a $
$ \begin{align} \tan RQT & = \frac{RT}{TQ} \\ \tan 60^\circ & = \frac{2a^2}{a} \\ \sqrt{3} & = 2a \\ a & = \frac{1}{2} \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ a = \frac{1}{2}\sqrt{3} . \, \heartsuit $



Kode 245 Pembahasan Garis Singgung Kurva SBMPTN Matematika IPA tahun 2016



Soal yang Akan Dibahas
Garis singgung kurva $ y = 3 - x^2 $ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-Y di titik R. Nilai $ a $ yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ....
A). $ 2\sqrt{3} \, $ B). $ \sqrt{3} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{4}\sqrt{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Garis singgung Kurva (PGS) Menggunakan Turunan
*). Persamaan Garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik ($x_1,y_1$) yaitu :
$ y - y_1 = m(x- x_1) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $.
*). Konsep Jarak :
Jarak dua titik ($x_1,y_1$) dan ($x_2,y_2$) adalah
Jarak $ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 1 : Panjang Sisi Sama
*). Menyusun PGS kurva $ y = 3 - x^2 $ di titik P($-a,b$) :
Turunannya : $ f^\prime (x) = -2x $
Gradien : $ m = f^\prime (x_1) = f^\prime (-a) = -2. (-a) = 2a $
PGS di titik $(x_1,y_1) = (-a,b) $ dan $ m = 2a $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x- x_1) \\ y - b & = 2a(x- (-a)) \\ y & = 2ax + 2a^2 + b \end{align} $
*). Titik potong PGS terhadap sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ :
$\begin{align} x = 0 \rightarrow y & = 2ax + 2a^2 + b \\ y & = 2a . 0 + 2a^2 + b \\ y & = 2a^2 + b \end{align} $
Sehingga titik potong sumbu Y nya adalah R($0, 2a^2 + b$).
*). Konstruksi Gambar segitiga PQR nya :
 

*). Karena PQR adalah segitiga sama sisi, maka panjang ketiga sisinya sama :
$ \begin{align} \text{panjang QR } & = \text{ panjang PQ} \\ \sqrt{ (x_R - x_Q)^2 + (y_R-y_Q)^2} & = \sqrt{(x_Q-x_P)^2 + ( y_Q-y_P)^2} \\ \sqrt{ (0 - a)^2 + [(2a^2 + b) - b ]^2} & = \sqrt{(a - (-a))^2 + ( b - b)^2} \\ \sqrt{ a^2 + 4a^4} & = \sqrt{4a^2 + 0} \\ \sqrt{ a^2 + 4a^4} & = \sqrt{4a^2 } \\ a^2 + 4a^4 & = 4a^2 \\ 4a^4 & = 3a^2 \\ 4a^2 & = 3 \\ a^2 & = \frac{3}{4} \\ a & = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} \\ a & = \pm \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align} $
Nilai $ a $ positif, sehingga yang memenuhi : $ a = \frac{1}{2}\sqrt{3} $.
Jadi, nilai $ a = \frac{1}{2}\sqrt{3} . \, \heartsuit $