Cara 2 Pembahasan Mutlak SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 345

Soal yang Akan Dibahas
Semua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ x^2-2x-5|x-1|+7 < 0 \, $ adalah ....
A). $ -4 < x < -3 \, $ atau $ -2 < x < -1 $
B). $ -4 < x < -3 \, $ atau $ 1 < x < 2 $
C). $ -2 < x < -1 \, $ atau $ 0 < x < 4 $
D). $ -2 < x < -1 \, $ atau $ 3 < x < 4 $
E). $ -2 < x < -1 \, $ atau $ 3 < x < 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan pertidaksamaan, salah satu cara yaitu menggunakan metode substitusi angka (metode SUKA).

$\clubsuit $ Pembahasan
$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=1,5 \Rightarrow x^2-2x-5|x-1|+7 & < 0 \\ (1,5)^2-2.(1,5)-5|1,5-1|+7 & < 0 \\ 2,25-3-2,5+7 & < 0 \\ 3,75 & < 0 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=1,5$ SALAH, opsi yang salah adalah B dan C.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=4 \Rightarrow x^2-2x-5|x-1|+7 & < 0 \\ 4^2-2.4-5|4-1|+7 & < 0 \\ 16-8-15+7 & < 0 \\ 0 & < 0 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=4$ SALAH, opsi yang salah adalah E.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=3,5 \Rightarrow x^2-2x-5|x-1|+7 & < 0 \\ (3,5)^2-2.(3,5)-5|3,5-1|+7 & < 0 \\ 12,25-7-12,5+7 & < 0 \\ -0,25 & < 0 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=3,5$ BENAR, opsi yang salah adalah A.
Sehingga yang benar adalah opsion D (yang tersisa).
Jadi, solusinya adalah $ -2 < x < -1 \, $ atau $ 3 < x < 4 . \heartsuit$

Pembahasan Pertidaksamaan Mutlak SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 345

Soal yang Akan Dibahas
Semua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ x^2-2x-5|x-1|+7 < 0 \, $ adalah ....
A). $ -4 < x < -3 \, $ atau $ -2 < x < -1 $
B). $ -4 < x < -3 \, $ atau $ 1 < x < 2 $
C). $ -2 < x < -1 \, $ atau $ 0 < x < 4 $
D). $ -2 < x < -1 \, $ atau $ 3 < x < 4 $
E). $ -2 < x < -1 \, $ atau $ 3 < x < 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Nilai Mutlak
*). Definisi Nilai Mutlak
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x), & f(x) \geq 0 \\ & \, \text{ atau } \\ -f(x), & f(x) < 0 \end{array} \right. $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah nilai mutlak $ | x - 1| $ berdasarkan definisi mutlak :
$ |x - 1| = \left\{ \begin{array}{cc} x-1, & x-1 \geq 0 \rightarrow x \geq 1 \\ & \, \text{ atau } \\ -(x-1), & x - 1 < 0 \rightarrow x < 1 \end{array} \right. $
Artinya bentuk $ |x - 1 | $ dibagi menjadi dua berdasarkan batas nilai $ x $ yaitu $ x \geq 1 $ atau $ x < 1 $.
*). Menyelesaikan pertidaksamaan berdasarkan batas $ x $ :
-). Untuk $ x \geq 1 $ , maka $ |x-1| = x - 1 $
$ \begin{align} x^2-2x-5|x-1|+7 & < 0 \\ x^2-2x-5(x-1)+7 & < 0 \\ x^2-2x-5x + 5+7 & < 0 \\ x^2-7x + 12 & < 0 \\ (x - 3)(x - 4) & < 0 \\ x = 3 \vee x & = 4 \end{align} $
garis bilangan pertama :
 

Solusi pertaman : HP1 = $ \{ 3 < x < 4 \} $
-). Untuk $ x < 1 $ , maka $ |x-1| = -(x - 1) = -x + 1 $
$ \begin{align} x^2-2x-5|x-1|+7 & < 0 \\ x^2-2x-5(-x+1)+7 & < 0 \\ x^2-2x+5x - 5+7 & < 0 \\ x^2 + 3x + 2 & < 0 \\ (x + 2)(x + 1) & < 0 \\ x = -2 \vee x & = -1 \end{align} $
garis bilangan kedua :
 

Solusi kedua : HP2 = $ \{ -2 < x < -1 \} $
*). Solusi totalnya adalah gabungan dari HP1 dan HP2 (atau sesuai definisi mutlak).
HP $ = -2 < x < -1 \, $ atau $ 3 < x < 4 $
Jadi, solusinya adalah $ -2 < x < -1 \, $ atau $ 3 < x < 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 345

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 3x + 2y = 4, \, 2x + 5y = -1, \, $ $ ax + by = -6 $ , dan $ ax - by = -2 $, maka $ a - b = .... $
A). $ -4 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar SPL (Sistem Persamaan Linear)
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, ada beberapa cara yaitu substitusi, eliminasi, dan gabungan (eliminasi dan substitusi). Metode gabungan yang sering digunakan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui empat persamaan :
$ 3x + 2y = 4 \, $ ...pers(i)
$ 2x + 5y = -1 \, $ ...pers(ii)
$ ax + by = -6 \, $ ...pers(iii)
$ ax - by = -2 \, $ ...pers(iv)
*). Menyelesaikan pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{c|c|cc} 3x + 2y = 4 & \times 2 & 6x + 4y = 8 & \\ 2x + 5y = -1 & \times 3 & 6x + 15y = -3 & - \\ \hline & & -11y = 11 & \\ & & y = -1 & \end{array} $
Pers(i) : $ 3x + 2y = 4 \rightarrow 3x + 2.(-1) = 4 \rightarrow x = 2 $
Kita peroleh nilai $ (x,y) = (2,-1) $.
*). Substitusi nilai $ (x,y) = (2,-1) \, $ ke persamaan lainnya
$ \begin{array}{cccc} ax + by = -6 & \rightarrow & 2a -b = -6 & \\ ax - by = -2 & \rightarrow & 2a + b = -2 & + \\ \hline & & 4a = -8 & \\ & & a = -2 & \end{array} $
pers(iii): $ 2a -b = -6 \rightarrow 2.(-2) -b = -6 \rightarrow b = 2 $.
*). Menentukan hasil $ a - b $ :
$ a - b = -2 - 2 = -4 $.
Jadi, nilai $ a - b = -4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 345

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x) = x^2 + ax + b $. Jika $ f(3) = 1 $, dan $ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{f(x) - f(3)} = \frac{1}{2} $, maka $ a + b = .... $
A). $ 8 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ -2 \, $ D). $ -4 \, $ E). $ -8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Dalil L'Hopital (penggunaan turunan pada limit)
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \, $ , maka solusinya
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsinya : $ f(x) = x^2 + ax + b \rightarrow f^\prime (x) = 2x + a $
-). Persamaan pertama
$ \begin{align} f(3) & = 1 \\ 3^2 + a.3 + b & = 1 \\ 9 + 3a + b & = 1 \\ 3a + b & = -8 \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). Persamaan Kedua :
Perhatikan limitnya : $ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{f(x) - f(3)} = \frac{3 - 3}{f(3) - f(3)} = \frac{0}{0} $
Artinya limitnya diselesaikan dengan dalil L'Hopital karena hasilnya $ \frac{0}{0} $.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{f(x) - f(3)} & = \frac{1}{2} \, \, \, \, \, \text{(Turunan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{1}{f^\prime (x) } & = \frac{1}{2} \\ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{1}{2x + a} & = \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2.3 + a} & = \frac{1}{2} \\ \frac{1}{6 + a} & = \frac{1}{2} \\ 6 + a & = 2 \\ a & = -4 \end{align} $
Dari pers(i) : $ 3a + b = -8 \rightarrow 3.(-4) + b = -8 \rightarrow b = 4 $.
Sehingga nilai $ a + b = -4 + 4 = 0 $.
Jadi, nilai $ a + b = 0 . \, \heartsuit $