Kamis, 25 Mei 2017

Pembahasan Bangun Datar SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 165

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $ 3\sqrt{2} $ melaui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ....
A). $ 18\pi + 18 \, $ B). $ 18\pi - 18 \, $
C). $ 14\pi + 14 \, $ D). $ 14\pi - 15 \, $
E). $ 10\pi + 10 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas Lingkaran $ = \pi r^2 $
*). Rumus Luas :
Luas juring AOB $ = \frac{\angle AOB}{360^\circ } \times \pi r^2 $
Luas segitiga AOB $ = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} $
Luas Tembereng = Luas Juring AOB - Luas $ \Delta AOB $.
*). Aturan cosinus pada segitiga AOB :
$ \cos \angle AOB = \frac{OA^2 + OB^2 - AB^2}{2.OA.OB} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). ILustrasi gambar.

*). gambar (a) : Luas daerah yang mau kita hitung dibagi menjadi dua bagian yaitu daerah I dan daerah II.
*). gambar (b) : Daerah I adalah setengah lingkaran kecil
$\begin{align} L_I & = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (3\sqrt{2})^2 \\ & = \frac{1}{2} \pi 9.2 = 9\pi \end{align} $
*). gambar (c) : Daerah II berupa tembereng pada lingkaran besar
-). Menentukan besar sudut AOB :
$\begin{align} \cos \angle AOB & = \frac{OA^2 + OB^2 - AB^2}{2.OA.OB} \\ & = \frac{6^2 + 6^2 - (6\sqrt{2})^2}{2.6.6} \\ & = \frac{36 + 36 - 72}{72} = \frac{0}{72} \\ \cos \angle AOB & = 0 \\ \angle AOB & = 90^\circ \end{align} $
-). Menentukan luas juring AOB :
$\begin{align} Lj \, AOB & = \frac{\angle AOB}{360^\circ } \times \pi r^2 \\ & = \frac{90^\circ}{360^\circ } \times \pi .6^2 \\ & = \frac{1}{4} \times \pi .36 = 9 \pi \end{align} $
-). Menentukan luas segitiga AOB :
$\begin{align} L \, \Delta AOB & = \frac{1}{2} . OA . OB \\ & = \frac{1}{2}.6.6 = 18 \end{align} $
-). Menentukan Luas daerah II :
$\begin{align} LII & = \text{ Luas tembereng} \\ & = Lj \, AOB - L \, \Delta AOB \\ & = 9\pi - 18 \end{align} $
*). Menentukan Luas total daerah yang diminta :
$\begin{align} \text{Luas total } & = LI + LII \\ & = 9\pi + (9\pi - 18) = 18\pi -18 \end{align} $
Jadi, luasnya adalah $ 18\pi - 18 . \, \heartsuit $



Pembahasan Suku Banyak SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 165

Soal yang Akan Dibahas
Sisa pembagian suatu polinom oleh $(x-3) $ adalah 4, sewdangkan sisa pembagiannya oleh $ (x^2 - 8x + 15) $ adalah $ (ax-5) $. Sisa pembagian polinom tersebut oleh $ (x-5) $ adalah ....
A). $ 1 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 10 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pembagian Suku Banyak (Polinom) :
$ f(x) = P(x).H(x) + S(x) $.
Keterangan :
$ f(x) = \, $ fungsi yang mau dibagi,
$ P(x) = \, $ pembagi,
$ H(x) = \, $ Hasil bagi,
$ S(x) = \, $ Sisa pembagian.
*). Teorema Sisa :
$ f(x) $ dibagi $ (x-a) $ bersisa $ b $ , artinya $ f(a) = b $ atau juga bisa diartikan sebagai $ \text{ Sisa } = f(a) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan polinom yang dimaksud adalah $ f(x) $ :
*). $ f(x) $ dibagi $ (x-3) $ bersisa $ 4 $ , artinya $ f(3) = 4 $.
*). $ f(x) $ dibagi $ (x^2-8x+15) $ bersisa $(ax-5) $, artinya :
$ f(x) = (x^2 - 8x + 15).H(x) + (ax-5) $
$ f(x) = (x-3)(x-5).H(x) + (ax-5) \, $ .....pers(i)
*). Kita Substitusikan akar-akar dari pembaginya pada pers(i) yaitu :
$ (x-3)(x-5)=0 \rightarrow x = 3 $ atau $ x = 5 $.
Serta kita gunakan $ f(3) = 4 $.
$\begin{align} x = 3 \rightarrow f(x) & = (x-3)(x-5).H(x) + (ax-5) \\ f(3) & = (3-3)(3-5).H(3) + (a.3-5) \\ f(3) & = (3a-5) \\ 4 & = (3a-5) \\ a & = 3 \\ x = 5 \rightarrow f(x) & = (x-3)(x-5).H(x) + (ax-5) \\ f(5) & = (5-3)(5-5).H(5) + (a.5-5) \\ f(5) & = (5a-5) \, \, \, \, \text{(nilai } a = 3) \\ & = (5.3-5) \\ & = 10 \end{align} $
*). $ f(x) $ dibagi $ (x-5) $ artinya :
Sisa $ = f(5) = 10 $.
Jadi, sisa pembagiannya adalah $ 10 . \, \heartsuit $



Pembahasan Hiperbola SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 165

Soal yang Akan Dibahas
Jarak antara titik potong kedua asimtot dari hiperbola $ -\frac{x^2-2nx+n^2}{4}+\frac{y^2-4my+4m^2}{9} = 1 $ pada sumbu X adalah .....
A). $ \frac{2n}{3} \, $ B). $ \frac{4n}{3} \, $ C). $ \frac{2m}{3} \, $ D). $ \frac{4m}{3} \, $ E). $ \frac{8m}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar pada Hiperbola
*). Persamaan hiperbola :
$ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
Memiliki persamaan asimtot :
$ y-q = \pm \frac{a}{b} (x-p) $
*). Menentukan titik potong sumbu X dengan cara substitusi $ y = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan hiperbolanya :
$\begin{align} -\frac{x^2-2nx+n^2}{4}+\frac{y^2-4my+4m^2}{9} & = 1 \\ -\frac{(x-n)^2}{2^2}+\frac{(y-2m)^2}{3^2} & = 1 \\ p = n, \, q = 2m , \, a = 3 , \, b & = 2 \end{align} $
*). Menyusun persamaan asimtotnya :
$\begin{align} y-q & = \pm \frac{a}{b} (x-p) \\ y-2m & = \pm \frac{3}{2} (x-n) \end{align} $
persamaan asimtotnya yaitu :
$ y-2m = \frac{3}{2} (x-n) $ atau $ y-2m = - \frac{3}{2} (x-n)$.
*). Menentukan titik potong sumbu X dengan substitusi $ y = 0 $ :
Asimtot pertama :
$\begin{align} y-2m & = \frac{3}{2} (x-n) \\ 0-2m & = \frac{3}{2} (x-n) \\ \frac{-4m}{3} & = (x-n) \\ x_1 & = \frac{-4m}{3} + n \end{align} $
Asimtot Kedua :
$\begin{align} y-2m & = -\frac{3}{2} (x-n) \\ 0-2m & = -\frac{3}{2} (x-n) \\ \frac{4m}{3} & = (x-n) \\ x_2 & = \frac{4m}{3} + n \end{align} $
*). Jarak kedua titik potong :
$\begin{align} \text{Jarak } & = x_2 - x_1 \\ & = \left( \frac{4m}{3} + n \right) - \left( \frac{-4m}{3} + n \right) \\ & = \frac{8m}{3} \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ \frac{8m}{3} . \, \heartsuit $



Rabu, 24 Mei 2017

Pembahasan Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 165

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah solusi dari $ \frac{2\sin x . \cos 2x}{\cos x . \sin 2x} - 5\tan x + 5 = 0 $ , maka $ \tan (x_1 + x_2) = .... $
A). $ -\frac{5}{7} \, $ B). $ -\frac{5}{3} \, $ C). $ \frac{\sqrt{5}}{7} \, $ D). $ \frac{\sqrt{5}}{3} \, $ E). $ \frac{5}{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus-rumus dasar trigonometri :
$ \sin 2x = 2\sin x . \cos x $
$ \cos 2x = \cos ^2 x - \sin ^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) $
$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x } $
$ \tan (x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x . \tan y } $
*). Bentuk pecahan : $ a = nb \rightarrow \frac{a}{b} = n $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ \tan x_1 $ dan $ \tan x_2 $ :
$\begin{align} \frac{2\sin x . \cos 2x}{\cos x . \sin 2x} - 5\tan x + 5 & = 0 \\ \frac{2\sin x . \cos 2x}{\cos x . 2\sin x . \cos x} - 5\frac{\sin x}{\cos x } + 5 & = 0 \\ \frac{\cos 2x}{\cos ^2 x } - 5\frac{\sin x}{\cos x } + 5 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(kalikan } \cos ^2 x) \\ \cos 2x - 5\sin x \cos x + 5\cos ^2 x & = 0 \\ \cos 2x + 5 \cos x ( \cos x - \sin x ) & = 0 \\ (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) + 5 \cos x & ( \cos x - \sin x ) = 0 \\ (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x + 5 \cos x ) & = 0 \\ (\cos x - \sin x)(6\cos x + \sin x ) & = 0 \\ \sin x = \cos x \vee \sin x & = - 6\cos x \\ \frac{\sin x}{\cos x} = 1 \vee \frac{\sin x}{\cos x} & = - 6 \\ \tan x = 1 \vee \tan x & = - 6 \\ \tan x_1 = 1 \vee \tan x_2 & = - 6 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \tan ( x_1 + x_2) $ :
$\begin{align} \tan (x_1 + x_2) & = \frac{\tan x_1 + \tan x_2}{1 - \tan x_1 . \tan x_2 } \\ & = \frac{1 + (-6)}{1 - 1 . (-6) } \\ & = \frac{-5}{1 + 6 } = -\frac{5}{7} \end{align} $
Jadi, nilai $ \tan (x_1 + x_2) = -\frac{5}{7} . \, \heartsuit $