Sabtu, 20 Desember 2014

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 326 tahun 2013


Nomor 1
Jika $9^{m+1}-2.9^m = 14$ , maka $27^m = ...$
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan persamaan: Sifat $a^{m+n}=a^m.a^n$
$\begin{align} 9^{m+1}-2.9^m &= 14 \\ 9^1.9^m-2.9^m &= 14 \\ 9.9^m-2.9^m &= 14 \\ 9^m \left(9-2\right) &= 14 \\ 9^m . 7 &= 14 \\ 9^m &= \frac{14}{7} \\ (3^2)^m & = 2 \\ (3^m)^2 & = 2 \\ 3^m & = \sqrt{2} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $27^m$
$\begin{align} 27^m & = (3^3)^m \\ &= (3^m)^3 \\ &= (\sqrt{2})^3 \\ &= \sqrt{2} .\sqrt{2} .\sqrt{2} \\ &= 2\sqrt{2} \end{align}$
Jadi, $27^m = 2\sqrt{2}. \, \heartsuit $
Nomor 2
Jika ${}^{2}\log a - 2 \left( {}^{2}\log b \right) = 2 $ dan ${}^{2}\log b - 2 \left( {}^{2}\log a \right) = -1 $ , maka nilai $ab$ adalah ...
Cara I :
$\spadesuit \, $ Definisi: ${}^{a} \log b = c \Leftrightarrow b=a^c$
$\spadesuit \, $ Misalkan : $x={}^{2}\log a \, \, $ dan $y={}^{2}\log b$ , persamaan pada soal menjadi
${}^{2}\log a - 2 \left( {}^{2}\log b \right) = 2 \Rightarrow x-2y=2 $ ...pers(i)
${}^{2}\log b - 2 \left( {}^{2}\log a \right) = -1 \Rightarrow y-2x=-1 $ ...pers(ii)
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan (ii) :
$\begin{array}{c|c|c} x-2y=2 & (kali \, \, 2) & 2x-4y=4\\ y-2x=-1 & (kali \, \, 1) & -2x+y=-1 \, \, + \\ \hline & & -3y=3 \Rightarrow y=-1 \end{array} $
$x-2y=2 \Rightarrow x-2(-1)=2 \Rightarrow x=0$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $a$ dan $b$
$x=0 \Rightarrow {}^{2}\log a = 0 \Rightarrow a=2^0 \Rightarrow a=1$
$y=-1 \Rightarrow {}^{2}\log b = -1 \Rightarrow b=2^{-1} \Rightarrow b=\frac{1}{2}$
Sehingga $ab=1.\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ .
Jadi, nilai $ab=\frac{1}{2} . \heartsuit $

Cara II :
$\spadesuit \, $ Definisi: ${}^{a} \log b = c \Leftrightarrow b=a^c$
$\spadesuit \, $ Sifat logaritma: ${}^{a} \log b + {}^{a} \log c = {}^{a} \log bc$
$\spadesuit \, $ langsung jumlahkan kedua persamaan
$\begin{array}{c} {}^{2}\log a - 2 \left( {}^{2}\log b \right) = 2 \\ {}^{2}\log b - 2 \left( {}^{2}\log a \right) = -1 \, \, + \\ \hline -{}^{2}\log a - {}^{2}\log b = 1 \Rightarrow {}^{2}\log a + {}^{2}\log b = -1 \\ \Leftrightarrow {}^{2}\log ab = -1 \Rightarrow ab=2^{-1} \Rightarrow ab = \frac{1}{2} \end{array} $
Jadi, nilai $ab=\frac{1}{2} . \heartsuit $
Nomor 3
Diketahui persamaan kuadrat $x^2 + mx + 2 - 2m^2=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$ . Jika $2x_1+x_2=2$ , maka nilai $m$ adalah ...
$\clubsuit \, $ dari persamaan kuadrat (PK) diperoleh operasi akar-akar:
$x_1+x_2= \frac{-b}{a} \Rightarrow x_1+x_2= \frac{-m}{1} \Rightarrow x_1+x_2= -m \, $ ...pes(i)
dari soal juga diketahui : $2x_1+x_2=2$ ...pers(ii)
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan (ii) :
$\begin{array}{c} 2x_1+x_2=2 \\ x_1+x_2= -m \, \, - \\ \hline x_1=2 + m \end{array} $
$\clubsuit \, $ Substitusi $x_1=2 + m \, $ ke PK (karena $x_1$ adalah akarnya):
$\begin{align} x^2 + mx + 2 - 2m^2 & =0 \\ (2 + m)^2 + m(2 + m) + 2 - 2m^2 & =0 \\ m^2+4m+4+m^2+2m-2m^2 & = 0 \\ 6m+4&=0 \\ 6m & = -4 \\ m & = \frac{-4}{6} = \frac{-2}{3} \end{align}$
Jadi, nilai $m=\frac{-2}{3}. \heartsuit $
Nomor 4
Jika grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^2+bx+c$ mempunyai titik puncak (8,4) dan memotong sumbu-X negatif, maka ...
$\spadesuit \, $ Titik puncak fungsi (8,4) , artinya puncaknya ada pada kuadran I.
$\spadesuit \, $ kurva memotong sumbu X negatif. berdasarkan dua pernyataan di atas, maka gambarnya adalah :
sbmptn_matdas_k326_2_2013.png
$\spadesuit \, $ Kurva maksimum (puncak di atas) , maka nilai $a < 0$ .
$\spadesuit \, $ Kurva memotong sumbu Y positif, artinya nilai $ c > 0 $ .
$\spadesuit \, $ Titik puncak ada di kanan sumbu Y, berarti berlaku BeKa (beda kanan) artinya tanda $a$ dan $b$ tidak sama (harus berbeda). Karena $a < 0$ , maka nilai $b$ harus $b >0 $ .
Jadi, diperoleh $a < 0 , b > 0 , c > 0. \heartsuit $
Nomor 5
Ibu mendapat potongan harga sebesar 25% dari total pembelian darang di suatu toko. Toko tersebut membebankan pajak sebesar 10% dari harga total pembelian setelah dipotong. Jika $x$ adalah harga total pembelian, maka ibu harus membayar sebesar ...
$\clubsuit \, $ Misalkan $x$ adalah total pembelian barang sebelum kena diskon dan pajak.
$\clubsuit \, $ Potongan 25%
yang harus dibayar adalah 75%$x$
$\clubsuit \, $ kena pajak 10% setelah dipotong
besar pajak = $10\% . 75\% x$
$\clubsuit \, $ Total yang harus dibayar :
$\begin{align} \text{Total} \, & = 75\% x + 10\% . 75\% x \\ & = (1+10\% ) . 75\% x \\ &= (1+0,1) . 0,75 x \\ &= (1,1). 0,75 x \end{align}$
Jadi, ibu harus membayar sebesar $(1,1. 0,75) x. \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar