Rabu, 17 Desember 2014

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 514 tahun 2014 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Penyelesaian pertidaksamaan ${}^{\left(1-|x|\right)} log (3x-1) < 1 $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Definisi harga mutlak : $|x| = \left\{ \begin{array}{cc} x \, , & \text{untuk} \, x\geq 0 \\ -x \, , & \text{untuk} \, x<0 \end{array} \right.$
$\spadesuit \, {}^{f(x)}log [g(x)]=h(x) \, $ syarat logaritma : $f(x)>0, f(x)\neq 1, g(x)>0$

$\spadesuit \, $ Untuk $x \geq 0 \,$ maka $|x|=x:$
${}^{\left(1-|x|\right)} log (3x-1) < 1 \Leftrightarrow {}^{\left(1-x\right)} log (3x-1) < 1$
Syarat logaritma:
$(3x-1)>0 \Rightarrow x > \frac{1}{3} \, \text{...HP}_1 $
$1-x > 0 \Rightarrow x<1 \, \text{...HP}_2$
$1-x \neq 1 \Rightarrow x \neq 0 \, \text{...HP}_3$
untuk $0 < x < 1 $ , maka $0<1-x<1 \, $ sehingga tanda pertidaksamaan dibalik :
$\begin{align*} {}^{\left(1-x\right)} log (3x-1) &< 1 \\ {}^{\left(1-x\right)} log (3x-1) &< {}^{\left(1-x\right)} log\left(1-x\right) \\ (3x-1) &> (1-x) \\ x&>\frac{1}{2} \, \text{...HP}_4 \end{align*}$
sehingga : $\text{HP}_A = \text{HP}_1 \cap \text{HP}_2 \cap \text{HP}_3 \cap \text{HP}_4 = \{ \frac{1}{2} < x < 1 \}$
$\spadesuit \, $ Untuk $x < 0 \,$ maka $|x|=-x:$
${}^{\left(1-|x|\right)} log (3x-1) < 1 \Leftrightarrow {}^{\left(1+x\right)} log (3x-1) < 1$
Syarat logaritma:
$(3x-1)>0 \Rightarrow x > \frac{1}{3} \, \text{...HP}_1 $
Dari $\text{HP}_1 = \{x > \frac{1}{3} \} \, $ dan untuk $ x < 0 \, ,$ maka kasus ini tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
Sehingga solusi yang terpenuhi hanya dari kasus pertama untuk $ x \geq 0 $ yaitu $\text{HP}_A$.
Jadi, Solusinya : $\text{HP}=\text{HP}_A = \{ \frac{1}{2} < x < 1 \} . \heartsuit $
Nomor 7
Diketahui suatu parabola simetris terhadap garis $x=-2$, dan garis singgung parabola tersebut di titik (0, 1) sejajar garis $4x+y=4$. Titik puncak parabola tersebut adalah ...
$\clubsuit \, $ Misalkan persamaan fungsinya , $y=f(x)=ax^2+bx+c$. Dengan titik puncak $(x_p,y_p) \, \,$ : $x_p=-\frac{b}{2a}$ dan $y_p=f(x_p)$ , serta $f^\prime(x)=2ax+b$.
$\clubsuit \, $ Sumbu simetrinya $x=-2 \,$ dengan $ x=x_p$ :
$x=x_p \Leftrightarrow -2=-\frac{b}{2a} \Leftrightarrow b=4a \, $ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Garis singgung di (0,1) , artinya titik (0,1) dilalui parabola, substitusi (0,1) ke persamaan parabola:
$y=ax^2+bx+c \Leftrightarrow 1=a.0^2+b.0+c \Leftrightarrow c=1$
sehingga persamaan parabolanya menjadi : $f(x)=ax^2+bx+1$
$\clubsuit \, $ Gradien garis singgung sejajar dengan garis $4x+y=4$, artinya gradiennya sama dengan gradien garis $4x+y=4\, $ yaitu $m=-4$.
$\clubsuit \, $ Menentukan gradien garis singgung di titik (0,1):
$m=f^\prime(x) \Leftrightarrow -4=f^\prime(0) \Leftrightarrow -4=2a.0+b \Leftrightarrow b=-4.$
Pers(i) : $b=4a \Leftrightarrow -4=4a \Leftrightarrow a=-1$ .
Persamaan parabolanya menjadi : $f(x)=-x^2-4x+1$
$\clubsuit \, $ Menentukan titik puncak:
$x_p=-2 \Rightarrow y_p=f(x_p)=f(-2)=-(-2)^2-4.(-2)+1=5$.
Jadi, titik puncaknya adalah $(x_p,y_p)=(-2,5). \heartsuit$
Nomor 8
Agar 1, $k^2$, dan $-2k^2\sqrt{2}$ masing-masing merupakan suku ke 3, suku ke 5, dan suku ke 8 suatu barisan geometri, maka rasio barisan tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $u_n=ar^{n-1}$
$u_5=k^2 \Rightarrow ar^4=k^2 \, \, \text{...pers(i)} $
$u_8=-2k^2 \sqrt{2} \Rightarrow ar^7=-2k^2 \sqrt{2} \, \, \text{...pers(ii)} $
$\spadesuit \, $ Bagi pers(ii) dengan pers(i):
$\begin{align*} \frac{ar^7}{ar^4}&=\frac{-2k^2 \sqrt{2}}{k^2} \\ r^3&=-2\sqrt{2} \\ r^3&=-(2)^{\frac{3}{2}} \\ r&=-(2)^{\frac{1}{2}} \\ r&=-\sqrt{2} \end{align*}$
Jadi, rasionya adalah $r=-\sqrt{2}.\heartsuit $
Nomor 9
Vektor-vektor $u , v, \, $ dan $w$ tak nol dan $|u|=|v|$. Jika $|v-w|=|u-w|$, maka ...
$\clubsuit \, $ Rumus dasar : $|p-q|^2=|p|^2+|q|^2-2pq \, $ dan jika $p.q=0$ maka $p$ tegak lurus $q$.
$\clubsuit \, $ Kuadratkan bentuk $|v-w|=|u-w|$
$\begin{align*} |u-w|&=|v-w| \\ |u-w|^2&=|v-w|^2 \\ |u|^2+|w|^2-2uw &= |v|^2+|w|^2-2vw \, \, \, ( \text{substitusi} \, |u|=|v|)\\ |v|^2+|w|^2-2uw &= |v|^2+|w|^2-2vw \\ -2uw &= -2vw \\ uw &= vw \\ uw-vw&=0 \\ (u-v)w&=0 \end{align*}$
Artinya vektor $(u-v)$ tegak lurus dengan vektor $w$.
Jadi, vektor $(u-v)$ tegak lurus dengan vektor $w. \heartsuit $
Nomor 10
Jika $f(x)=1+sinx+sin^2x+sin^3x+..., \, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$, maka $\int \limits_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) dx = ...$
$\spadesuit \, $ Deret geometri tak hingga : $s_\infty = \frac{a}{1-r}$
Deret $1+sinx+sin^2x+sin^3x+...$ mempunyai $a=1, $
dan $r=\frac{u_2}{u_1}=\frac{sinx}{1}=sinx$
$s_\infty = \frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-sinx}$ sehingga $f(x)=\frac{1}{1-sinx}$
$\spadesuit \, $ Rumus dasar : $sin^2x+cos^2x=1, tanx = \frac{sinx}{cosx}, secx=\frac{1}{cosx}$
$\spadesuit \, $ Mengalikan $f(x)$ dengan $1+sinx$ agar mudah diintegralkan:
$\begin{align*} f(x)&= \frac{1}{1-sinx} . \frac{1+sinx}{1+sinx} \\ &= \frac{1+sinx}{1-sin^2x} \\ &= \frac{1+sinx}{cos^2x} \\ &= \frac{1}{cos^2x} + \frac{sinx}{cos^2x} \\ &= \frac{1}{cos^2x} + \frac{sinx}{cosx}.\frac{1}{cosx} \\ f(x)&= sec^2x+tanxsecx \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menghitung nilai integralnya:
$\begin{align*} \int \limits_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) dx &= \int \limits_0^{\frac{\pi}{4}} (sec^2x+tanxsecx) dx \\ &= \left[ tanx + secx \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\ &= (tan45^o+sex45^o)-(tan0^o+sec0^o) \\ &= (1+\sqrt{2})-(0+1) \\ &= \sqrt{2} \end{align*}$
Jadi, nilai $\int \limits_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) dx =\sqrt{2}. \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar