Kamis, 18 Desember 2014

Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2014 nomor 1 sampai 5


Nomor 1
Nilai semua $x$ sehingga matriks $\left[ \begin{matrix} \sqrt{x^2 - 1} & 1 \\ x & 2 \end{matrix} \right]$ mempunyai invers adalah ...
$A$ mempunyai invers jika dan hanya jika $|A|\neq 0$
$A = \left[ \begin{matrix} \sqrt{x^2 - 1} & 1 \\ x & 2 \end{matrix} \right] \Rightarrow |A|=2\sqrt{x^2 - 1}-x$
$\clubsuit \, $ Syarat invers:
$\begin{align} |A| &\neq 0 \\ 2\sqrt{x^2 - 1}-x &\neq 0 \\ 2\sqrt{x^2 - 1} &\neq x \, \text{(dikuadratkan)}\\ 4(x^2 - 1) &\neq x^2 \\ 3x^2 &\neq 4 \\ x &\neq \pm \sqrt{\frac{4}{3}} \end{align}$
$\text{HP}_1=\{ x \neq \pm \sqrt{\frac{4}{3}} \}$
$\clubsuit \,$ Syarat akar:
$\begin{align} \sqrt{x^2 - 1}\geq 0 \\ x^2 - 1 \geq 0\\ (x-1)(x+1)= 0 \\ x=1 \, \text{atau} \, x=-1 \end{align}$
um_ugm_matdas_2014.png
$\text{HP}_2=\{ x\leq -1 \, \text{atau} \, x\geq 1 \}$
$\clubsuit \, $ Jadi, solusinya : $\text{HP}=\text{HP}_1 \cap \text{HP}_2$
$\text{HP}=\{ x< - \sqrt{\frac{4}{3}} \, \text{atau} \, -\sqrt{\frac{4}{3}} < x \leq -1 \, \text{atau} \, 1\leq x < \sqrt{\frac{4}{3}} \, \text{atau} \, x > \sqrt{\frac{4}{3}} \} \, \heartsuit $
Nomor 2
Jika sudut $\alpha$ memenuhi $cos^2\alpha + 2sin(\pi - \alpha ) = sin^2 (\pi + \alpha ) + 1\frac{1}{2}$ maka $sin\alpha = ... $
$\spadesuit \, $ Identitas trigonometri dan hubungan kuadran:
$\begin{align} sin^2\alpha + cos^2\alpha &= 1\\ sin(180^o-\alpha) & = sin\alpha \\ sin(180^o+\alpha) &=-sin\alpha \end{align}$
$\spadesuit \, $ Mederhanakan soal:
$\begin{align} cos^2\alpha + 2sin(\pi - \alpha ) &= sin^2 (\pi + \alpha ) + 1\frac{1}{2} \\ (1-sin^2\alpha) + 2sin\alpha &= \left[ sin(\pi + \alpha) \right]^2 + \frac{3}{2} \\ 1-sin^2\alpha + 2sin\alpha &= \left[ -sin\alpha \right]^2 + \frac{3}{2} \\ 1-sin^2\alpha + 2sin\alpha &= sin^2\alpha + \frac{3}{2} \\ 2sin^2\alpha -2sin\alpha + \frac{1}{2} &=0 \, \text{(kali 2)} \\ 4sin^2\alpha -4sin\alpha + 1 &=0 \\ \left( 2sin\alpha - 1 \right)^2 &=0 \\ sin\alpha & = \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, $sin\alpha = \frac{1}{2} \heartsuit $
Nomor 3
Peluang Ali, Budi dan Dian lulus "UAN" masing-masing adalah $0,7$ ; $0,8$ dan $0,9$ . Peluang lulus hanya satu orang di antara tiga orang tersebut adalah ...
$\clubsuit \, $ Peluang komplemen : $P(X^c)=1-P(X)$
Permisalan :
$P(A)$ : Peluang Ali lulus , $P(A^c)$ : Peluang Ali tidak lulus, $P(B)$ : Peluang Budi lulus , $P(B^c)$ : Peluang Budi tidak lulus , $P(D)$ : Peluang Dian lulus , dan $P(D^c)$ : Peluang Dian tidak lulus.
$\clubsuit \, $ Peluang masing-masing:
$P(A)=0,7 \Rightarrow P(A^c)=1-P(A)=1-0,7=0,3 \\ P(B)=0,8 \Rightarrow P(B^c)=1-P(B)=1-0,8=0,2 \\ P(D)=0,9 \Rightarrow P(D^c)=1-P(D)=1-0,9=0,1 $
Agar yang lulus hanya satu orang, maka ada tiga kemungkinan:
$\spadesuit$1$\spadesuit$. Ali lulus, Budi tidak lulus, Dian tidak lulus, peluangnya adalah:
$P(A).P(B^c).P(D^c)=0,7.0,2.0,1=0,014$
$\spadesuit$2$\spadesuit$. Ali tidak lulus, Budi lulus, Dian tidak lulus, peluangnya adalah:
$P(A^c).P(B).P(D^c)=0,3.0,8.0,1=0,024$
$\spadesuit$3$\spadesuit$. Ali tidak lulus, Budi tidak lulus, Dian lulus, peluangnya adalah:
$P(A^c).P(B^c).P(D)=0,3.0,8.0,9=0,054$
$\clubsuit \, $ Jadi, peluang salah satu lulus adalah :
$0,014 + 0,024 + 0,054 = 0,092$
Nomor 4
Jika $f(x^2+3x+1)={}^{2}log(2x^3-x^2+7)$ , $x\geq 0$ maka $f(5)=...$
Untuk menyelesaikan soal ini, tanpa menentukan $f(x)$ terlebih dahulu.
$f(x^2+3x+1)={}^{2}log(2x^3-x^2+7)$ , $x\geq 0$ ....persmaan (i)
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $x$ dari $f(5)$ :
$f(5)=f(x^2+3x+1)$ , sehingga $x^2+3x+1=5 \Leftrightarrow x^2+3x-4=0$
$\begin{align} x^2+3x-4&=0 \\ (x-1)(x+4)&=0 \\ x=1 \, &\text{atau} \, x=-4 \end{align}$
Karena $x\geq 0$ , maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=1$ .
$\spadesuit \, $ Substitusi $x=1$ ke pers (i) :
$\begin{align} f(x^2+3x+1)&={}^{2}log(2x^3-x^2+7) \\ f(1^2+3.1+1)&={}^{2}log(2.1^3-1^2+7) \\ f(5) &= {}^{2}log(8) \\ f(5) &= 3. \end{align}$
Jadi, $f(5)=3 \heartsuit $
Nomor 5
Untuk $x\geq 1$ , nilai maksimum fungsi $f(x)=-x^3+6x^2-9x+7$ adalah ....
$\clubsuit \, $ Nilai maksimum/minimum suatu fungsi : $f^\prime (x)=0$
$\begin{align*} f(x) &=-x^3+6x^2-9x+7 \, \, ( x \geq 1) \\ f^\prime (x)&=0 \\ -3x^2+12x-9 &=0 \, \, \text{(dibagi -3)} \\ x^2-4x+3&=0 \\ (x-1)(x-3)&=0 \\ x=1 \, &\text{atau} \, x=3 \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Substitusi $x=1 \, \text{atau} \, x=3$ ke fungsi:
$f(1)=-1^3+6.1^2-9.1+7=3 \, \text{atau} \, f(3)=-3^3+6.3^2-9.3+7=7$
Jadi, nilai maksimum fungsinya adalah 7 . $\heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

4 komentar:

  1. makasih yaaa pembahasannya :)

    BalasHapus
    Balasan
    1. ok, sama-sama !!!
      Terima kasih untuk kunjungannya.
      jika punya soal UM UGM tahun 2015, mohon share di blog ini ya, atau kirim langsung ke email d.4rm.408@gmail.com
      terima ksaih!!!!

      Hapus
  2. Balasan
    1. hallow @Arya,

      Sama-sama Arya, Selamat berjuang untuk tes UTUL UGM nya, Semoga sukses dan lancar mengerjakan soal-soalnya.

      Terima kasih juga telah berkunjung ke blog dunia-informa.

      Hapus