Kamis, 18 Desember 2014

Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2014 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Bentuk sederhana dari $\frac{\left( x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{6}} \right) \left( x^{\frac{1}{2}} + x \right) \left( x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} \right) }{\left( x^{\frac{4}{3}} - x \right) \left( x + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}}\right)}$ dengn $x\neq 0$ adalah ...
$\begin{align*} &\frac{\left( x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{6}} \right) \left( x^{\frac{1}{2}} + x \right) \left( x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} \right) }{\left( x^{\frac{4}{3}} - x \right) \left( x + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}}\right)} \\ &= \frac{x^{\frac{1}{6}}\left( x^{\frac{1}{6}} - 1 \right) x^{\frac{1}{2}} \left( x^{\frac{1}{2}} + 1 \right) \not{x}^{\frac{1}{3}} \left( x^{\frac{1}{6}} + 1 + x^{\frac{1}{3}} \right) }{x \left( x^{\frac{1}{3}} - 1 \right) \not{x}^{\frac{1}{3}} \left( x^{\frac{2}{3}} + 1 + x^{\frac{1}{3}}\right)} \\ &= \frac{x^{\frac{1}{6}}.x^{\frac{1}{2}}}{x}.\frac{ \left( x^{\frac{1}{2}} + 1 \right) \left[ \left( x^{\frac{1}{6}} - 1 \right) \left( x^{\frac{1}{6}} + 1 + x^{\frac{1}{3}} \right) \right] }{ \left( x^{\frac{1}{3}} - 1 \right) \left( x^{\frac{2}{3}} + 1 + x^{\frac{1}{3}}\right)} \\ &= \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x}.\frac{ \left( x^{\frac{1}{2}} + 1 \right) \left( x^{\frac{1}{2}} - 1 \right) }{ \left( x - 1 \right) } \\ &= x^{\frac{2}{3}-1}.\frac{ \left( x - 1 \right) }{ \left( x - 1 \right) } \\ &= x^{\frac{-1}{3}} . \heartsuit \end{align*}$
Nomor 12
Jika $4^{y+3x}=64$ dan ${}^{x}log (x+12) - 3{}^{x}log 4 = -1$ , maka $x+2y=...$
$\left\{ \begin{array}{cc} 4^{y+3x}=64 & \, ...\text{pers(i)} \\ {}^{x}log (x+12) - 3{}^{x}log 4 = -1 & \, ...\text{pers(ii)} \end{array} \right. $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan pers (ii) :
${}^{x}log (x+12) - 3{}^{x}log 4 = -1$
Syarat logaritma : $x>0$ dan $x\neq 1$ $x+12>0 \Leftrightarrow x>-12 \, $ sehingga nilai $x$ harus $x>0$ dan $x\neq 1$
$\begin{align*} {}^{x}log (x+12) - 3{}^{x}log 4 &= -1 \\ {}^{x}log (x+12) - {}^{x}log 4^3 &= -1 .{}^{x}log x \\ {}^{x}log \left( \frac{x+12}{4^3} \right) &= {}^{x}log x^{-1} \\ \left( \frac{x+12}{64} \right) &= \frac{1}{x} \\ x^2+12x+-64&=0 \\ (x-4)(x+16)&=0\\ px=4 \, \text{atau} \, x=-16 \end{align*}$
Nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=4$ .
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan pers (i) :
$4^{y+3x}=64 \Leftrightarrow \not{4}^{y+3x}=\not{4}^3 \Leftrightarrow y+3x = 3$
$\clubsuit \, $ Substitusi $x=4$ ke $y+3x = 4$ :
$y+3x = 3 \Leftrightarrow y+3(4) = 3 \Leftrightarrow y= -9$
Jadi, nilai $ x+2y= 4 + 2(-9) = -14 \, \heartsuit $
Nomor 13
Suatu grafik fungsi kuadrat memotong sumbu $x$ di A(1,0) dan B(2,0) . Jika grafik fungsi kuadrat tersebut melalui titik (0,4) dan puncaknya di titik $(p,q)$ , maka $p+q=...$
$\spadesuit \, $ Fungsi kuadrat (FK) melalui titik $(x_1,0)$ dan $(x_2,0)$ : $y=a(x-x_1)(x-x_2)$
$\spadesuit \, $ FK melalui (1,0) dan (2,0) : $y=a(x-1)(x-2)$ ... pers(i)
$\spadesuit \, $ FK melalui (0,4) , substitusi ke pers (i):
$4=a(0-1)(0-2) \Rightarrow a=2 \, $ sehingga pers(i) menjadi : $y=2(x-1)(x-2) \Leftrightarrow y=2x^2-6x+4$
$\spadesuit \, $ Titik Puncak $(x_p,y_p) = (p,q)$
$x_p=\frac{-b}{2a} \Leftrightarrow p=\frac{-(-6)}{2.2} \Leftrightarrow p=\frac{3}{2}$
$y_p=f(x_p) \Leftrightarrow q=f\left( \frac{3}{2} \right) \Leftrightarrow q=2\left( \frac{3}{2} \right)^2-6\left( \frac{3}{2} \right)+4 = \frac{-1}{2}$
$\spadesuit \, $ Sehingga, $p+q= \frac{3}{2} + \frac{-1}{2} = 1$
Jadi, nilai $p+q=1 . \heartsuit $
Nomor 14
Diberikan dua parabola dengan persamaan $f(x)=ax^2+bx+c$ dan $g(x)=px^2+qx+r$. Jika $f$ dan $g$ tidak berpotongan dan $\frac{b}{a}=\frac{q}{p}$, maka jarak terdekat dua parabola tersebut adalah selisih dari ...
Permisalan: $x_p(f)=$ $x$ puncak fungsi $f$ dan $x_p(g)=$ $x$ puncak fungsi $g$
$\spadesuit \, $ Menentukan $x$ puncak setiap fungsi:
$f(x)=ax^2+bx+c \Rightarrow x_p(f)=\frac{-b}{2a} \\ g(x)=px^2+qx+r \Rightarrow x_p(g)=\frac{-q}{2p} $
Karena $\frac{b}{a}=\frac{q}{p}$ , maka nilai $x_p(f)=x_p(g)$ (nilai $x$ puncaknya sama)
Kedua kurva tidak berpotongan, sehingga gambarnya sebagai berikut:
um_ugm3_matdas_2014.png
$\spadesuit \, $ Nilai $x$ puncak kedua fungsi sama, sehingga jarak terdekat kedua grafik merupakan jarak kedua puncak yang diwakili oleh jarak $y$ puncaknya .
$\spadesuit \, $ Menentukan $y$ puncak setiap fungsi:
$y_p(f)=f(x_p)=f\left( \frac{-b}{2a} \right)$ dan $y_p(g)=g(x_p)=g\left( \frac{-q}{2p} \right)$
Jadi, jarak terdekat kedua parabola adalah selisih dari $y_p(f)$ dan $y_p(g)$ atau $f\left( \frac{-b}{2a} \right)$ dan $g\left( \frac{-q}{2p} \right). \, \heartsuit $
Nomor 15
Pada sistem pertidaksamaan $x-y\leq 0$ , $x+y\geq 4$ dan $-5y+x \geq -20$ berlaku $2x+3y\geq k$ . Nilai $k$ terbesar adalah ...
$\clubsuit \, $ Untuk $2x+3y\geq k $ atau $k\leq 2x+3y$ , nilai $k$ terbesar sama dengan nilai maksimum dari $(2x+3y)$ , sehingga fungsi tujuannya : $f(x,y)=2x+3y$ dengan kendala $x-y\leq 0$ , $x+y\geq 4$ dan $-5y+x \geq -20$.
Gambar daerah penyelesaian :
um_ugm4_matdas_2014.png
$\clubsuit \, $ Menghitung titik pojok A, B, dan C:
Titik A: Eliminasi persamaan $x+y=4$ dan $x-y=0$ , diperoleh $x=2$ dan $y=2$ , titik A(2,2) .
Titik B: Eliminasi persamaan $x-5y=-20$ dan $x-y=0$ , diperoleh $x=5$ dan $y=5$ , titik B(5,5).
Titik C: C(0,4)
$\clubsuit \, $ Substitusikan semua titik pojok ke fungsi tujuan: $f(x,y)=2x+3y$
$A(2,2) \Rightarrow f(2,2)=2.2+3.2=10 \\ B(5,5) \Rightarrow f(5,5)=2.5+3.5=25 \\ C(0,4) \Rightarrow f(0,4)=2.0+3.4=12 $
Nilai maksimum $2x+3y=25$ , sehingga $k\leq 2x+3y \Leftrightarrow k\leq 25$
Jadi, nilai maksimum $k$ adalah 25 . $\heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar