Nomor 11
Semua nilai $a$ agar $\sqrt{2x^2-x+14} \geq \sqrt{x^2-kx+10}$ benar untuk semua bilangan real $x$ adalah ...
$\spadesuit \, $ syarat definit positif : $a > 0 \, $ dan $ D < 0 $
$ax^2+bx+c > 0 \, $ akan terpenuhi untuk semua $x$ jika memenuhi syarat definit positif.
$\spadesuit \, $ Soal : $\sqrt{2x^2-x+14} \geq \sqrt{x^2-ax+10}$
syarat akar :
(i). $2x^2-x+14 \geq 0 $
$a=2>0 \, $ dan $D=b^2-4ac=(-1)^2-4.2.14<0 \, $ . Karena $a > 0 \, $ dan $ D < 0 $ , maka $2x^2-x+14$ definit positif.
(ii). $x^2-kx+10 \geq 0 \, $ harus definit positif
$a=1 > 0 \, $ (benar)
$D<0 \Leftrightarrow (-k)^2-4.1.10 <0 \Leftrightarrow k^2-40 < 0 \Leftrightarrow k=\pm 2\sqrt{10}$
$HP_1=\{ -2\sqrt{10} < k < 2\sqrt{10} \}$ .
$\spadesuit \, $ Kuadratkan kedua ruas :
$\begin{align*} \left( \sqrt{2x^2-x+14} \right)^2 & \geq \left( \sqrt{x^2-kx+10} \right)^2 \\ 2x^2-x+14 & \geq x^2-ax+10 \\ x^2+(k-1)x + 4 & \geq 0 \, \text{Definit positif}\\ a & = 1 > 0 \, \text{(benar)} \\ D \leq 0 \Leftrightarrow (k-1)^2 - 4.1.4 \leq 0 \\ (k+3)(k-5) & \leq 0 \\ k=-3 \, \text{atau} \, k=5 \end{align*}$
$HP_2=\{ -3 \leq k \leq 5 \}$ .
$\spadesuit \, $ Sehingga penyelesaiannya :
$HP=Hp_1 \cap HP_2 = \{ -3 \leq k \leq 5 \} . \, \heartsuit $
$ax^2+bx+c > 0 \, $ akan terpenuhi untuk semua $x$ jika memenuhi syarat definit positif.
$\spadesuit \, $ Soal : $\sqrt{2x^2-x+14} \geq \sqrt{x^2-ax+10}$
syarat akar :
(i). $2x^2-x+14 \geq 0 $
$a=2>0 \, $ dan $D=b^2-4ac=(-1)^2-4.2.14<0 \, $ . Karena $a > 0 \, $ dan $ D < 0 $ , maka $2x^2-x+14$ definit positif.
(ii). $x^2-kx+10 \geq 0 \, $ harus definit positif
$a=1 > 0 \, $ (benar)
$D<0 \Leftrightarrow (-k)^2-4.1.10 <0 \Leftrightarrow k^2-40 < 0 \Leftrightarrow k=\pm 2\sqrt{10}$
$HP_1=\{ -2\sqrt{10} < k < 2\sqrt{10} \}$ .
$\spadesuit \, $ Kuadratkan kedua ruas :
$\begin{align*} \left( \sqrt{2x^2-x+14} \right)^2 & \geq \left( \sqrt{x^2-kx+10} \right)^2 \\ 2x^2-x+14 & \geq x^2-ax+10 \\ x^2+(k-1)x + 4 & \geq 0 \, \text{Definit positif}\\ a & = 1 > 0 \, \text{(benar)} \\ D \leq 0 \Leftrightarrow (k-1)^2 - 4.1.4 \leq 0 \\ (k+3)(k-5) & \leq 0 \\ k=-3 \, \text{atau} \, k=5 \end{align*}$
$HP_2=\{ -3 \leq k \leq 5 \}$ .
$\spadesuit \, $ Sehingga penyelesaiannya :
$HP=Hp_1 \cap HP_2 = \{ -3 \leq k \leq 5 \} . \, \heartsuit $
Nomor 12
Jika $P(x)=x^5+ax^4+x^2+bx+2$ dibagi $h(x)=x^3+2x^2-x-2$ memberikan sisa $r(x)=x^2-3x+4$ maka $a+b=...$
Salah satu akar ($x$ yang menyebabkan $h(x)$ sama dengan nol) dari $h(x)=x^3+2x^2-x-2$ adalah $x=1$
$\clubsuit \, $ Teorema pembagian:
$P(x)$ = (pembagi).(hasil bagi) + (sisa)
$P(x)=h(x) . g(x) + r(x)$
$x^5+ax^4+x^2+bx+2=(x^3+2x^2-x-2) . g(x) + (x^2-3x+4)$ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Substitusi $x=1$ ke persamaan (i) :
$\begin{align*} 1^5+a.1^4+1^2+b.1+2 &= (1^3+2.1^2-1-2) . g(1) + (1^2-3.1+4) \\ a+b+4&= 0 . g(1) + 2 \\ a+b &=-2 \end{align*}$
Jadi, nilai $ a+b=-2 \, \heartsuit $
$\clubsuit \, $ Teorema pembagian:
$P(x)$ = (pembagi).(hasil bagi) + (sisa)
$P(x)=h(x) . g(x) + r(x)$
$x^5+ax^4+x^2+bx+2=(x^3+2x^2-x-2) . g(x) + (x^2-3x+4)$ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Substitusi $x=1$ ke persamaan (i) :
$\begin{align*} 1^5+a.1^4+1^2+b.1+2 &= (1^3+2.1^2-1-2) . g(1) + (1^2-3.1+4) \\ a+b+4&= 0 . g(1) + 2 \\ a+b &=-2 \end{align*}$
Jadi, nilai $ a+b=-2 \, \heartsuit $
Nomor 13
Jika $a$ memenuhi persamaan ${}^{2}\log 2x+{}^{3}\log 3x = {}^{4}\log 4x^2 $ mak ${}^{a}\log 3 =...$
$\spadesuit \, $ Sifat-sifat logaritma :
${}^{a}\log {b}=\frac{1}{{}^{b}\log {a}} \, $ , $ {}^{a}\log {bc}={}^{a}\log {b}+{}^{a}\log {c} \, $ , dan
${}^{a^m}\log {b^n} = \frac{n}{m}. {}^{a}\log {b}$
$\spadesuit \, $ Manyederhanakan soal :
$\begin{align*} {}^{2}\log 2x+{}^{3}\log 3x &= {}^{4}\log 4x^2 \\ {}^{2}\log {2} + {}^{2}\log {x}+{}^{3}\log {3}+{}^{3}\log {x} &= {}^{4}\log {4}+{}^{4}\log {x^2} \\ 1 + {}^{2}\log {x}+1+{}^{3}\log {x} &= 1+{}^{2^2}\log {x^2} \\ 1 + {}^{2}\log {x}+{}^{3}\log {x} &= \frac{2}{2} .{}^{2}\log {x} \\ {}^{3}\log {x} & = -1 \\ {}^{x}\log {3} &= \frac{1}{-1} = -1 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Solusinya adalah $x=a$ , sehingga ;
${}^{x}\log {3} = -1 \Leftrightarrow {}^{a}\log {3} = -1 .$
Jadi, nilai $ {}^{a}\log {3} = -1 \, \heartsuit $
${}^{a}\log {b}=\frac{1}{{}^{b}\log {a}} \, $ , $ {}^{a}\log {bc}={}^{a}\log {b}+{}^{a}\log {c} \, $ , dan
${}^{a^m}\log {b^n} = \frac{n}{m}. {}^{a}\log {b}$
$\spadesuit \, $ Manyederhanakan soal :
$\begin{align*} {}^{2}\log 2x+{}^{3}\log 3x &= {}^{4}\log 4x^2 \\ {}^{2}\log {2} + {}^{2}\log {x}+{}^{3}\log {3}+{}^{3}\log {x} &= {}^{4}\log {4}+{}^{4}\log {x^2} \\ 1 + {}^{2}\log {x}+1+{}^{3}\log {x} &= 1+{}^{2^2}\log {x^2} \\ 1 + {}^{2}\log {x}+{}^{3}\log {x} &= \frac{2}{2} .{}^{2}\log {x} \\ {}^{3}\log {x} & = -1 \\ {}^{x}\log {3} &= \frac{1}{-1} = -1 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Solusinya adalah $x=a$ , sehingga ;
${}^{x}\log {3} = -1 \Leftrightarrow {}^{a}\log {3} = -1 .$
Jadi, nilai $ {}^{a}\log {3} = -1 \, \heartsuit $
Nomor 14
Diketahui $f(x)=\sqrt{1+x}$ . Nilai $\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f\left( 3+2h^2 \right) - f\left( 3-3h^2 \right)}{h^2}$ adalah ...
$\clubsuit \, $ Menurunkan fungsi $f(x)$ :
$f(x)=\sqrt{1+x} \Rightarrow f^\prime (x) = \frac{1}{2\sqrt{1+x}} $
$y=f\left( g(x) \right) \Rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . f^\prime \left( g(x) \right) $
$\clubsuit \, $ Cek nilai limit :
$\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f\left( 3+2h^2 \right) - f\left( 3-3h^2 \right)}{h^2} = \frac{0}{0}$
$\clubsuit \, $ Metode L$^\prime$Hospital (cara turunan) :
$\begin{align*} &\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f\left( 3+2h^2 \right) - f\left( 3-3h^2 \right)}{h^2} \\ &= \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{4\not{h}.f^\prime \left( 3+2h^2 \right) - (-6\not{h}).f^\prime \left( 3-3h^2 \right)}{2\not{h}} \\ &= \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{4f^\prime \left( 3+2h^2 \right) + 6f^\prime \left( 3-3h^2 \right)}{2} \\ &= \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{10f^\prime \left( 3+2h^2 \right) }{2} \\ &= \displaystyle\lim_{h \to 0} 5f^\prime \left( 3+2h^2 \right) \\ &= 5f^\prime \left( 3+2.0^2 \right) = 5f^\prime (3) = 5. \frac{1}{2\sqrt{1+3}} = \frac{5}{4} \end{align*}$
Jadi, nilai $ \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f\left( 3+2h^2 \right) - f\left( 3-3h^2 \right)}{h^2}=\frac{5}{4} . \, \heartsuit $
$f(x)=\sqrt{1+x} \Rightarrow f^\prime (x) = \frac{1}{2\sqrt{1+x}} $
$y=f\left( g(x) \right) \Rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . f^\prime \left( g(x) \right) $
$\clubsuit \, $ Cek nilai limit :
$\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f\left( 3+2h^2 \right) - f\left( 3-3h^2 \right)}{h^2} = \frac{0}{0}$
$\clubsuit \, $ Metode L$^\prime$Hospital (cara turunan) :
$\begin{align*} &\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f\left( 3+2h^2 \right) - f\left( 3-3h^2 \right)}{h^2} \\ &= \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{4\not{h}.f^\prime \left( 3+2h^2 \right) - (-6\not{h}).f^\prime \left( 3-3h^2 \right)}{2\not{h}} \\ &= \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{4f^\prime \left( 3+2h^2 \right) + 6f^\prime \left( 3-3h^2 \right)}{2} \\ &= \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{10f^\prime \left( 3+2h^2 \right) }{2} \\ &= \displaystyle\lim_{h \to 0} 5f^\prime \left( 3+2h^2 \right) \\ &= 5f^\prime \left( 3+2.0^2 \right) = 5f^\prime (3) = 5. \frac{1}{2\sqrt{1+3}} = \frac{5}{4} \end{align*}$
Jadi, nilai $ \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f\left( 3+2h^2 \right) - f\left( 3-3h^2 \right)}{h^2}=\frac{5}{4} . \, \heartsuit $
Nomor 15
Diketahui jumlahan empat suku pertama suatu barisan aritmatika sama dengan jumlahan tiga suku selanjutnya. Jika jumlah 10 suku pertamanya
adalah 270 , maka suku pertama barisan tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Barisan aritmatika : $U_n=a+(n-1)b \, $ dan $ \, S_n=\frac{n}{2}\left( 2a+ (n-1)b \right) $
$\spadesuit \, $ Jumlah 4 suku pertama sama dengan jumlah 3 suku berikutnya:
$\begin{align*} U_1+U_2+U_3+U_4&=U_5+U_6+U_7 \\ a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) &= (a+4b)+(a+5b)+(a+6b) \\ a&=9b \, \text{...pers(i)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Jumlah 10 suku pertama adalah 270:
$\begin{align*} S_{10}&=270\\ \frac{10}{2}\left( 2a+ 9b \right) &= 270 \\ 2a+9b&=54 \, \text{...pers(ii)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii):
$\begin{align*} 2a+9b&=54 \Leftrightarrow 2a + a = 54 \Leftrightarrow a=18 \end{align*}$
Jadi, Suku pertamanya adalah 18. $\heartsuit $
$\spadesuit \, $ Jumlah 4 suku pertama sama dengan jumlah 3 suku berikutnya:
$\begin{align*} U_1+U_2+U_3+U_4&=U_5+U_6+U_7 \\ a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) &= (a+4b)+(a+5b)+(a+6b) \\ a&=9b \, \text{...pers(i)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Jumlah 10 suku pertama adalah 270:
$\begin{align*} S_{10}&=270\\ \frac{10}{2}\left( 2a+ 9b \right) &= 270 \\ 2a+9b&=54 \, \text{...pers(ii)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii):
$\begin{align*} 2a+9b&=54 \Leftrightarrow 2a + a = 54 \Leftrightarrow a=18 \end{align*}$
Jadi, Suku pertamanya adalah 18. $\heartsuit $
