Kamis, 15 Januari 2015

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika Dasar kode 201 tahun 2008 nomor 16 sampai 20


Nomor 16
Jika $^7 \log 2 = a $ dan $^2 \log 3 = b$ , maka $^6 \log 98 = ...$
$\spadesuit \, $ Sifat logaritma :
$^a \log (bc) = {}^a \log a + {}^a \log c $
$^a \log b^n = n. {}^a \log b $
$^a \log b = \frac{{}^p \log b}{{}^p \log a} = \frac{1}{{}^b \log a} $
$\spadesuit \, $ Memodifikasi soal :
$\begin{align} ^6 \log 98 & = \frac{{}^2 \log 98}{{}^2 \log 6} \\ & = \frac{{}^2 \log (7^2.2)}{{}^2 \log (2.3)} = \frac{{}^2 \log 7^2 + {}^2 \log 2 }{{}^2 \log 3 + {}^2 \log 2} \\ & = \frac{2.{}^2 \log 7 + 1 }{b + 1} = \\ & = \frac{2.\frac{1}{a} + 1 }{b + 1} \times \frac{a}{a} \\ & = \frac{2 + a }{a(b + 1)} \end{align}$
Jadi, bentuk ${}^6 \log 98 = \frac{2 + a }{a(b + 1)} . \heartsuit $
Nomor 17
Adi selalu membelanjakan $\frac{1}{3}$ bagian dari uang yang masih dimilikinya dan ia tidak mempunyai penghasilan lagi. Jika pada saat belanja terakhir sisanya kurang dari $\frac{32}{243}$ uang semula, maka Adi paling sedikit sudah membelanjakan uangnya ...
$\clubsuit \, $ Misalkan uang Adi semula sebanyak $x$
$\clubsuit \, $ Selalu dibelanjakan $\frac{1}{3} $ bagian, berarti sisanya $\frac{2}{3} $ bagian.
$\clubsuit \, $ Berikut sisa setiap kali belanja :
Belanja ke-1 $\rightarrow $ sisa1 = $\frac{2}{3}x $
Belanja ke-2 $\rightarrow $ sisa2 = $\frac{2}{3}\times \text{sisa1} = \frac{2}{3}\times \frac{2}{3}x = \left( \frac{2}{3} \right)^2 x $
Belanja ke-3 $\rightarrow $ sisa3 = $\frac{2}{3}\times \text{sisa2} = \frac{2}{3}\times \left( \frac{2}{3} \right)^2 x = \left( \frac{2}{3} \right)^3 x $
.
.
.
Belanja ke-$n$ $\rightarrow $ sisa$n$ $ = \left( \frac{2}{3} \right)^n x $
$\clubsuit \, $ Belanja ke-$n$ dengan sisa kurang dari $\frac{32}{243} x $
$\begin{align} \left( \frac{2}{3} \right)^n x & < \frac{32}{243} x \\ \left( \frac{2}{3} \right)^n x & < \left( \frac{2}{3} \right)^5 x \\ \left( \frac{2}{3} \right)^n & < \left( \frac{2}{3} \right)^5 \\ n > 5 \end{align}$
Jadi, Adi telah belanja minimal 5 kali. $ \heartsuit $
Nomor 18
Jika 2p+q, 6p+q, dan 14p+q adalah tiga suku deret geometri yang berurutan, maka rasio deretnya adalah ...
$\spadesuit \, $ Barisan geometri, rasio sama :
$\begin{align} \frac{U_2}{U_1} & = \frac{U_3}{U_2} \\ U_2^2 & = U_1 . U_3 \\ (6p+q)^2 & = (2p+q)(14p+q) \\ 36p^2 + 12pq + q^2 & = 28p^2 + 16pq + q^2 \\ 8p^2 & = 4pq \\ 2p & = q \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi $ q=2p $ ke rasio
$r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{ 6p+q}{2p+q} = \frac{ 6p+2p}{2p+2p} = \frac{ 8p}{4p}=2 $
Jadi, rasionya adalah 2. $ \heartsuit $
Nomor 19
Jumlah n suku pertama deret : $^5 \log \frac{1}{a} + ^5 \log \frac{b}{a} + ^5 \log \frac{b^2}{a} + ... $ adalah ...
$\clubsuit \,$ Deret aritmatika : $ S_n = \frac{n}{2} (2a+(n-1)b) $
$\clubsuit \, $ Menentukan bedanya :
$b = U_2-U_1 = {}^5 \log \frac{b}{a} - {}^5 \log \frac{1}{a} = ^5 \log \left( \frac{b}{a} : \frac{1}{a} \right) = {}^5 \log b $
$\clubsuit \, $ Menentukan $S_n$ :
$\begin{align} S_n & = \frac{n}{2} (2a+(n-1)b) \\ & = \frac{n}{2} \left( 2. {}^5 \log \frac{1}{a} +(n-1). {}^5 \log b \right) \\ & = \frac{n}{2} \left( {}^5 \log \left( \frac{1}{a} \right)^2 + {}^5 \log b^{n-1} \right) \\ & = \frac{n}{2} \left( {}^5 \log \left( \frac{1}{a^2} \times b^{n-1} \right) \right) \\ & = {}^5 \log \left( \frac{b^{n-1} }{a^2} \right)^\frac{n}{2} \\ S_n & = {}^5 \log \left( \frac{\left( b^{n-1} \right)^\frac{n}{2} }{a^n} \right) \, \heartsuit \end{align}$
Nomor 20
Jika $P = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right) $ dan $ I = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $ , maka $-P^4+2P^3+3P^2+4I = ... $
$\spadesuit \, $ Menentukan perkalian matriksnya :
$P^2 = P.P = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
$P^3 = P^2.P = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right) $
$P^4 = P^2.P^2 = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) .\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & -P^4+2P^3+3P^2+4I \\ & = -\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) + 2\left( \begin{matrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right)+3\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)+4\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 & 2 \\ -4 & 2 \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -2 & 2 \\ -4 & 2 \end{matrix} \right) = -2\left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right) = -2P \end{align}$
Jadi, $-P^4+2P^3+3P^2+4I = -2P \heartsuit $

Cara II
$\spadesuit \, $ Perkalian identitas matriks : $P.I = I.P = P$
$\spadesuit \, $ Menentukan perkalian matriksnya :
$P^2 = P.P = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)=-I $
$P^3 = P^2.P = -I.P = -P $
$P^4 = P^2.P^2 =-I .-I = I $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soal :
$\begin{align} -P^4+2P^3+3P^2+4I & = -I + 2(-P)+3(-I)+4I \\ &= -2P \end{align}$
Jadi, $-P^4+2P^3+3P^2+4I = -2P \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar