Nomor 11
Jika $\overline{p} \,$ adalah negasi dari $p$ , maka kesimpulan dari pernyataan-pernyataan : $p \Rightarrow \overline{q} \, $ dan
$\, q \vee \overline{r} $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Silogisme : (sisi yang bersilangan sama dan bisa dicoret)
$ \begin{array}{c} A \Rightarrow B \\ B \Rightarrow C \\ \hline \therefore \, A \Rightarrow C \end{array} $
$\spadesuit \, $ Mengubah implikasi ($\Rightarrow $) menjadi disjungsi ($\vee$) atau sebaliknya.
Caranya adalah : yang depan dikasih ingkaran/negasi , yang belakang tetap.
$\, q \vee \overline{r} \, $ setara dengan $\, \overline{q} \Rightarrow \overline{r} $
$\spadesuit \, $ Menarik kesimpulan :
$ \begin{array}{c} p \Rightarrow \overline{q} \\ q \vee \overline{r} \\ \hline \therefore \end{array} \, $ atau setara dengan $ \, \begin{array}{c} p \Rightarrow \overline{q} \\ \overline{q} \Rightarrow \overline{r} \\ \hline \therefore \, p \Rightarrow \overline{r} \end{array} $
Sehingga kesimpulannya : $ p \Rightarrow \overline{r} \, $ atau setara dengan $\, \overline{p} \, \vee \, \overline{r}$
Jadi, kesimpulannya adalah $ \overline{p} \, \vee \, \overline{r} . \heartsuit $
$ \begin{array}{c} A \Rightarrow B \\ B \Rightarrow C \\ \hline \therefore \, A \Rightarrow C \end{array} $
$\spadesuit \, $ Mengubah implikasi ($\Rightarrow $) menjadi disjungsi ($\vee$) atau sebaliknya.
Caranya adalah : yang depan dikasih ingkaran/negasi , yang belakang tetap.
$\, q \vee \overline{r} \, $ setara dengan $\, \overline{q} \Rightarrow \overline{r} $
$\spadesuit \, $ Menarik kesimpulan :
$ \begin{array}{c} p \Rightarrow \overline{q} \\ q \vee \overline{r} \\ \hline \therefore \end{array} \, $ atau setara dengan $ \, \begin{array}{c} p \Rightarrow \overline{q} \\ \overline{q} \Rightarrow \overline{r} \\ \hline \therefore \, p \Rightarrow \overline{r} \end{array} $
Sehingga kesimpulannya : $ p \Rightarrow \overline{r} \, $ atau setara dengan $\, \overline{p} \, \vee \, \overline{r}$
Jadi, kesimpulannya adalah $ \overline{p} \, \vee \, \overline{r} . \heartsuit $
Nomor 12
Karyawan pada suatu perusahaan dibedakan menjadi tiga golongan. Karyawan golongan A akan memperoleh gaji per bulan sebesar sepertiga
dari gaji karyawan golongan B, sedangkan karyawan golongan C dibayar per bulan sebesar setengah dari gaji karyawan golongan B. Penghasilan
karyawan golongan C selama 4 bulan akan sama dengan penghasilan karyawan golongan A selama ...
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan yang terbentuk :
$A = \frac{1}{3} B \, $ dan $\, C = \frac{1}{2} B $ .
$\clubsuit \, $ Penghasilan C selama 4 bulan akan sama dengan penghasilan A selama $n$ bulan. Persamaannya : $4C = n A $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $n$ dari persamaan yang diketahui :
$\begin{align} 4C & = n A \\ 4.\frac{1}{2} B & = n. \frac{1}{3} B \\ 2B & = \frac{n}{3} B \\ n & = 6 \end{align} $
Jadi, Penghasilan C selama 4 bulan akan sama dengan penghasilan A selama 6 bulan.$ \heartsuit $
$A = \frac{1}{3} B \, $ dan $\, C = \frac{1}{2} B $ .
$\clubsuit \, $ Penghasilan C selama 4 bulan akan sama dengan penghasilan A selama $n$ bulan. Persamaannya : $4C = n A $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $n$ dari persamaan yang diketahui :
$\begin{align} 4C & = n A \\ 4.\frac{1}{2} B & = n. \frac{1}{3} B \\ 2B & = \frac{n}{3} B \\ n & = 6 \end{align} $
Jadi, Penghasilan C selama 4 bulan akan sama dengan penghasilan A selama 6 bulan.$ \heartsuit $
Nomor 13
Tiga bilangan bulat positif membentuk barisan aritmetika dengan beda 16. Jika bilangan yang terkecil ditambah 7 dan bilangan yang terbesar
ditambah 2, maka diperoleh barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Barisan aritmatika dengan beda 16 :
misalkan : $a, \, a+16 , \, $ dan $\, a+32$
$\spadesuit \, $ bilangan yang terkecil ditambah 7, bilangan yang terbesar ditambah 2 , membentuk barisan geometri :
$a+7, \, a+16 , \, $ dan $\, a+32 + 2$
Rasio sama :
$\begin{align} \frac{a+16}{a+7} & = \frac{a+34}{a+16} \\ (a+16)(a+16) & = (a+7)(a+34) \\ a^2 + 32a + 256 & = a^2 + 41a + 238 \\ 41a - 32 a & = 256 - 238 \\ 9a &= 18 \\ a & = \frac{18}{9} = 2 \end{align} $
Sehingga jumlah tiga bilangan tersebut adalah :
$a + (a+16) + (a+32) = 2 + (2+16)+(2+32) = 54 $
Jadi, jumlahnya adalah 54. $ \heartsuit $
misalkan : $a, \, a+16 , \, $ dan $\, a+32$
$\spadesuit \, $ bilangan yang terkecil ditambah 7, bilangan yang terbesar ditambah 2 , membentuk barisan geometri :
$a+7, \, a+16 , \, $ dan $\, a+32 + 2$
Rasio sama :
$\begin{align} \frac{a+16}{a+7} & = \frac{a+34}{a+16} \\ (a+16)(a+16) & = (a+7)(a+34) \\ a^2 + 32a + 256 & = a^2 + 41a + 238 \\ 41a - 32 a & = 256 - 238 \\ 9a &= 18 \\ a & = \frac{18}{9} = 2 \end{align} $
Sehingga jumlah tiga bilangan tersebut adalah :
$a + (a+16) + (a+32) = 2 + (2+16)+(2+32) = 54 $
Jadi, jumlahnya adalah 54. $ \heartsuit $
Nomor 14
Jika $A$ adalah matriks 2$\times$2 yang memenuhi $A\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \, $
dan $\, A\left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) $ , maka hasil kali
$\, A\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) $ adalah ...
$\clubsuit \,$ Misalkan : matriks A = $\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right)$
$\clubsuit \,$ Menentukan matriks A :
$\begin{align} A\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ 2a+b & = 1 \, \, \text{...pers(i)} \\ 2c+d & = 0 \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $ dan $\begin{align} A\left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ 4a+6b & = 0 \, \, \text{...pers(iii)} \\ 4c+6d & = 2 \, \, \text{...pers(iv)} \end{align} $
$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(iii), diperoleh : $a=\frac{3}{4} , \, b = - \frac{1}{2}$
$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(ii) dan pers(iv), diperoleh : $c= - \frac{1}{4} , \, d = \frac{1}{2}$
Sehingga matriks A = $\left( \begin{matrix} \frac{3}{4} & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right)$
$\clubsuit \,$ Menentukan hasilnya :
$\begin{align} A\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \frac{3}{4} & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, hasil $ A\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) . \heartsuit $
$\clubsuit \,$ Menentukan matriks A :
$\begin{align} A\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ 2a+b & = 1 \, \, \text{...pers(i)} \\ 2c+d & = 0 \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $ dan $\begin{align} A\left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ 4a+6b & = 0 \, \, \text{...pers(iii)} \\ 4c+6d & = 2 \, \, \text{...pers(iv)} \end{align} $
$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(iii), diperoleh : $a=\frac{3}{4} , \, b = - \frac{1}{2}$
$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(ii) dan pers(iv), diperoleh : $c= - \frac{1}{4} , \, d = \frac{1}{2}$
Sehingga matriks A = $\left( \begin{matrix} \frac{3}{4} & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right)$
$\clubsuit \,$ Menentukan hasilnya :
$\begin{align} A\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \frac{3}{4} & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, hasil $ A\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) . \heartsuit $
Cara II
$\clubsuit \,$ tidak perlu menentukan matriks A, akan tetapi langsung memodifikasi yang diketahui.
Persamaan I :
$\begin{align} A\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \, \, \text{(dikali 2)} \\ 2.A\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) & = 2.\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ A\left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \right) \, \, \text{...peis(i)} \end{align} $
Persamaan II :
$\begin{align} A\left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \, \, \text{(dikali 1/2)} \\ \frac{1}{2}.A\left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \right) & = \frac{1}{2}.\left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ A\left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right) \, \, \text{...peis(ii)} \end{align} $
Sehingga dari pers(i) dan pers(ii) :
$ A\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) = \left[ A\left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \right) \, \, A\left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \right] = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
Jadi, hasil $ A\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) . \heartsuit $
$\clubsuit \,$ tidak perlu menentukan matriks A, akan tetapi langsung memodifikasi yang diketahui.
Persamaan I :
$\begin{align} A\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \, \, \text{(dikali 2)} \\ 2.A\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) & = 2.\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ A\left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \right) \, \, \text{...peis(i)} \end{align} $
Persamaan II :
$\begin{align} A\left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \, \, \text{(dikali 1/2)} \\ \frac{1}{2}.A\left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \right) & = \frac{1}{2}.\left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ A\left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right) \, \, \text{...peis(ii)} \end{align} $
Sehingga dari pers(i) dan pers(ii) :
$ A\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) = \left[ A\left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \right) \, \, A\left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \right] = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
Jadi, hasil $ A\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) . \heartsuit $
Nomor 15
Jika jumlah 10 suku pertama suatu deret aritmetika adalah 220 dan jumlah 2 suku berturut-turut berikutnya adalah -4,
maka jumlah 2 suku pertama deret itu adalah ...
$\spadesuit \, $ Rumus dasar aritmetika :
$U_n = a + (n-1)b \, $ dan $\, S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b) $
$\spadesuit \, $ Jumlah 10 suku pertama adalah 220
$ S_{10} = \frac{10}{2} (2a + (10-1)b) \Rightarrow 220 = 5(2a+9b) $
$ \Rightarrow 2a+9b=44 \, $ ...pers(i)
$\spadesuit \, $ Jumlah 2 suku berturut-turut berikutnya adalah -4
$U_{11}+U_{12} = -4 \Rightarrow (a+10b) + (a+11b) = -4 $
$ \Rightarrow 2a + 21b = -4 \, $ ...pers(ii)
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{array}{cc} 2a + 21b = -4 & \\ 2a+9b=44 & - \\ \hline 12b = -48 \rightarrow b=-4 & \end{array}$
Pers(i) : $2a+9b=44 \Rightarrow 2a+ 9.(-4) = 44 \Rightarrow a = 40 $
$\spadesuit \, $ Jumlah 2 suku pertama :
$ S_2 = \frac{2}{2} (2a + (2-1)b) \Rightarrow S_2 = (2.40 + (-4)) = 76$
Jadi, jumlah 2 suku pertama deret itu adalah 76. $ \heartsuit $
$U_n = a + (n-1)b \, $ dan $\, S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b) $
$\spadesuit \, $ Jumlah 10 suku pertama adalah 220
$ S_{10} = \frac{10}{2} (2a + (10-1)b) \Rightarrow 220 = 5(2a+9b) $
$ \Rightarrow 2a+9b=44 \, $ ...pers(i)
$\spadesuit \, $ Jumlah 2 suku berturut-turut berikutnya adalah -4
$U_{11}+U_{12} = -4 \Rightarrow (a+10b) + (a+11b) = -4 $
$ \Rightarrow 2a + 21b = -4 \, $ ...pers(ii)
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{array}{cc} 2a + 21b = -4 & \\ 2a+9b=44 & - \\ \hline 12b = -48 \rightarrow b=-4 & \end{array}$
Pers(i) : $2a+9b=44 \Rightarrow 2a+ 9.(-4) = 44 \Rightarrow a = 40 $
$\spadesuit \, $ Jumlah 2 suku pertama :
$ S_2 = \frac{2}{2} (2a + (2-1)b) \Rightarrow S_2 = (2.40 + (-4)) = 76$
Jadi, jumlah 2 suku pertama deret itu adalah 76. $ \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.