Jumat, 09 Januari 2015

Pembahasan Soal SPMK UB atau SELMA UB Matematika IPA Kode 21 tahun 2013 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Jika $x-y=1 $ dan $x^y = 64 $ , maka $x+y = ... $
$\clubsuit \,$ Substitusi $x-y=1 \rightarrow y = x-1 $
$\begin{align*} x^y & = 64 \\ x^{x-1} & = 4^3 \\ \text{sehingga} \, x & = 4 \end{align*}$
$x-y=1 \rightarrow y = x-1 = 4-1 = 3 $
Jadi, nilai $x + y = 4 + 3 = 7. \heartsuit $
Nomor 12
Garis singgung fungsi $f(x) = \sqrt{(x^2-7)^3} $ di $x = 4 $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menentukan titik singgung :
$x = 4 \rightarrow y = \sqrt{(x^2-7)^3} \rightarrow y = \sqrt{(4^2-7)^3} = 27 $
sehingga titik singgungnya : (4,27) sebagai ($x_1,y_1$)
$\spadesuit \, $ Menentukan turunan $f(x)$ :
$f(x) = \sqrt{(x^2-7)^3} = (x^2-7)^{\frac{3}{2}} $
$ f^\prime (x) = \frac{3}{2} (x^2-7)^{\frac{1}{2}} . 2x = 3x\sqrt{x^2-7} $
$\spadesuit \, $ Menentukan Gradien garis singgung :
$m = f^\prime (4) \rightarrow m = 3.4 \sqrt{4^2-7} = 36 $
$\spadesuit \, $ Menentukan persamaan garis singgung :
$\begin{align*} y-y_1 & = m ( x-x_1) \\ y-27 & = 36 ( x-4) \\ y & = 36x - 117 \end{align*}$
Jadi, PGS nya $ y = 36x - 117 . \heartsuit $
Nomor 13
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah penyelesaian $x^{^2 \log x } = 16 $ , maka $x_1x_2 = ... $
$\clubsuit \,$ Definisi logaritma : $a^c = b \leftrightarrow c = {}^a \log b $
$\clubsuit \,$ Sifat logaritma : $^a\log b^n = n . {}^a \log b \, $ dan $\, {}^a \log b = \frac{1}{^b \log a} $
$\clubsuit \,$ Menyederhanakan soal :
$\begin{align*} x^{^2 \log x } = 16 \Leftrightarrow ^2 \log x & = ^x \log 16 \\ ^2 \log x & = {}^x \log 2^4 \\ ^2 \log x & = 4. {}^x \log 2 \\ ^2 \log x & = 4. \frac{1}{^2 \log x } \\ \left( ^2 \log x \right)^2 & = 4 \\ ^2 \log x & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \\ ^2 \log x = 2 \rightarrow x_1 & = 2^2 = 4 \\ ^2 \log x = -2 \rightarrow x_2 & = 2^{-2} = \frac{1}{4} \end{align*}$
Jadi, nilai $x_1.x_2 = 4 \times \frac{1}{4} = 1 . \heartsuit $
Nomor 14
Jika $x+\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^5} + ... = 2x $ , maka nilai $x$ yang mungkin adalah ....
(1). $-\sqrt{2} $       (2). -2       (3). $\sqrt{2}$       (4). 2
$\spadesuit \, $ Rumus dasar deret geometri tak hingga : $S_\infty = \frac{a}{1-r} $
Bentuk $x+\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^5} + ... $ adalah deret geometri tak hingga
dengan $ a = x \, $ dan $\, r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{\frac{1}{x}}{x} = \frac{1}{x^2} $
$\begin{align*} x+\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^5} + ... & = S_\infty \\ & = \frac{a}{1-r} = \frac{x}{1- \frac{1}{x^2} } \\ x+\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^5} + ... & = \frac{x^3}{x^2-1} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukana nilai $x$
$\begin{align*} x+\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^5} + ... & = 2x \\ \frac{x^3}{x^2-1} & = 2x \, \, \text{(bagi } \, x ) \\ \frac{x^2}{x^2-1} & = 2 \rightarrow x^2 = 2x^2 - 2 \\ x^2 & = 2 \rightarrow x = \pm \sqrt{2} \end{align*}$
Jadi, nilai $x \, $ yang memenuhi adalah $ x= \sqrt{2} \, \text{atau} \, x = -\sqrt{2} . \heartsuit $
Nomor 15
Nilai-nilai $x$ yang memenuhi $(x^2+x-1)^{x-2} = 1 $ adalah ...
(1). -2       (2). 0       (3). 1       (4). 2
$\clubsuit \,$ Konsep dasar :
Untuk $f(x)^{g(x)} = 1 \, $ mempunyai solusi :
1. $g(x) = 0 $ , dengan syarat $f(x) \neq 0 $
2. $f(x) = 1 $
3. $f(x) = -1 $ , dengan syarat $g(x)$ genap.
$\clubsuit \,$ Menyelesaiakan soal
Bentuk $(x^2+x-1)^{x-2} = 1 $ , dengan $f(x) = x^2+x -1 $ dan $g(x) = x-2 $ ,
solusinya :
1. $g(x) = 0 \rightarrow x-2 = 0 \rightarrow x = 2 . $
Cek : syarat $f(x) \neq 0 $
$ x = 2 \rightarrow f(2) = 2^2+2 -1 = 5 \, \, \, $ (memenuhi karena tidak nol)
2. $f(x) = 1 \rightarrow x^2+x -1 = 1 \rightarrow x^2+x-2 = 0 $
$(x-1)(x+2) = 0 \rightarrow x=1 \vee x=-2 \, \, \, \, \, $ (semua memenuhi)
3. $f(x) = -1 \rightarrow x^2+x -1 = -1 \rightarrow x^2+x = 0$
$x(x+1) = 0 \rightarrow x= 0 \vee x= -1 $
Cek : syarat $g(x)$ harus genap.
$x = 0 \rightarrow g(0) = 0-2 = -2 \, \, \, \, \, $ (memenuhi karena genap)
$x = -1 \rightarrow g(-1) = -1-2 = -3 \, \, \, \, \, $ (tidak memenuhi karena ganjil)
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah 2, 1, -2, dan 0. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar