Kamis, 26 Februari 2015

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2004 nomor 16 sampai 20


Nomor 16
Jika $ u = x^2 \, $ dan $ {}^x \log 10 = {}^u \log (5u-40), \, $ maka nilai $u \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Sifat logaritma : $ {{}^a}^n \log b^ n = {}^a \log b $
$\spadesuit \, $ Substitusi $u = x^2 \rightarrow x =\sqrt{u} $
$\begin{align} {}^x \log 10 & = {}^u \log (5u-40) \\ {}^\sqrt{u} \log 10 & = {}^u \log (5u-40) \\ {{}^\sqrt{u}}^2 \log 10^2 & = {}^u \log (5u-40) \\ {}^u \log 100 & = {}^u \log (5u-40) \\ 100 & = 5u-40 \\ 5u & = 140 \\ u & = 28 \end{align}$
Jadi, nilai $ u = 28 .\heartsuit $
Nomor 17
Jumlah suatu deret aritmetika adalah 20. Suku pertama deret tersebut adalah 8 dan bedanya $-2 \, $. Jika banyaknya suku deret tersebut adalah $n $ , maka $n $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Deret aritmetika : $S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) $
Diketahui : $a = 8 \, \, \, $ dan $\, \, b = -2 $
$\begin{align} S_n & = 20 \\ \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) & = 20 \\ \frac{n}{\not{2}}(\not{2}.8+(n-1).(-\not{2})) & = 20 \\ n(8 + 1 - n ) & = 20 \\ n(9-n) & = 20 \\ 9n-n^2 & = 20 \\ n^2 - 9n + 20 & = 0 \\ (n-4)(n-5) & = 0 \\ n = 4 & \vee n = 5 \end{align}$
Jadi, nilai $n \, $ adalah 4 atau 5. $ \heartsuit $
Nomor 18
Suku ke-1 suatu deret geometri adalah $a^{-2} \, $ , $ a > 0 \, $ dan suku ke-2 adalah $a^p \, $. Jika suku ke-10 deret tersebut adalah $a^{70} \, $ , maka $p \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $U_n=ar^{n-1} $
Dik : $a=U_1 = a^{-2} , \, U_2 = a^p , \, \, U_{10} = a^{70} $
$r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{a^p}{a^{-2}} \rightarrow r = a^{p+2} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $p$
$\begin{align} U_{10} & = a^{70} \\ U_1.r^9 & = a^{70} \\ a^{-2}. (a^{p+2})^9 & = a^{70} \\ a^{-2+9p+18} & = a^{70} \\ a^{9p+16} & = a^{70} \\ 9p+16 & = 70 \\ 9p & = 54 \\ p & = 6 \end{align}$
Jadi, nilai $ p = 6 . \heartsuit $
Nomor 19
Nilai $p \, $ yang memenuhi persamaan matriks $2\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right)+ \left( \begin{matrix} -6 & 2p \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) $ adalah ....
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $p$
$\begin{align} 2\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right)+ \left( \begin{matrix} -6 & 2p \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ -2 & 6 \end{matrix} \right)+ \left( \begin{matrix} -6 & 2p \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 & -2 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} -2 & 2p+2 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 & -2 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right) \end{align}$
sehingga : $2p+2 = -2 \rightarrow 2p = -4 \rightarrow p = -2 $
Jadi, nilai $ p = -2 . \heartsuit $
Nomor 20
Nilai rata-rata tes matematika dari kelompok siswa dan kelompok siswi di suatu kelas berturut-turut adalah 5 dan 7. Jika nilai rata-rata di kelas tersebut adalah 6,2 , maka perbandingan banyaknya siswa dan siswi adalah ....
$\spadesuit \, $ Data dibagi menjadi dua kelompok
banyak siswa = $n_a \, $ , rata - rata siswa : $ \overline{x}_a = 5 $
banyak siswi = $n_i \, $ , rata - rata siswi : $ \overline{x}_i = 7 $
rata - rata gabungan : $\overline{x}_{gb} = 6,2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan perbandingan dengan rata - rata gabungan
$\begin{align} \overline{x}_{gb} & = \frac{n_a. \overline{x}_a + n_i.\overline{x}_i}{n_a + n_i} \\ 6,2 & = \frac{5n_a + 7n_i}{n_a + n_i} \\ 6,2n_a+6,2n_i & = 5n_a + 7n_i \\ 6,2n_a-5n_a & = 7n_i - 6,2n_i \\ 1,2n_a & = 0,8n_i \\ \frac{n_a}{n_i} & = \frac{0,8}{1,2} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \end{align}$
Jadi, perbandingan banyaknya siswa dan siswi adalah 2 : 3 $ \heartsuit $
$\spadesuit \, $ Data dibagi menjadi dua kelompok
banyak siswa = $n_a \, $ , rata - rata siswa : $ \overline{x}_a = 5 $
banyak siswi = $n_i \, $ , rata - rata siswi : $ \overline{x}_i = 7 $
rata - rata gabungan : $\overline{x}_{gb} = 6,2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan perbandingan
$\begin{align} \frac{n_a}{n_i} & = \left| \frac{\overline{x}_{gb} - \overline{x}_i}{\overline{x}_{gb} - \overline{x}_a} \right| \\ & = \left| \frac{6,2 - 7}{6,2 - 5} \right| \\ & = \frac{0,8}{1,2} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \end{align}$
Jadi, perbandingan banyaknya siswa dan siswi adalah 2 : 3 $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar