Senin, 16 Februari 2015

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2006 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
$\displaystyle \lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{x}(x-7) }{\sqrt{x}-\sqrt{7}} = .... $
$\spadesuit \, $ Merasionalkan penyebutnya
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{x}(x-7) }{\sqrt{x}-\sqrt{7}} & = \displaystyle \lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{x}(x-7) }{\sqrt{x}-\sqrt{7}} . \frac{\sqrt{x}+\sqrt{7} }{\sqrt{x}+\sqrt{7}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{x}(x-7) (\sqrt{x}+\sqrt{7}) }{(x-7)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 7} \sqrt{x} (\sqrt{x}+\sqrt{7}) \\ & = \sqrt{7} (\sqrt{7}+\sqrt{7}) = \sqrt{7} . 2\sqrt{7} = 2. 7 = 14 \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah 14. $ \heartsuit $
Nomor 12
Jika $\tan x = -\frac{2}{3} $ , maka $\frac{5\sin x + 6\cos x}{2\cos x - 3\sin x} = .... $
$\clubsuit \, $ nilai $\tan x = -\frac{2}{3} \, \, $ dengan $x \, \, $ dikuadran II
spmb_matdas_6_2006.png
$\clubsuit \, $ Substitusi nilai $\sin x \, \, $ dan $\cos x \, \, $ pada soalnya
$\begin{align} \frac{5\sin x + 6\cos x}{2\cos x - 3\sin x} & = \frac{5.\frac{2}{\sqrt{13}} + 6.\frac{-3}{\sqrt{13}}}{2.\frac{-3}{\sqrt{13}} - 3.\frac{2}{\sqrt{13}}} \\ & = \frac{\frac{10-18}{\sqrt{13}}}{\frac{-6-6}{\sqrt{13}}} = \frac{\frac{-8}{\sqrt{13}}}{\frac{-12}{\sqrt{13}}} \\ & = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \end{align}$
Jadi, nilainya adalah $ \frac{2}{3} . \heartsuit $
Nomor 13
Jika sudut lancip $\alpha $ memenuhi $\sin \alpha = \frac{1}{3} \sqrt{3} $ , maka $\tan (\frac{1}{2} \pi - \alpha ) + 3\cos \alpha = .... $
$\spadesuit \, $ Nilai $\sin \alpha = \frac{1}{3} \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} $ , buat segitiganya
spmb_matdas_7_2006.png
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soalnya
Konsep dasar : $\tan (\frac{1}{2} \pi - \alpha ) = \cot \alpha $
$\begin{align} \tan (\frac{1}{2} \pi - \alpha ) + 3\cos \alpha & = \cot \alpha + 3\cos \alpha \\ & = \sqrt{2} + 3 \times \frac{\sqrt{6}}{3} \\ & = \sqrt{2} + \sqrt{6} \end{align}$
Jadi, nilainya adalah $ \sqrt{2} + \sqrt{6} . \heartsuit $
Nomor 14
Dari kawat yang panjangnya 500 meter akan dibuat kerangka balok yang salah satu rusuknya 25 meter. Jika volume baloknya maksimum, maka panjang dua rusuk yang lain adalah ....
$\clubsuit \,$ gambar
spmb_matdas_8_2006.png
$\clubsuit \,$ Total panjang rusuk = 500
$\begin{align} \text{total panjang rusuk} \, & = 4\times 25 + 4x + 4t \\ 500 & = 100 + 4x + 4t \\ 4x+4t & = 400 \\ x+t & = 100 \rightarrow t = 100-x \end{align}$
$\clubsuit \,$ Volume maksimum , syarat : $V^\prime = 0 \, \, $ (turunan = 0 )
$\begin{align} V & = p.l.t \\ & = 25.x.t \\ & = 25x(100-x) \\ V & = 25 (100x-x^2) \rightarrow V^\prime = 25(100-2x) \\ V^\prime & = 0 \\ 25(100-2x) & = 0 \rightarrow x = 50 \\ t & = 100-x= 100-50 = 50 \end{align} $
Jadi, panjang dua rusuk yang lainnya adalah $x=50 \, \, $ dan $t=50 \, \, $ . $ \heartsuit $
Nomor 15
Jika ${}^4 \log 6 = m+1 $ , maka ${}^9 \log 8 = .... $
$\spadesuit \, $ Sifat-sifat logaritma
${}^a \log bc = {}^a \log b + {}^a \log c , \, \, {}^a \log b = \frac{{}^p \log b }{{}^p \log a } $
$ {}^a \log b^ n = n. {}^a \log b $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan ${}^4 \log 6 = m+1 $
$\begin{align} {}^4 \log 6 & = m+1 \\ \frac{{}^2 \log 6 }{{}^2 \log 4 } & = m+1 \\ \frac{{}^2 \log 3 + {}^2 \log 2 }{2} & = m+1 \\ {}^2 \log 3 + 1 & = 2m + 2 \\ {}^2 \log 3 & = 2m + 1 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soal
$\begin{align} {}^9 \log 8 & = \frac{{}^2 \log 8 }{{}^2 \log 9 } = \frac{{}^2 \log 2^3 }{{}^2 \log 3^2 } = \frac{3.{}^2 \log 2 }{2.{}^2 \log 3 } \\ & = \frac{3.1 }{2.(2m + 1) } = \frac{3 }{4m+2} \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^9 \log 8 = \frac{3 }{4m+2} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar