Sabtu, 14 Maret 2015

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2002 nomor 21 sampai 25


Nomor 21
Dari sehelai karton akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup dengan alas bujur sangkar. Jika jumlah luas bidang alas dan semua bidang sisi kotak ditentukan sebesar 432 cm$^2\, $ , maka volume kotak terbesar yang mungkin adalah ....
$\spadesuit \, $ Gambar
spmb_matdas_5_2002.png
$\begin{align} L_p & = L_{alas} + 4\times L_{samping} \\ 432 & = x^2 + 4xt \\ t & = \frac{432 - x^2}{4x} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan volume dan turunannya
$\begin{align} V & = L_{alas} \times t \\ V & = x^2.t \\ V & = x^2 . \frac{432 - x^2}{4x} \\ V & = \frac{1}{4} (432x-x^3) \rightarrow V^\prime = \frac{1}{4}(432-3x^2) \end{align}$
$\spadesuit \, $ Nilai max/min : $ V^\prime = 0 \, $ (turunan = 0)
$ V^\prime = 0 \rightarrow \frac{1}{4}(432-3x^2) = 0 \rightarrow x = 12 $
sehingga volume maksimumnya saat $ x = 12 $
$V_{max} = \frac{1}{4} (432x-x^3) = \frac{1}{4} (432.12-(12)^3) = 864 $
Jadi, volume maksimumnya adalah 864. $ \heartsuit $

Cara II
$\spadesuit \, $ Balok tanpa tutup :
$V_{max} = \frac{L_p}{6}.\sqrt{\frac{L_p}{3}} $
$\spadesuit \, $ Menentukan volume maksimum dengan $ L_p = 432 $
$V_{max} = \frac{L_p}{6}.\sqrt{\frac{L_p}{3}} = \frac{432}{6}.\sqrt{\frac{432}{3}} = 864 $
Jadi, volume maksimumnya adalah 864. $ \heartsuit $
Nomor 22
Jika $r \, $ rasio deret geometri tak hingga yang jumlahnya mempunyai limit dan $S \, $ limit jumlah deret tak hingga $1 + \frac{1}{4+r} + \frac{1}{(4+r)^2} + ....+ \frac{1}{(4+r)^n} + ..... \, $ , maka .....
$\clubsuit \, r \, $ adalah rasio deret geometri tak hingga, sehingga harus $ -1 < r < 1 $
Rumus dasar tak hingga : $ S_\infty = \frac{a}{1-rasio} $
Deret : $1 + \frac{1}{4+r} + \frac{1}{(4+r)^2} + ....+ \frac{1}{(4+r)^n} + ..... \, $
dengan $ a = 1 \, \, $ dan $ \, rasio = \frac{U_2}{U_1} = \frac{1}{4+r} $
Jumlah tak hingganya dengan $S_\infty = S $ adalah :
$\begin{align} S_\infty & = \frac{a}{1-rasio} \\ S & = \frac{1}{1- \frac{1}{4+r} } \\ S & = \frac{4+r}{3+r} \\ S & = 1 + \frac{1}{3+r} \end{align}$
Untuk interval nilai $ r $ : $ -1 < r < 1 $
Nilai terkecil untuk $r=1 $ , $ S = 1 + \frac{1}{3+1} = 1\frac{1}{4} $
Nilai terbesar untuk $r=-1 $ , $ S = 1 + \frac{1}{3+(-1)} = 1\frac{1}{2} $
Jadi, rentang nilai $ S $ adalah $ 1\frac{1}{4} < S < 1\frac{1}{2}. \heartsuit $
Nomor 23
Titik-titik sudut segitiga sama kaki ABC terletak pada lingkaran berjari-jari 3 cm. Jika alas AB = $2\sqrt{2} \, $ cm, maka $\, \, \tan A = .... $
$\spadesuit \, $ Gambar
spmb_matdas_6_2002.png
$AB = 2\sqrt{2} \rightarrow AD = \frac{1}{2}AB = \sqrt{2} $
$OD = \sqrt{OB^2-DB^2} = \sqrt{3^2 - \sqrt{2}^2} = \sqrt{9-2} = \sqrt{7} $
$CD = CO + OD = 3 + \sqrt{7} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai tan A pada segitiga ACD
$\begin{align} \tan A & = \frac{CD}{AD} = \frac{3+\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \\ & = \frac{3+\sqrt{7}}{\sqrt{2}} . \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ \tan A & = \frac{1}{2}(3\sqrt{2}+\sqrt{14}) \end{align}$
Jadi, nilai $ \tan A = \frac{1}{2}(3\sqrt{2}+\sqrt{14}) . \heartsuit $
Nomor 24
Jika ${}^8 \log 5 = r , \, $ maka $ \, {}^5 \log 16 = .... $
$\clubsuit \,$ Sifat-sifat logaritma
${{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b \, \, $ dan $ \, {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} $
$\clubsuit \,$ Menyederhanakan yang diketahui
${}^8 \log 5 = r \rightarrow {{}^2}^3 \log 5^1 = r $
$ \rightarrow \frac{1}{3} {}^2 \log 5 = r \rightarrow {}^2 \log 5 = 3r $
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soal
$\begin{align} {}^5 \log 16 & = {}^5 \log 2^4 \\ & = 4 . {}^5 \log 2 \\ & = 4. \frac{1}{{}^2 \log 5} \\ & = 4 . \frac{1}{3r} = \frac{4}{3r} \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^5 \log 16 = \frac{4}{3r} . \heartsuit $
Nomor 25
Untuk memperpendek lintasan A menuju C melalui B, dibuat jalan pintas dari A langsung ke C. Jika AB = $a \, $ dan BC = $3a \, $ , maka panjang jalur pintas AC adalah .....
spmb_matdas_1_2002.png
$\spadesuit \, $ Aturan cosinus pada sudut B
$\begin{align} AC^2 & = BC^2 + BA^2 - 2BC.BA . \cos B \\ & = (3a)^2 + a^2 - 2 . (3a).a . \cos 120^\circ \\ & = 9a^2 + a^2 - 6a^2. (-\frac{1}{2}) \\ & = 10a^2 + 3a^2 \\ AC^2 & = 13a^2 \\ AC & = \sqrt{13a^2} = a\sqrt{13} \end{align}$
Jadi, panajang $ AC = a\sqrt{13} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar