Kamis, 26 Maret 2015

Pembahasan Soal UMPTN Matematika Dasar tahun 2001 nomor 16 sampai 20


Nomor 16
Jarak terpendek titik (4, 2) ke titik pada parabol $ \, y^2 = 8x \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Gambar
umptn_matdas_8_2001.png
Jarak terdekat titik (4,2) ke parabola adalah jarak AB.
$\spadesuit \, $ Substitusi titik B(a,b) ke parabola
$y^2=8x \rightarrow b^2 = 8a \rightarrow a = \frac{b^2}{8} $
sehingga titik B($\frac{b^2}{8} , b $)
$\spadesuit \, $ Jarak titik A dan B
jarak $ \, = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} $
jarak $ \, = \sqrt{(\frac{b^2}{8} - 4)^2+(b-2)^2} = \sqrt{\frac{b^4}{64} - 4b + 20}$
$\spadesuit \, $ Nilai maks/min : $f^\prime (x) = 0 \, $ (Turunan pertama = 0)
$\begin{align} j & = \sqrt{\frac{b^4}{64} - 4b + 20} \\ j^\prime & = \frac{\frac{4b^3}{64} - 4}{2\sqrt{\frac{b^4}{64} - 4b + 20}} \\ j^\prime & = 0 \\ \frac{\frac{4b^3}{64} - 4}{2\sqrt{\frac{b^4}{64} - 4b + 20}} & = 0 \\ \frac{4b^3}{64} - 4 & = 0 \\ b & = 4 \end{align}$
Sehingga jarak minimumnya :
jarak $ \, = \sqrt{\frac{b^4}{64} - 4b + 20} = \sqrt{\frac{4^4}{64} - 4.4 + 20} = 2\sqrt{2} $
Jadi, jarak minimumnya adalah $ 2\sqrt{2}. \heartsuit $
Nomor 17
Turunan dari $ \, y=(1-x)^2(2x+3) \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Rumus dasar
$y = \left[ f(x) \right]^n \rightarrow y^\prime = n.\left[ f(x) \right]^{n-1} . f^\prime (x) $
$ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime.V + U.V^\prime $
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan
$\begin{align} y & =(1-x)^2(2x+3) \\ U & = (1-x)^2 \rightarrow U^\prime = 2(1-x).(-1) = -2(1-x) \\ V & = (2x+3) \rightarrow V^\prime = 2 \\ y^\prime & = U^\prime.V + U.V^\prime \\ y^\prime & = -2(1-x).(2x+3) + (1-x)^2. 2 \\ & = (1-x)(-4x-6+2-2x) \\ & = (1-x)(-6x-4) \\ y^\prime & = 2(x-1)(3x+2) \end{align}$
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = 2(x-1)(3x+2) . \heartsuit $
Nomor 18
Jika $ \, {}^2 \log \frac{1}{a} = \frac{3}{2} \, $ dan $ \, {}^{16} \log b = 5 . \, $ Maka $ \, {}^a \log \frac{1}{b^3} = .... $
$\spadesuit \, $ Definisi dan sifat logaritma
Def : $ {}^a \log b = c \leftrightarrow b = a^c $
Sifat : $ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} . {}^a \log b $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \, a \, $ dan $ \, b$
$ {}^2 \log \frac{1}{a} = \frac{3}{2} \rightarrow \frac{1}{a} = 2^\frac{3}{2} \rightarrow a = 2^\frac{-3}{2} $
$ {}^{16} \log b = 5 \rightarrow b = 16^5 = (2^4)^5 = 2^20$
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} {}^a \log \frac{1}{b^3} & = {}^a \log b^{-3} \\ & = {{}^2}^\frac{-3}{2} \log (2^20)^{-3} \\ & = {{}^2}^\frac{-3}{2} \log (2)^{-60} \\ & = \frac{-60}{\frac{-3}{2}} {}^2 \log 2 \\ & = 60. \frac{2}{3} . 1 \\ & = 40 \end{align}$
Jadi, nilai logaritmanya adalah 40. $ \heartsuit $
Nomor 19
Nilai $ x \, $ yang memenuhi $ \, \left( {}^b \log x \right)^2 + 10 < 7. {}^b \log x \, $ dengan $ \, b > 1 \, $ adalah ....
$\clubsuit \,$ Misal : $ p = {}^b \log x $
$\begin{align} \left( {}^b \log x \right)^2 + 10 & < 7. {}^b \log x \\ p^2 + 10 & < 7p \\ p^2 - 7p + 10 & < 0 \\ (p-2)(p-5) & = 0 \\ p=2 \rightarrow \, & {}^b \log x = 2 \rightarrow x = b^2 \\ p=5 \rightarrow \, & {}^b \log x = 5 \rightarrow x = b^5 \end{align}$
umptn_matdas_9_2001.png
Jadi, solusinya adalah $ HP = \{ b^2 < x < b^5 \} . \heartsuit $
Nomor 20
Jika $ \, (a+2), \, (a-1), \, (a-7), .... \, $ membentuk barisan geometri. Maka rasionya sama dengan ....
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $ \, (a+2), \, (a-1), \, (a-7) $
Rasio sama , diperoleh persamaan berikut :
$\begin{align} \text{Rasio} \, = \frac{U_2}{U_1} & = \frac{U_3}{U_2} \\ (U_2)^2 & = U_1.U_3 \\ (a-1)^2 & = (a+2).(a-7) \\ a^2-2a+1 & = a^2 - 5a - 14 \\ 3a & = -15 \rightarrow a = -5 \end{align}$
Sehingga rasio :
Rasio $ = \frac{U_2}{U_1} = \frac{a-1}{a+2} = \frac{-5-1}{-5+2} = \frac{-6}{-3} = 2 $
Jadi, rasionya adalah 2. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar