Rabu, 01 April 2015

Pembahasan Soal Simak UI Matematika Dasar KD1 tahun 2014 nomor 16 sampai 20


Hallow sobat, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja.

Wah, pembahasan kali ini cukup menyulitkan terutama untuk beberapa nomor tertentu. Pembahasan soal simak ui matematika dasar kd1 tahun 2014 nomor 16 sampai 20 terdapat soal yang sulit yaitu nomor 17 dan nomor 19. Untuk nomor 17 sebenarnya lebih ke bentuk aljabar dan penerapan pertidaksamaan, akan tetapi butuh trik khusus agar mudah diselesaikan terutama otak - atik aljabarnya. Nah untuk nomor 19 merupakan aplikasi teori bilangan untuk angka - angka terkecil dengan memasukkan angka 0 (nol) ke digit-digitnya agar terbentuk suatu bilangan yang terkecil.

Sebenarnya soal nomor 16 juga menarik karena harus memahami sifat-sifat akar pada persamaan dan fungsi kuadrat secara mendalam (konsep dasar) dan analisa secara mendalam. Kemudian untuk nomor 18 dan nomor 20 relatif lebih mudah, konsep logaritma diterapkan untuk nomor 18 dan konsep fungsi komposisi dan invers digunakan untuk nomor 20.

Untuk lebih jelasnya, dan tidak berlama-lama lagi, berikut pembahasan lengkap untuk soal simak ui matematika dasar kd1 tahun 2014 nomor 16 sampai nomor 20. Selamat belajar.
Nomor 16
Diketahui persamaan kuadrat $f(x)=ax^2+bx+c$ , $a,b,c$ adalah bilangan bulat tidak nol. Pernyataan berikut ini yang tidak mungkin terjadi adalah ...
A). $f(x) $ memiliki dua akar rasional
B). $f(x) $ memiliki hanya satu akar rasional
C). $f(x) $ tidak memiliki akar bilangan real
D). $f(x) $ memiliki hanya satu akar negatif
E). $f(x) $ memiliki hanya satu akar irrasional
$\spadesuit \, $ pesamaan : $ f(x) = ax^2+bx+c = 0 $ , memiliki akar-akar $ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $
Analisa fungsi :
(i) Jika $ D = k^2 \, $ (bilangan kuadrat), maka terdapat 2 akar rasional.
(ii) Jika $ D = 0 \, $ , maka terdapat 1 akar rasional.
(iii) Jika $ D < 0 \, $ , maka tidak memiliki akar bilangan real.
(iv) Jika $ D = 0 , b > 0 , a < 0 \, $ , maka terdapat satu akar negatif.
(v) Jika $ D > 0 \, $ dan $ \, D \neq k^2 \, $ , maka terdapat 2 akar irrasional.
Jadi, yang tidak mungkin adalah $ f(x) \, $ memiliki hanya satu akar irrasional berdasarkan penjelasan (v). $ \heartsuit$
Nomor 17
Misalkan $y$ adalah bilangan real sedemikian sehingga $ 3< y <4 $ dan $ y^3-6y-7=0 $ . Bilangan bulat terdekat dengan $y^2$ adalah ...
$\clubsuit \,$ Memodifikasi persamaan
$\begin{align} y^3-6y-7 & = 0 \\ y^3-6y & = 7 \\ y(y^2-6) & = 7 \\ y^2-6 & = \frac{7}{y} \\ y^2 & = \frac{7}{y} + 6 \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
$\clubsuit \,$ Memodifikasi $ \, 3 < y < 4 $
$\begin{align} 3< & y<4 \, \, \text{(gunakan pembilang 1 atau dibagi)} \\ \frac{1}{4} < & \frac{1}{y} < \frac{1}{3} \, \, \text{(kali 7)} \\ \frac{7}{4} < & \frac{7}{y} < \frac{7}{3} \, \, \text{(tambah 6)} \\ \frac{7}{4} + 6 < & \frac{7}{y} + 6 < \frac{7}{3} + 6 \, \, \text{gunakan pers(i)} \\ \frac{7}{4} + 6 < & y^2 < \frac{7}{3} + 6 \\ 7,75 < & y^2 < 8,333 \end{align}$
Nilai $ y^2 $ terletak pada interval antara 7,75 dan 8,333, sehingga nilai $ y^2 $ bulat yang memenuhi adalah 8.
Jadi, bilangan bulat terdekat dengan $y^2$ adalah 8. $\heartsuit $
Nomor 18
Jika ${}^{ab} \log a =4$, maka ${}^{ab} \log \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}} = ...$
$\spadesuit \, $ Sifat logaritma :
$ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a } $
$ {}^a \log bc = {}^a \log b + {}^a \log c $
$ {}^a \log \frac{b}{c} = {}^a \log b - {}^a \log c $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ {}^a \log b $
${}^{ab} \log a =4 \rightarrow {}^a \log ab = \frac{1}{4} $
$ \rightarrow {}^a \log a + {}^a \log b = \frac{1}{4} \rightarrow {}^a \log b = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4} $
sehingga : $ {}^b \log a = - \frac{4}{3} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ {}^{ab} \log b $
$ {}^{ab} \log b = \frac{1}{ {}^b \log ab} =\frac{1}{ {}^b \log a + {}^b \log b} = \frac{1}{ - \frac{4}{3} + 1 } = -3 $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soal
$\begin{align} {}^{ab} \log \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}} & = {}^{ab} \log \sqrt[3]{a} - {}^{ab} \log \sqrt{b} \\ & = \frac{1}{3}. {}^{ab} \log a - \frac{1}{2}. {}^{ab} \log b \\ & = \frac{1}{3}. 4 - \frac{1}{2}. (-3) \\ & = \frac{17}{6} \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^{ab} \log \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}} = \frac{17}{6} . \heartsuit $
Nomor 19
Dalam basis 10, bilangan bulat positif $p$ memiliki 3 digit, bilangan bulat positif $q$ memiliki $p$ digit, dan bilangan bulat positif $r$ memiliki $q$ digit. Nilai terkecil untuk $r$ adalah ...
$\clubsuit \, $ Agar nilai $ r $ terkecil, maka nilai $ p $ harus terkecil juga.
$\clubsuit \, p $ memiliki 3 digit, yang terkecil adalah $ p = 100 $
$\clubsuit \, q $ memiliki p digit, yang terkecil adalah $ q = 10^{99} $
$\clubsuit \, r $ memiliki $ q $ digit, yang terkecil adalah $ r = 10^{10^{99} - 1 } $
Jadi, nilai $ r = 10^{10^{99} - 1 } . \heartsuit$
Nomor 20
Gunakan Petunjuk C dalam menjawab soal no 20.
Jika $f^{-1} \left( \frac{1-x}{1+x} \right) = x$ untuk semua $x\neq -1$ , maka pernyataan berikut yang terpenuhi adalah ...
1). $f(-2-x)=-2-f(x) \, $ 2). $f(-x)=\frac{1}{f(x)} \, $
3). $f\left( \frac{1}{x} \right)=-f(x) \, $ 4). $f(f(x))=-x$
$\spadesuit \, $ Definisi invers : $ p = f(q) \Leftrightarrow f^{-1} (p) = q $
$\spadesuit \, $ Menentukan $f(x)$
$f^{-1} \left( \frac{1-x}{1+x} \right) = x \Leftrightarrow f(x) = \frac{1-x}{1+x} $
$\spadesuit \, $ Cek kebeneran setiap pernyataan dengan $ f(x) = \frac{1-x}{1+x} $
1). $f(-2-x)= \frac{1-(-2-x)}{1+(-2-x)} = \frac{3+x}{-1-x} = \frac{-3-x}{1+x} $
$ -2-f(x) = -2 - \frac{1-x}{1+x} = \frac{-3-x}{1+x} $
Bentuk $ f(-2-x)=-2-f(x) \, $ , sehingga pernyataan 1 benar.
2). $f(-x)= \frac{1-(-x)}{1+(-x)} = \frac{1+x}{1-x} $
$ \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{\frac{1-x}{1+x}} = \frac{1+x}{1-x} $
Bentuk $ f(-x)=\frac{1}{f(x)} \, $ , sehingga pernyataan 2 benar.
3). $f(\frac{1}{x})= \frac{1-(\frac{1}{x})}{1+(\frac{1}{x})} = \frac{x-1}{x+1} $
$ -f(x) = - \left( \frac{1-x}{1+x} \right) = \frac{x-1}{x+1} $
Bentuk $ f(\frac{1}{x})=-f(x) \, $ , sehingga pernyataan 3 benar.
4). $f(f(x))=f \left( \frac{1-x}{1+x} \right) = \frac{1-\left( \frac{1-x}{1+x} \right)}{1+\left( \frac{1-x}{1+x} \right)} = x $
Bentuk $ f(f(x)) \neq -x \, $ , sehingga pernyataan 4 salah.
Jadi, yang benar adalah pernyataan 1, 2, dan 3. $ \heartsuit $


Jika ada masukan, saran, kritikan, alternatif penyelesaian lain yang lebih mudah, atau apapun yang berhubungan dengan halaman ini, silahkan kirim ke email : d.4rm.408@gmail.com , atau langsung isi komentar pada kotak komentar di bawah ini. Semoga bermanfaat, terima kasih.
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Tidak ada komentar:

Posting Komentar