Rabu, 29 April 2015

Pembahasan Soal SPMB Matematika IPA tahun 2003


Nomor 1
Hasil kali suku kedua dan suku keempat dari suatu barisan geometri yang semua sukunya positif adalah 16. Jika jumlah tiga suku pertamanya adalah 7, maka suku pertamanya adalah ....
$\clubsuit \, $ Barisan geometri : $ U_n = ar^{n-1} $
$\clubsuit \, $ Hasil kali suku kedua dan keempat
$\begin{align} U_2.U_4 & = 16 \\ ar . ar^3 & = 16 \\ (ar^2)^2 & = 16 \\ ar^2 & = 4 \, \, \, \text{...pers(i)} \\ a & = \frac{4}{r^2} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Jumlah tiga suku pertama dan dari pers(i)
$\begin{align} U_1 + U_2 + U_3 & = 7 \\ a + ar + ar^2 & = 7 \\ a + ar + 4 & = 7 \\ a(1+r) & = 7 - 4 \, \, \, \text{dari pers(i)} \\ \frac{4}{r^2} (1+r) & = 3 \\ 4 + 4r & = 3r^2 \\ 3r^2 - 4r - 4 & = 0 \\ (3r +2)(r-2) & = 0 \\ r = -\frac{2}{3} \vee r & = 2 \end{align}$
Karena suku-sukunya positif, maka $ r= 2 $ yang memenuhi.
Sehingga pers(i) : $ a = \frac{4}{r^2} = \frac{4}{2^2} = 1 $
Jadi, suku pertamanya adalah 1. $ \heartsuit $
Nomor 2
Hail kali nilai - nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ \frac{x^{2 \, {}^{10} \log x \, - 6}}{1000} = \frac{1000}{x^2} \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Sifat logaritma : $ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soal dengan permisalan $ p= {}^{10} \log x $
$\begin{align} \frac{x^{2 \, {}^{10} \log x \, - 6}}{1000} & = \frac{1000}{x^2} \, \, \text{(kali silang)} \\ x^2 . x^{2 \, {}^{10} \log x \, - 6} & = 1000 \times 1000 \\ x^{2 \, + \, 2 \, {}^{10} \log x \, - 6} & = 10^6 \\ x^{2 \, {}^{10} \log x \, - 4} & = 10^6 \\ {}^{10} \log (x^{2 \, {}^{10} \log x \, - 4}) & = {}^{10} \log 10^6 \\ (2 \, {}^{10} \log x \, - 4) . {}^{10} \log x & = 6. {}^{10} \log 10 \\ \text{(substitusi } \, & p= {}^{10} \log x ) \\ (2p - 4) p & = 6 . 1 \\ 2p^2 - 4p - 6 & = 0 \, \, \text{(bagi 2)} \\ p^2 - 2p - 3 & = 0 \\ (p+1)(p-3) & = 0 \\ p=-1 \rightarrow {}^{10} \log x & = -1 \rightarrow x_1 = 10^{-1} \\ p=3 \rightarrow {}^{10} \log x & = 3 \rightarrow x_2 = 10^3 \end{align}$
Seingga nilai : $x_1.x_2 = 10^{-1}10^{3} = 10^{-1+3} = 10^{2} $
Jadi, nilai $ x_1.x_2 = 10^{2} . \heartsuit $
Nomor 3
Akar - akar persamaan kuadrat $ x^2 + 6x + c = 0 \, $ adalah $ x_1 $ dan $ x_2 $. Akar - akar persamaan kuadrat $ x^2 +(x_1^2 + x_2^2)x+4 = 0 \, $ adalah $ u $ dan $ v $. Jika $ u + v = -uv \, $ , maka $ x_1^3x_2 + x_1x_2^3 = .... $
$\clubsuit \, $ PK I : $ x^2 + 6x + c = 0 \, $ akar - akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
$\begin{align} x_1+x_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-6}{1} = -6 \\ x_1.x_2 & = \frac{c}{a} = \frac{c}{1} = c \\ x_1^2+x_2^2 & = (x_1+x_2)^2 - 2.x_1x_2 \\ & = (-6)^2 - 2c = 36 - 2c \end{align}$
$\clubsuit \, $ PK II : $ x^2 +(x_1^2 + x_2^2)x+4 = 0 \, $ akar - akar $ u $ dan $ v $
$\begin{align} u+v & = \frac{-b}{a} = \frac{-(x_1^2+x_2^2 )}{1} = \frac{-(36 - 2c)}{1} = 2c - 36 \\ uv & = \frac{c}{a} = \frac{4}{1} = 4 \\ \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ c $
$\begin{align} u + v & = -uv \\ 2c - 36 & = - 4 \\ c & = 16 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ x_1^3x_2 + x_1x_2^3 $
$\begin{align} x_1^3x_2 + x_1x_2^3 & = x_1x_2(x_1^2 + x_2^2) \\ & = c ( 36 - 2c) \\ & = 16. (36 - 2. 16) \\ & = 16. (36 - 32) = 16. 4 = 64 \end{align}$
Jadi, nilai $ x_1^3x_2 + x_1x_2^3 = 64 . \heartsuit$
Nomor 4
Luas daerah dalam kuadran I yang dibatasi oleh $ y = 4 - x^2, \, y = 3x \, $ dan $ y = 0, \, $ dapat dinyatakan sebagai ....
$\spadesuit \, $ Gambar
spmb_mat_ipa_2_2003.png
$\spadesuit \, $ Titik potong garis dan parabola
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ 3x & = 4 - x^2 \\ x^2 + 3x - 4 & = 0 \\ (x-1)(x+4) & = 0 \\ x = 1 \vee x & = -4 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan luas daerah arsiran
$\begin{align} L & = L_A + L_B \\ & = \int \limits_0^1 3x dx + \int \limits_1^2 (4-x^2) dx \\ & = \int \limits_0^1 3x dx + \int \limits_1^2 -(x^2-4) dx \\ & = \int \limits_0^1 3x dx - \int \limits_1^2 (x^2-4) dx \end{align}$
Jadi, luasnya adalah $ \int \limits_0^1 3x dx - \int \limits_1^2 (x^2-4) dx . \heartsuit $
Nomor 5
Jika pada interval $ 0 \leq x \leq 4, \, $ turunan fungsi $ f(x) = 2 - 2\sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) \, $ bernilai nol di $ x_1 $ dan $ x_2, \, $ maka $ x_1^2 + x_2^2 = .... $
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan dan nilainya = 0
$\begin{align} f(x) & = 2 - 2\sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) \\ f^\prime (x) & = - 2.\frac{\pi }{2}.\cos \left( \frac{\pi x}{2} \right) \\ f^\prime (x) & = - 2\pi \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right) \\ f^\prime (x) & = 0 \\ - 2\pi \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right) & = 0 \\ \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right) & = 0 \\ \text{Nilai } \, \cos \theta = 0 \text{ diperoleh untuk } \, \theta & = \frac{\pi }{2} \, \text{dan} \, \, \theta = \frac{3\pi }{2} \\ \frac{\pi x}{2} = \frac{\pi }{2} \rightarrow x_1 & = 1 \\ \frac{\pi x}{2} = \frac{3\pi }{2} \rightarrow x_2 & = 3 \end{align}$
Sehingga nilai $ x_1^2 + x_2^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 $
Jadi, nilai $ x_1^2 + x_2^2 = 10 . \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar