Senin, 18 Mei 2015

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 631 tahun 2014


Nomor 1
Tiga puluh data mempunyai rata-rata $p$. Jika rata-rata 20% data diantaranya adalah $p+0,1$ ; 40% lainnya adalah $p-0,1$ ; 10% lainnya lagi adalah $p-0,5$ dan rata-rata 30% data sisanya adalah $p+q$, maka $q=...$
$\clubsuit \, $ Rumus rata-rata gabungan : $\overline{x}_{gb}=\frac{n_1.\overline{x}_1+n_2.\overline{x}_2+n_3.\overline{x}_3+...}{n_1+n_2+n_3+...}$
$\clubsuit \, $ Data dibagi menjadi 4 kelompok :
$n_1=20\%,\overline{x}_1=p+0,1 ; n_2=40\%, \overline{x}_2=p-0,1 ; \\ n_3=10\%, \overline{x}_3=p-0,5 ; n_4=30\% , \overline{x}_4=p+q ; \overline{x}_{gb}=p$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $q$
$\begin{align} \overline{x}_{gb}&=\frac{n_1.\overline{x}_1+n_2.\overline{x}_2+n_3.\overline{x}_3+n_4.\overline{x}_4}{n_1+n_2+n_3+n_4} \\ p&=\frac{20\%.(p+0,1)+40\%.(p-0,1)+10\%.(p-0,5)+30\%.(p+q)}{20\%+40\%+10\%+30\%} \\ p&=\frac{0,2p+0,02+0,4p-0,04+0,1p-0,05+0,3p+0,3q}{100\%} \\ \not{p}&=\frac{\not{p}-0,07+0,3q}{1} \\ q&=\frac{0,07}{0,3}=\frac{7}{30} \end{align}$
Jadi, $q=\frac{7}{30}. \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ {}^b \log a = -2 \, $ dan $ {}^3 \log b = \left( {}^3 \log 2 \right) ( 1 + {}^2 \log 4a ), \, $ maka $ 4a + b = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep logaritma:
Definisi : $ {}^a \log b = c \rightarrow b = as^c $
Sifat : $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) , \, $ dan $ {}^a \log b. {}^b \log c = {}^a \log c $
Persamaan : $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
$\spadesuit \, $ Menentukan hubungan $ a \, $ dan $ b $
Persamaan pertama :
$\begin{align} {}^b \log a = -2 \rightarrow a & = b^{-2} \\ a & = \frac{1}{b^2} \\ a.b^2 & = 1 \, \, \, \text{ ....pers(i)} \end{align}$
Persamaan kedua :
$\begin{align} {}^3 \log b & = \left( {}^3 \log 2 \right) ( 1 + {}^2 \log 4a ) \\ {}^3 \log b & = {}^3 \log 2 + {}^3 \log 2 . {}^2 \log 4a \\ {}^3 \log b & = {}^3 \log 2 + {}^3 \log 4a \\ {}^3 \log b & = {}^3 \log (2. 4a) \\ {}^3 \log b & = {}^3 \log 8a \\ b & = 8a \, \, \, \text{ ....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(ii) ke pers(i)
$\begin{align} b = 8a \rightarrow a.b^2 & = 1 \\ a.(8a)^2 & = 1 \\ 64a^3 & = 1 \\ a^3 & = \frac{1}{64} \\ a & = \frac{1}{4} \end{align}$
Pers(ii) : $ b = 8a = 8 . \frac{1}{4} = 2 $
Sehingga nilai $ 4a + b = 4. \frac{1}{4} + 2 = 1+2 = 3 $
Jadi, nilai $ 4a + b = 3 . \heartsuit $
Nomor 3
Persamaan kuadrat $ px^2 - qx + 4 = 0 \, $ memunyai akar positif $ \alpha \, $ dan $ \beta \, $ dengan $ \alpha = 4\beta . \, $ Jika grafik fungsi $ f(x) = px^2 - qx + 4 \, $ mempunyai sumbu simetri $ x = \frac{5}{2} , \, $ maka nilai $ p \, $ dan $ q \, $ masing-masing adalah ....
$\clubsuit \, $ Menentukan hubungan $ p \, $ dan $ q $ dengan operasi akar-akar
Diketahui : $ \alpha = 4 \beta \, $ ....pers(i)
PK : $ px^2 - qx + 4 = 0 \, $ dengan akar-akar $ \alpha \, $ dan $ \beta $
$ \alpha + \beta = \frac{-b}{a} = \frac{-(-q)}{p} \rightarrow \alpha + \beta = \frac{q}{p} \, $ ...pers(ii)
Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$ \alpha + \beta = \frac{q}{p} \rightarrow 4\beta + \beta = \frac{q}{p} \rightarrow 5\beta = \frac{q}{p} \rightarrow \beta = \frac{q}{5p} $
pers(i) : $ \alpha = 4 \beta = 4.\frac{q}{5p} = \frac{4q}{5p} \, $
Operasi perkalian dan gunakan $ \alpha = \frac{4q}{5p} , \, \beta = \frac{q}{5p} $
$\begin{align} \alpha . \beta & = \frac{c}{a} \\ \frac{4q}{5p} . \frac{q}{5p} & = \frac{4}{p} \\ q^2 & = 25p \, \, \, \text{...pers(iii)} \end{align} $
$\clubsuit \, $ Fungsi $ f(x) = px^2 - qx + 4 \, $ dengan sumbu simetri $ x = \frac{5}{2} , $
artinya $ x_p = \frac{5}{2} \, $ dengan rumus $ x_p = \frac{-b}{2a} $
$\begin{align} x_p & = \frac{5}{2} \\ \frac{-b}{2a} & = \frac{5}{2} \\ \frac{-(-q)}{2p} & = \frac{5}{2} \\ q & = 5p \, \, \, \text{...pers(iv)} \end{align} $
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(iv) ke pers(iii)
$\begin{align} q = 5p \rightarrow q^2 & = 25p \\ (5p)^2 & = 25p \\ 25p^2 & = 25p \, \, \, \text{(bagi 25)} \\ p^2 & = p \\ p^2 - p & = 0 \\ p(p-1) & = 0 \\ p=0 \vee p & = 1 \end{align} $
Karena fungsi kuadrat berbentuk $ f(x) = px^2 - qx + 4 \, $ , maka $ p \neq 0 , \, $ sehingga yang memenuhi adalah nilai $ p = 1 $ .
pers(iv) : $ q = 5p = 5.1 = 5 $
Jadi, diperoleh nilai $ p =1 \, $ dan $ q = 5. \heartsuit $

Cara II :
$\clubsuit \, $ Rumus $ x_p = \frac{-b}{2a} \, $ dapat dimodifikasi dengan $ \alpha + \beta = \frac{-b}{a} $
$\begin{align} x_p & = \frac{-b}{2a} = \frac{1}{2} . \frac{-b}{a} = \frac{1}{2} (\alpha + \beta) \end{align} $
Artinya bentuk lain rumus $ x_p \, $ adalah $ x_p = \frac{1}{2} (\alpha + \beta) $
$\clubsuit \, $ Fungsi $ f(x) = px^2 - qx + 4 \, $ dengan sumbu simetri $ x = \frac{5}{2} , $
artinya $ x_p = \frac{5}{2} \, $ dengan rumus $ x_p = \frac{1}{2} (\alpha + \beta) \, $ dan diketahui $ \alpha = 4\beta $
$\begin{align} x_p & = \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} (\alpha + \beta) & = \frac{5}{2} \\ \alpha + \beta & = 5 \, \, \, \text{(subst. } \alpha = 4\beta ) \\ 4\beta + \beta & = 5 \\ 5\beta & = 5 \rightarrow \beta = 1 \end{align} $
Bentuk : $ \alpha = 4\beta \rightarrow \alpha = 4.1 = 4 $
diperole $ \alpha = 1 \, $ dan $ \beta = 4 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ p \, $ dan $ q \, $ dengan operasi akar-akar
PK : $ px^2 - qx + 4 = 0 \, $ dengan akar-akar $ \alpha \, $ dan $ \beta $
$\begin{align} *). \, \, \alpha.\beta & = \frac{c}{a} \\ 1.4 & = \frac{4}{p} \rightarrow p = 1 \\ *). \, \, \alpha+\beta & = \frac{-b}{a} \\ 1+4 & = \frac{-(-q)}{p} \\ 5 & = \frac{q}{1} \rightarrow q = 5 \end{align} $
Jadi, diperoleh nilai $ p =1 \, $ dan $ q = 5. \heartsuit $
Nomor 4
Seorang penjahit akan membuat 2 model pakaian. Dia mempunyai persediaan kain batik 40 meter dan kain polos 15 meter. Model A memerlukan 1 meter kain batik dan 1,5 meter kain polos, sedang model B memerlukan 2 meter kain batik dan 0,5 meter kain polos. Maksimum banyak pakaian yang mungkin dapat dibuat adalah ...
$\spadesuit \, $ Model matematika yang terbentuk adalah :
fungsi tujuannya : $f(x,y)=x+y $
Fungsi kendala:
$x+2y \leq 40 $ dan $1,5x+0,5y \leq 15 \Leftrightarrow 3x+y \leq 30 , x\geq 0 , y \geq 0$
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong pers. kendala terhadap sumbu $X$ dan sumbu $Y$ :
$x+2y \leq 40 \Rightarrow (0,20) \, \text{titik pojok} \, \text{dan} \, (40,0) \, \text{bukan titik pojok} $
$3x+y \leq 30 \Rightarrow (0,30) \, \text{bukan titik pojok} \, \text{dan} \, (10,0) \, \text{titik pojok} $

NOTE : disebut titik pojok jika titik tersebut memenuhi semua pertidaksamaan.

$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong kedua pertidaksamaan :
Eliminasi persamaan $x+2y = 40 $ dan $3x+y = 30$ diperoleh $x=4,y=18$, sehingga titik potongnya (4,18)
$\spadesuit \, $ Substitusi semua titik pojoknya ke fungsi tujuannya :
$(0,20) \Rightarrow f(0,20)=0+20=20 $
$(10,0) \Rightarrow f(10,0)=10+0=10 $
$(4,18) \Rightarrow f(4,18)=4+18=22 $
Jadi, nilai maksimumnya adalah 22 .$ \heartsuit $
Cara II : Memodifikasi fungsi kendala sehingga jika dioperasikan bentuknya akan sama dengan fungsi tujuan yang ditanyakan.
$\spadesuit \, $ Model matematika yang terbentuk adalah :
fungsi tujuannya : $f(x,y)=x+y $
Fungsi kendala:
$x+2y \leq 40 $ dan $1,5x+0,5y \leq 15 \Leftrightarrow 3x+y \leq 30 , x\geq 0 , y \geq 0$
$\spadesuit \, $ Memodifikasi fungsi kendalanya
$\begin{array}{c|c|cc} x+2y \leq 40 & \times 2 & 2x + 4y \leq 80 & \\ 3x+y \leq 30 & \times 1 & 3x+y \leq 30 & + \\ \hline & & 5x + 5y \leq 110 & \\ & & x + y \leq 22 & \end{array} $
Dari bentuk $ x + y \leq 22, \, $ artinya nilai maksimum dari $ x + y \, $ adalah 22, dan ini sama dengan fungsi tujuan yang ditanyakan.
Jadi, nilai maksimumnya adalah 22 .$ \heartsuit $
Nomor 5
Jika $ a > 2, \, $ maka grafik fungsi $ f(x) = ax^2 + 2ax + 2 \, $
(A) berada di atas sumbu X
(B) berada di bawah sumbu X
(C) menyinggung sumbu X
(D) memotong sumbu X di dua titik berbeda
(E) memotong sumbu X di $ (x_1,0) \, $ dan $ (x_2,0) \, $ dengan $ x_1 > 0 \, $ dan $ x_2 > 0 $
$\clubsuit \, $ Konsep nilai diskriminan ($D=b^2-4ac$) pada fungsi kuadrat (FK)
jika nilai $ D > 0 \, $ , maka FK memotong sumbu X di dua titik berbeda
jika nilai $ D = 0 \, $ , maka FK memotong sumbu X di satu titik (menyinggung)
jika nilai $ D < 0 \, $ , maka FK tidak memotong atau tidak menyinggungs sumbu X
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai Diskriminannya
fungsi $ f(x) = ax^2 + 2ax + 2 \, $ dengan $ a > 2 $
$\begin{align} D & = b^2 - 4ac \\ & = (2a)^2 - 4.a.2 \\ & = 4a^2 - 8a \\ D & = 4a(a - 2 ) \end{align}$
Karena nilai $ a > 2 \, $ , maka nilai $ (a-2) \, $ juga positif begitu juga nilai $ 4a $ .
Diperoleh nilai $ D = 4a(a-2) \, $ juga positif ($D > 0$), sehingga berdasarkan jenis nilai Diskriminan di atas maka FK memotong sumbu X di dua titik yang berbeda.
Catatan : Untuk opsi E, nilai $ x_1 > 0 \, $ dan $ x_2 > 0 \, $ akan memungkinkan nilai $ x_1 \, $ sama dengan nilai $ x_2 \, $ , sedangkan dari syarat haruslah titik potongnya berbeda ($x_1 \neq x_2 $), sehingga opsi E salah.
Jadi, FK memotong sumbu X di dua titik yang berbeda. $ \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar