Nomor 6
Nilai maksimum $ a \, $ sehingga sistem persamaan $ \left\{ \begin{array}{c} x+y = 4a \\ 2x^2 + y^2 = 12a \end{array} \right. \, $
mempunyai penyelesaian adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
Dua persamaan atau kurva (yang ada kaitannya dengan persamaan kuadrat) mempunyai penyelesaian (titik potong) jika nilai Diskriminannya lebih besar atau sama dengan nol ($ D \geq 0 $ ).
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
pers(i) : $ x+y = 4a \rightarrow y = 4a - x $
pers(ii) :
$\begin{align} 2x^2 + y^2 & = 12a \\ 2x^2 + (4a-x)^2 & = 12a \\ 2x^2 + 16a^2 - 8ax + x^2 & = 12a \\ 3x^2 - 8ax + 16a^2 - 12a & = 0 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Syarat mempunyai penyelesaian : $ D \geq 0 $
$\begin{align} D & \geq 0 \\ b^2 - 4ac & \geq 0 \\ (-8a)^2 - 4.3.(16a^2-12a) & \geq 0 \\ 64a^2 - 4.3.4(4a^2-3a) & \geq 0 \, \, \, \text{(bagi 16)} \\ 4a^2 - 12a^2 + 9a & \geq 0 \\ -8a^2 + 9a & \geq 0 \\ a(-8a + 9 ) & \geq 0 \\ a=0 \vee a & = \frac{9}{8} \end{align}$
Nilai $ a \, $ yang memenuhi adalah $ \{ 0 \leq a \leq \frac{9}{8} \} \, $ .
Sehingga nilai maksimumnya : $ a_\text{maks} = \frac{9}{8} $
Jadi, nilai $ a_\text{maks} = \frac{9}{8} . \heartsuit $
Dua persamaan atau kurva (yang ada kaitannya dengan persamaan kuadrat) mempunyai penyelesaian (titik potong) jika nilai Diskriminannya lebih besar atau sama dengan nol ($ D \geq 0 $ ).
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
pers(i) : $ x+y = 4a \rightarrow y = 4a - x $
pers(ii) :
$\begin{align} 2x^2 + y^2 & = 12a \\ 2x^2 + (4a-x)^2 & = 12a \\ 2x^2 + 16a^2 - 8ax + x^2 & = 12a \\ 3x^2 - 8ax + 16a^2 - 12a & = 0 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Syarat mempunyai penyelesaian : $ D \geq 0 $
$\begin{align} D & \geq 0 \\ b^2 - 4ac & \geq 0 \\ (-8a)^2 - 4.3.(16a^2-12a) & \geq 0 \\ 64a^2 - 4.3.4(4a^2-3a) & \geq 0 \, \, \, \text{(bagi 16)} \\ 4a^2 - 12a^2 + 9a & \geq 0 \\ -8a^2 + 9a & \geq 0 \\ a(-8a + 9 ) & \geq 0 \\ a=0 \vee a & = \frac{9}{8} \end{align}$
Nilai $ a \, $ yang memenuhi adalah $ \{ 0 \leq a \leq \frac{9}{8} \} \, $ .
Sehingga nilai maksimumnya : $ a_\text{maks} = \frac{9}{8} $
Jadi, nilai $ a_\text{maks} = \frac{9}{8} . \heartsuit $
Nomor 7
Semua nilai $ p \, $ yang memenuhi pertidaksamaan $ \frac{p}{p-2} < \frac{p-1}{p+2} \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Menentukan akar-akar pembilang dan penyebutnya
$\begin{align} \frac{p}{p-2} & < \frac{p-1}{p+2} \\ \frac{p}{p-2} - \frac{p-1}{p+2} & < 0 \\ \frac{p(p+2) - (p-1)(p-2)}{(p-2)(p+2)} & < 0 \\ \frac{(p^2+2p) - (p^2-3p+2)}{(p-2)(p+2)} & < 0 \\ \frac{5p-2}{(p-2)(p+2)} & < 0 \\ p = \frac{2}{5}, \, p = 2 , \, p & = -2 \end{align} $
Jadi, solusinya $ HP = \{ p < -2 \vee \frac{2}{5} < p < 2 \} . \heartsuit$
$\begin{align} \frac{p}{p-2} & < \frac{p-1}{p+2} \\ \frac{p}{p-2} - \frac{p-1}{p+2} & < 0 \\ \frac{p(p+2) - (p-1)(p-2)}{(p-2)(p+2)} & < 0 \\ \frac{(p^2+2p) - (p^2-3p+2)}{(p-2)(p+2)} & < 0 \\ \frac{5p-2}{(p-2)(p+2)} & < 0 \\ p = \frac{2}{5}, \, p = 2 , \, p & = -2 \end{align} $
Jadi, solusinya $ HP = \{ p < -2 \vee \frac{2}{5} < p < 2 \} . \heartsuit$
Nomor 8
Jika $ \cos x=2\sin x $ , maka nilai $ \sin x \cos x $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \tan x$ dengan $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ :
$\cos x=2\sin x \Leftrightarrow \frac{\sin x}{\cos x}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \tan x=\frac{1}{2}$
$\spadesuit \, $ Buat segitiga dari nilai $\tan x=\frac{1}{2}$ :
sehingga $\sin x\cos x=\frac{1}{\sqrt{5}}.\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{5}$
Jadi, nilai $ \sin x\cos x=\frac{2}{5}. \, \heartsuit $
$\cos x=2\sin x \Leftrightarrow \frac{\sin x}{\cos x}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \tan x=\frac{1}{2}$
$\spadesuit \, $ Buat segitiga dari nilai $\tan x=\frac{1}{2}$ :
sehingga $\sin x\cos x=\frac{1}{\sqrt{5}}.\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{5}$
Jadi, nilai $ \sin x\cos x=\frac{2}{5}. \, \heartsuit $
Nomor 9
Diketahui $ p, x,y \, $ merupakan bilangan real dengan $ x > 0. \, $ Jika $ p,x,y, \frac{1}{5}x^2 \, $ membentuk
barisan geometri, maka $ p^6x^{-3} = ..... $
$\clubsuit \, $ Sifat eksponen : $ (a^m)^n = a^{m.n}, \, a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
$\clubsuit \, $ Barisan Geometri : $ p,x,y, \frac{1}{5}x^2 \, $
Barisan geometri : $ p,x,y $
Rasio sama, $ \frac{x}{p} = \frac{y}{x} \rightarrow x^2 = p.y \rightarrow y = \frac{x^2}{p} \, $ ...pers(i)
Barisan geometri : $ x,y, \frac{1}{5}x^2 $
Rasio sama, $ \frac{y}{x} = \frac{\frac{1}{5}x^2}{y} \rightarrow y^2 = \frac{1}{5}x^3 \, $ ...pers(ii)
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align} y = \frac{x^2}{p} \rightarrow y^2 & = \frac{1}{5}x^3 \\ \left( \frac{x^2}{p} \right)^2 & = \frac{1}{5}x^3 \\ \frac{x^4}{p^2} & = \frac{1}{5}x^3 \\ 5x & = p^2 \, \, \, \text{(pangkatkan 3)} \\ (5x)^3 & = ( p^2 )^3 \\ 125x^3 & = p^6 \\ \frac{p^6}{x^3} & = 125 \\ p^6.x^{-3} & = 125 \end{align}$
Jadi, nilai $ p^6.x^{-3} = 125 . \heartsuit $
$\clubsuit \, $ Barisan Geometri : $ p,x,y, \frac{1}{5}x^2 \, $
Barisan geometri : $ p,x,y $
Rasio sama, $ \frac{x}{p} = \frac{y}{x} \rightarrow x^2 = p.y \rightarrow y = \frac{x^2}{p} \, $ ...pers(i)
Barisan geometri : $ x,y, \frac{1}{5}x^2 $
Rasio sama, $ \frac{y}{x} = \frac{\frac{1}{5}x^2}{y} \rightarrow y^2 = \frac{1}{5}x^3 \, $ ...pers(ii)
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align} y = \frac{x^2}{p} \rightarrow y^2 & = \frac{1}{5}x^3 \\ \left( \frac{x^2}{p} \right)^2 & = \frac{1}{5}x^3 \\ \frac{x^4}{p^2} & = \frac{1}{5}x^3 \\ 5x & = p^2 \, \, \, \text{(pangkatkan 3)} \\ (5x)^3 & = ( p^2 )^3 \\ 125x^3 & = p^6 \\ \frac{p^6}{x^3} & = 125 \\ p^6.x^{-3} & = 125 \end{align}$
Jadi, nilai $ p^6.x^{-3} = 125 . \heartsuit $
Nomor 10
Jika $ A = \left( \begin{matrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) , \, $ B memiliki invers, dan
$ (AB^{-1})^{-1} = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right) , \, $ maka matriks B = ....
$\spadesuit \, $ Sifat invers pada matriks
sifat(1) : $ (A^{-1})^{-1} = A $
sifat(2) : $(AB)^{-1} = B^{-1}. A^{-1} $
sifat(3) : $ BA = C \rightarrow B = C . A^{-1} $
$\spadesuit \, $ Menentukan matriks $ B $ dengan sifat invers
$\begin{align} (AB^{-1})^{-1} & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right) \, \, \, \text{[dengan sifat(2)]} \\ (B^{-1})^{-1}. A^{-1} & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right) \, \, \, \text{[dengan sifat(1)]} \\ B. A^{-1} & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right) \, \, \, \text{[dengan sifat(3)]} \\ B & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right). (A^{-1})^{-1} \, \, \, \text{[dengan sifat(1)]} \\ B & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right). A \\ B & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) \\ B & = \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ 6 & 9 \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, matriks $ B = \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ 6 & 9 \end{matrix} \right) . \heartsuit $
sifat(1) : $ (A^{-1})^{-1} = A $
sifat(2) : $(AB)^{-1} = B^{-1}. A^{-1} $
sifat(3) : $ BA = C \rightarrow B = C . A^{-1} $
$\spadesuit \, $ Menentukan matriks $ B $ dengan sifat invers
$\begin{align} (AB^{-1})^{-1} & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right) \, \, \, \text{[dengan sifat(2)]} \\ (B^{-1})^{-1}. A^{-1} & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right) \, \, \, \text{[dengan sifat(1)]} \\ B. A^{-1} & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right) \, \, \, \text{[dengan sifat(3)]} \\ B & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right). (A^{-1})^{-1} \, \, \, \text{[dengan sifat(1)]} \\ B & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right). A \\ B & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) \\ B & = \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ 6 & 9 \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, matriks $ B = \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ 6 & 9 \end{matrix} \right) . \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.