Pembahasan Soal Simak UI Matematika Dasar KD2 tahun 2014 nomor 16 sampai 20


Nomor 16
Terdapat sebuah kantong berisi kelereng 4 warna : putih, hijau, biru, dan merah. Ketika 4 kelereng diambil tanpa pengembalian, kejadian berikut memiliki peluang yang sama untuk terjadi :
$\clubsuit \, $ memilih 4 kelereng merah,
$\clubsuit \, $ memilih satu kelereng putih dan 3 kelereng merah ,
$\clubsuit \, $ memilih satu kelereng putih, satu kelereng biru, dan 2 kelereng merah , dan
$\clubsuit \, $ memilih satu kelereng untuk setiap warna.
Banyaknya kelereng minimum yang memenuhi kondisi tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Misal : banyak kelereng merah = $ m \, $ , banyak kelereng putih = $ p \, $
banyak kelereng biru = $ b \, $ , banyak kelereng hijau = $ h \, $ dan total kelereng = $ x $
$\spadesuit \, $ 4 kelereng diambil sekaligus, $ n(S) = C_4^x $
Konsep peluang kejadian A : $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
$\spadesuit \, $ Menentukan peluang masing-masing kejadian
1). Kejadian I : memilih 4 kelereng merah , $ n(I) = C_4^m $
$P(I) = \frac{n(I)}{n(S)} = \frac{C_4^m}{C_4^x} = \frac{m.(m-1).(m-2).(m-3)}{4!.C_4^x} $
2). Kejadian II : memilih satu kelereng putih dan 3 kelereng merah , $ n(II) = C_1^p.C_3^m $
$P(II) = \frac{n(II)}{n(S)} = \frac{C_1^p.C_3^m}{C_4^x} = \frac{p.m.(m-1).(m-2)}{3!.C_4^x} $
3). Kejadian III : memilih satu kelereng putih, satu kelereng biru, dan 2 kelereng merah , $ n(III) = C_1^p.C_1^b.C_2^m $
$P(III) = \frac{n(III)}{n(S)} = \frac{C_1^p.C_1^b.C_2^m}{C_4^x} = \frac{p.b.m.(m-1)}{2!.C_4^x} $
4). Kejadian IV : memilih satu kelereng untuk setiap warna , $ n(IV) = C_1^p.C_1^b.C_1^m .C_1^h $
$P(IV) = \frac{n(IV)}{n(S)} = \frac{C_1^p.C_1^b.C_1^m .C_1^h}{C_4^x} = \frac{p.b.m.h}{C_4^x} $
$\spadesuit \, $ Keempat kejadian memiliki peluang yang sama, sehingga diperoleh
$\begin{align} P(I) & = P(II) \\ \frac{m.(m-1).(m-2).(m-3)}{4!.C_4^x} & = \frac{p.m.(m-1).(m-2)}{3!.C_4^x} \\ \frac{m-3}{4} & = p \rightarrow m = 4p+3 \, \, \, \text{.....pers(i)} \\ P(II) & = P(III) \\ \frac{p.m.(m-1).(m-2)}{3!.C_4^x} & = \frac{p.b.m.(m-1)}{2!.C_4^x} \\ \frac{m-2}{3} & = b \rightarrow m = 3b + 2 \, \, \, \text{.....pers(ii)} \\ P(III) & = P(IV) \\ \frac{p.b.m.(m-1)}{2!.C_4^x} & = \frac{p.b.m.h}{C_4^x} \\ \frac{m-1}{2} & = h \rightarrow m = 2h+1 \, \, \, \text{.....pers(iii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Konsep dasar bilangan ganjil dan genap
*). Bilangan genap dikali bilangan ganjil atau genap hasilnya pasti genap, bilangan ganjil dikali ganjil hasilnya pasti ganjil.
**). Ganjil ditambah ganjil atau genap ditambah genap hasilnya pasti genap, namun ganjil ditambah genap atau sebaliknya hasilnya pasti ganjil.
$\spadesuit \, $ Analisa bilangan $ m \, $ dan $ b \, $ dari ketiga persamaan
$\begin{align} m & = 4p+3 \, \rightarrow \, \text{(hasilnya ganjil)} \\ m & = 3b + 2 \\ m & = 2h+1 \, \rightarrow \, \text{(hasilnya ganjil)} \end{align}$
Karena $ m \, $ bilangan ganjil, maka bentuk $ m = 3b+2 \, $ harus ganjil juga yang diperoleh ketika $ b \, $ bilangan ganjil. Untuk jumlah kelereng yang minimum, maka banyaknya kelereng $ b \, $ harus sekecil mungkin.
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ m, p, h \, $ berdasarkan nilai $ b \, $ yang ganjil
$\begin{align} \text{untuk } \, b=1 \rightarrow m & = 3b+2 = 3.1+2 = 5 \\ m = 4p+3 \rightarrow 5 & = 4p + 3 \rightarrow p =\frac{1}{2} \\ \text{(tidak memenuhi } & \text{ karena banyak kelereng harus bulat)} \\ \text{untuk } \, b=3 \rightarrow m & = 3b+2 = 3.3+2 = 11 \\ m = 4p+3 \rightarrow 11 & = 4p + 3 \rightarrow p =2 \\ m = 2h+1 \rightarrow 11 & = 2h+1 \rightarrow h = 5 \end{align}$
banyaknya kelereng minimum adalah $ m =11, p = 2, b=3, h = 5 $
Sehingga jumlahnya = $ m+p+b+h = 11+2+3+5=21 $
Jadi, banyaknya kelereng minimum adalah 21 kelereng. $ \heartsuit$
Nomor 17
Misalkan $m$ dan $n$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $3x^2-5x+1=0$. Persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar $\frac{1}{m^2}+1$ dan $\frac{1}{n^2}+1$ adalah ...
$\clubsuit \,$ Konsep dasar menyusun PK : $ x^2 - (HJ)x + (HK) = 0 $
PK : $ 3x^2-5x+1=0 \, $ dengan akar-akar $ m \, $ dan $ n $
$ m+n = \frac{-b}{a} = \frac{-(-5)}{3} = \frac{5}{3} \, $ dan $ \, m.n = \frac{c}{a} = \frac{1}{3} $
PK dengan akar-akar $ \frac{1}{m^2}+1 \, $ dan $ \, \frac{1}{n^2}+1$
$\clubsuit \,$ Menentukan Hasil Jumlah (HJ) dan Hasil Kali (HK)
$\begin{align} HJ & = \left( \frac{1}{m^2}+1 \right) + \left( \frac{1}{n^2}+1 \right) \\ & = \left( \frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2} \right) + 2 \\ & = \frac{m^2 + n^2}{m^2.n^2} + 2 \\ & = \frac{(m+n)^2 - 2mn}{(m.n)^2} + 2 \\ & = \frac{(\frac{5}{3})^2 - 2.\frac{1}{3}}{(\frac{1}{3})^2} + 2 \\ & = 19 + 2 = 21 \\ HK & = \left( \frac{1}{m^2}+1 \right) . \left( \frac{1}{n^2}+1 \right) \\ & = \frac{1}{m^2} . \frac{1}{n^2} + \left( \frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2} \right) + 1 \\ & = \frac{1}{(mn)^2} + \frac{(m+n)^2 - 2mn}{(m.n)^2} + 1 \\ & = \frac{1}{(\frac{1}{3})^2} + \frac{(\frac{5}{3})^2 - 2.\frac{1}{3}}{(\frac{1}{3})^2} + 1 \\ & = 9 + 19 + 1 = 29 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Menyusun persamaan kuadratnya
$\begin{align} x^2 - (HJ)x + (HK) & = 0 \\ x^2 - 21x + 29 & = 0 \end{align}$
Jadi, PK nya adalah $ x^2 - 21x + 29 = 0 . \heartsuit $
Nomor 18
Misalkan $f(x)$ memenuhi sifat $f(x+2)=f(x)$ dan $f(-x)=f(x)$ untuk setiap bilangan real $x$. Jika pada $2\leq x \leq 3, f(x)=x$, maka nilai dari $f(1,5)+f(-0,5)=...$
$\spadesuit \, $ Sistem persamaan yang terbentuk :
$\left\{ \begin{array}{ccc} f(x+2) = f(x) & \text{....pers(i)} & \\ f(-x) = f(x) & \text{....pers(ii)} & \\ f(x) = x , \, \text{untuk } & 2 \leq x \leq 3 & \text{....pers(iii)} \end{array} \right. $
$\spadesuit \, $ Menentukan $ f(1,5) \, $ dengan pers(i)
$\begin{align} f(1,5) & = f(-0,5 + 2 ) \, \, \, \, \, \text{ [ dari pers(i) ]} \\ f(1,5) & = f(-0,5) \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan $ f(-0,5) $
$\begin{align} f(-x) & = f(x) \, \, \, \, \text{....pers(ii)}\\ f(-0,5) & = f(0,5) \\ f(x) & = f(x+2) \, \, \, \, \text{....pers(i)}\\ f(0,5) & = f(0,5 + 2) \\ f(0,5) & = f(2,5) \end{align}$
Karena 2,5 ada pada interval $ 2\leq x \leq 3 \, $ , maka berlaku pers(iii).
$ f(x) = x \rightarrow f(2,5) = 2,5 $
Sehingga nilai $ f(0,5) = f(2,5) = 2,5 $
Disimpulkan : $ f(1,5) = f(-0,5) = f(0,5) = f(2,5) = 2,5 $
sehingga nilai $ f(1,5) + f(-0,5) = 2,5 + 2,5 = 5 $
Jadi, nilai $ f(1,5) + f(-0,5) = 5 . \heartsuit $
Nomor 19
Jika $g(x)=f \left( r(x)+s(x) \right) $, dengan $r(x)$ dan $s(x)$ masing-masing adalah fungsi yang dapat diturunkan, maka $g^\prime{}^\prime(x) =...$
$\clubsuit \, $ Konsep turunan
$ y = f[g(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) $
$ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U.V^\prime $
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan fungsinya
$\begin{align} g(x) & =f \left( r(x)+s(x) \right) \\ g^\prime (x) & = \underbrace{\left[f^\prime \left( r(x)+s(x) \right)\right]}_{U} . \underbrace{\left[ r^\prime (x)+s^\prime (x) \right]}_{V} \\ U & = f^\prime \left( r(x)+s(x) \right) \rightarrow U^\prime = \left[ f^{\prime \prime} \left( r(x)+s(x) \right) \right] . \left[ r^\prime (x)+s^\prime (x) \right] \\ V & = r^\prime (x)+s^\prime (x) \rightarrow V^\prime = r^{\prime \prime} (x)+s^{\prime \prime} (x) \\ g^\prime (x) & = U.V \, \, \, \text{(turunkan lagi)} \\ g^{\prime \prime} (x) & = U^\prime . V + U.V^\prime \\ g^{\prime \prime} (x) & = \left[ f^{\prime \prime} \left( r(x)+s(x) \right) \right] . \left[ r^\prime (x)+s^\prime (x) \right] . \left[ r^\prime (x)+s^\prime (x) \right] \\ & + f^\prime \left( r(x)+s(x) \right).\left[ r^{\prime \prime} (x)+s^{\prime \prime} (x) \right] \\ g^{\prime \prime} (x) & = \left[ f^{\prime \prime} \left( r(x)+s(x) \right) \right] . \left[ r^\prime (x)+s^\prime (x) \right]^2 \\ & + f^\prime \left( r(x)+s(x) \right).\left[ r^{\prime \prime} (x)+s^{\prime \prime} (x) \right] \end{align}$
Jadi, turunan keduanya adalah
$ g^{\prime \prime} (x) = \left[ f^{\prime \prime} \left( r(x)+s(x) \right) \right] . \left[ r^\prime (x)+s^\prime (x) \right]^2 \\ + f^\prime \left( r(x)+s(x) \right).\left[ r^{\prime \prime} (x)+s^{\prime \prime} (x) \right]. \heartsuit$
Nomor 20
Gunakan Petunjuk C dalam menjawab soal no 20.
Jika $f(x)=ax-b$ dan $f^{-1}(x)=bx+a$ dengan $a$ dan $b$ bilangan real, maka pernyataan berikut yang terpenuhi adalah ...
1). $a>0 \, $
2). $a>b \, $
3). $a+b$ merupakan bilangan prima
4). $a-b$ merupakan bilangan ganjil
$\spadesuit \, $ Persamaan : $ f(x)=ax-b \, $ ...pers(i) , $ \, f^{-1} (x) = bx + a \, $ ...pers(ii)
$\spadesuit \, $ Menentukan invers dari $ f(x)=ax-b $
$\begin{align} f(x)=ax-b \rightarrow y & = ax-b \\ ax & = y + b \\ x & = \frac{y+b}{a} \\ f^{-1} (x) & = \frac{x+b}{a} \, \, \, \text{...pers(iii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ pers(ii) sama dengan pers(iii)
$\begin{align} bx + a & = \frac{x+b}{a} \\ bx + a & = \frac{x}{a} + \frac{b}{a} \\ bx + a & = \frac{1}{a}x + \frac{b}{a} \end{align}$
Koefisien dan konstanta ruas kiri harus sama dengan ruas kanan.
$ b =\frac{1}{a} \rightarrow ab = 1 \, $ ...pers(iv)
$ a = \frac{b}{a} \rightarrow a^2 = b \, $ ...pers(v)
$\spadesuit \, $ Substitusi $ b = a^2 \, $ ke pers(iv)
$\begin{align} ab & = 1 \\ a(a^2) & = 1 \rightarrow a = 1 \end{align}$
sehingga $ b = a^2 = 1^2 = 1 $
diperoleh $ a = 1 \, $ dan $ b = 1 $ , yang artinya $ a > 0 \, $ dan $ a+ b = 1+1 = 2 \, $ adalah bilangan prima.
Jadi, pernyataan yang benar adalah (1) dan (3). $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

3 komentar:

  1. Pak Putu, saya izin menyampaikan pendapat saya. Menurut saya no. 18 terdapat kesalahan dalam menentukan f(-0.5) nya. Menurut saya yang benar adalah
    f(-0.5)= f(-2.5+2) f(-0.5)=f(-2.5) karena f(x)=f(-x) maka f(-2.5)=f(2.5)=2.5 => f(1.5)=f(-0.5)=f(-2.5)=f(2.5)= 2.5 =>f(1.5)+ f(-0.5)= 2.5 + 2.5 = 5

    BalasHapus
  2. wah berantakan angkanya. Maksud saya seperti ini Pak

    f(-0.5) = f(-2.5+2)
    F(-0.5) = f(-2.5)
    karena f(x)= f(-x) maka
    f(-2.5)=f(2.5)=2.5

    => f(1.5)=f(-0.5)=f(-2.5)=f(2.5)=2.5

    =>f(1.5)+f(-0.5)= 2.5+2.5 = 5

    BalasHapus
  3. Hallow @Bobbi,

    Terimakasih untuk masukannya.

    Dari sifat yang ada pada soal yaitu $ f(-x) = f(x) $ dan $ f(x) = f(x+2) $, artinya kita boleh menggunakan sifat manapun duluan.

    Cara saya di atas, menggunakan sifat $ f(-x) = f(x) $ terlebih dahulu lalu menggunakan sifat $ f(x) = f(x + 2) $.

    Namun caranya bobbi sebaliknya yaitu sifat $ f(x) = f(x + 2) $ lalu sifat $ f(-x) = f(x) $.

    dan kedua cara tersebut di atas sah-sah saja karena menggunakan sesuai sifat-sifat yang diberikan pada soal. Artinya tidak ada yang salah dengan kedua cara tersebut.

    Cara ngeceknya adalah apakah meberikan hasil yang sama???
    kalau sama dan sifatnya benar berarti kesimpulannya cara tersebut benar juga.

    Seperti itu penjelasannya.

    Terimakasih juga untuk kunjungannya ke blog dunia-informa.

    semoga terus bisa membantu.

    semangat belajarnya.

    BalasHapus

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.