Senin, 08 Juni 2015

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 128 tahun 2013


Nomor 1
Jika $ 27^m = 8 \, $ , maka $ 3.9^m - 3^{m+1} = ...$
$\clubsuit \, $ Sifat - sifat eksponen :
$a^{m+n}=a^m.a^n; \, \, \, \, (a^m)^n = a^{m.n} = (a^n)^m $
$ a^n = b^n \rightarrow a = b $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan persamaan
$\begin{align} 27^m & = 8 \\ (3^3)^m & = 2^3 \\ (3^m)^3 & = 2^3 \\ 3^m & = 2 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} 3.9^m - 3^{m+1} & = 3.(3^2)^m - 3^1.3^m \\ & = 3.(3^m)^2 - 3.3^m \, \, \, \, \text{ (substitusi } 3^m = 2 ) \\ & = 3.(2)^2 - 3.2 \\ & = 3.4 - 3.2 = 12 - 6 \\ 3.9^m - 3^{m+1} & = 6 \end{align}$
Jadi, $ 3.9^m - 3^{m+1} = 6 . \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ {}^5 \log a + {}^5 \log b = 3 \, $ dan $ 3({}^5 \log a ) - {}^5 \log b = 1 \, $ , maka nilai $ \frac{b}{a} \, $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Konsep logaritma
Definisi : ${}^{a} \log b = c \Leftrightarrow b=a^c$
Sifat-sifat logaritma :
1). $ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
2). $ {}^a \log \frac{b}{c} = {}^a \log b - {}^a \log c $
3). $ {}^a \log (bc) = {}^a \log b + {}^a \log c $
$\spadesuit \, $ Menentukan persamaan
Persamaan pertama :
$\begin{align} {}^5 \log a + {}^5 \log b & = 3 \, \, \, \, \, \text{ (sifat 3)} \\ {}^5 \log ab & = 3 \, \, \, \, \, \text{(definisi)}\\ ab & = 5^3 \\ b & = \frac{5^3}{a} \, \, \, \, \, \text{ ....pers(i)} \\ \end{align} $
Persamaan kedua :
$\begin{align} 3({}^5 \log a ) - {}^5 \log b & = 1 \, \, \, \, \, \text{ (sifat 1)} \\ {}^5 \log a^3 - {}^5 \log b & = 1 \, \, \, \, \, \text{ (sifat 2)} \\ {}^5 \log \frac{a^3}{b} & = 1 \, \, \, \, \, \text{ (definisi)} \\ \frac{a^3}{b} & = 5^1 \\ a^3 & = 5b \, \, \, \, \, \text{ ....pers(ii)} \end{align} $
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align} a^3 & = 5b \\ a^3 & = 5.\frac{5^3}{a} \\ a^4 & = 5^4 \\ a & = 5 \end{align} $
pers(i) : $ b = \frac{5^3}{a} = \frac{5^3}{5} = 25 $
Sehingga nilai $ \frac{b}{a} = \frac{25}{5} = 5 $
Jadi, nilai $ \frac{b}{a} = 5 . \heartsuit $

Cara II : Langsung eliminasi kedua persamaan
$\spadesuit \, $ Konsep logaritma
Definisi : ${}^{a} \log b = c \Leftrightarrow b=a^c$
$\spadesuit \, $ Eliminasi kedua persamaan
$\begin{array}{cc} {}^5 \log a + {}^5 \log b = 3 & \\ 3({}^5 \log a ) - {}^5 \log b = 1 & + \\ \hline 4({}^5 \log a ) = 4 & \\ {}^5 \log a = 1 & \\ a = 5^1 = 5 & \end{array} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ b \, $ dari pers(i) dan $ {}^5 \log a = 1 $
$\begin{align} {}^5 \log a + {}^5 \log b & = 3 \\ 1 + {}^5 \log b & = 3 \\ {}^5 \log b & = 2 \\ b & = 5^2 = 25 \end{align} $
Sehingga nilai $ \frac{b}{a} = \frac{25}{5} = 5 $
Jadi, nilai $ \frac{b}{a} = 5 . \heartsuit $
Nomor 3
Persamaan kuadrat $ x^2 - 2x + (c-4) = 0 \, $ mempunyai akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Jika $ x_1 > -1 \, $ dan $ x_2 > -1 , \, $ maka .....
(A) $ c < 1 \, $ atau $ c \geq 5 $
(B) $ 1 < c \leq 5 $
(C) $ -1 \leq c \leq 5 $
(D) $ c > 1 $
(E) $ c \leq 5 $
$\clubsuit \, $ PK : $ x^2 - 2x + (c-4) = 0 \, \rightarrow a = 1 , \, b = -2 , \, c = (c-4) $
Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-2)}{1} = 2 $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{c-4}{1} = c-4 $
$\clubsuit \, $ Modifikasi akar-akarnya : $ x_1 > -1 \, $ dan $ x_2 > -1 $
$ x_1 > -1 \rightarrow x_1+1 > 0 \, $ (positif)
$ x_2 > -1 \rightarrow x_2+1 > 0 \, $ (positif)
Kalikan keduanya, hasilnya juga positif (positif kali positif)
$\begin{align} (x_1+1)(x_2+1) & > 0 \, \, \, \, \, \text{ (positif)} \\ x_1.x_2 + (x_1+x_2) + 1 & > 0 \\ (c-4) + (2) + 1 & > 0 \\ c & > 1 \, \, \, \, \, \text{ ....(HP1)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Karena akar-akarnya $ x_1 > -1 \, $ dan $ x_2 > -1 \, $ , maka akar-akarnya bisa berbeda atau bisa juga sama (kembar), sehinggga syaratnya : $ D \geq 0 $
$\begin{align} D = b^2 - 4ac & \geq 0 \\ (-2)^2 - 4.1.(c-4) & \geq 0 \\ 4 - 4c + 16 & \geq 0 \\ - 4c & \geq -20 \, \, \, \, \, \text{ (bagi -4, tanda dibalik)} \\ c & \leq 5 \, \, \, \, \, \text{ ....(HP2)} \end{align}$
Solusinya harus memenuhi keduanya, yaitu irisannya.
Solusi : $ HP = HP1 \cap HP2 = \{ 1 < c \leq 5 \} $
Jadi, solusinya HP $ = \{ 1 < c \leq 5 \} . \heartsuit $
Nomor 4
Jika grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^2+bx+c$ mempunyai titik puncak (8,4) dan memotong sumbu-X negatif, maka ...
$\spadesuit \, $ Titik puncak fungsi (8,4) , artinya puncaknya ada pada kuadran I.
$\spadesuit \, $ kurva memotong sumbu X negatif. berdasarkan dua pernyataan di atas, maka gambarnya adalah :
sbmptn_matdas_k128_2_2013.png
$\spadesuit \, $ Kurva maksimum (puncak di atas) , maka nilai $a < 0$ .
$\spadesuit \, $ Kurva memotong sumbu Y positif, artinya nilai $ c > 0 $ .
$\spadesuit \, $ Titik puncak ada di kanan sumbu Y, berarti berlaku BeKa (beda kanan) artinya tanda $a$ dan $b$ tidak sama (harus berbeda). Karena $a < 0$ , maka nilai $b$ harus $b >0 $ .
Jadi, diperoleh $a < 0 , b > 0 , c > 0. \heartsuit $
Nomor 5
Ibu mendapat potongan harga sebesar 25% dari total pembelian darang di suatu toko. Toko tersebut membebankan pajak sebesar 10% dari harga total pembelian setelah dipotong. Jika $x$ adalah harga total pembelian, maka ibu harus membayar sebesar ...
$\clubsuit \, $ Misalkan $x$ adalah total pembelian barang sebelum kena diskon dan pajak.
$\clubsuit \, $ Potongan 25%
yang harus dibayar adalah 75%$x$
$\clubsuit \, $ kena pajak 10% setelah dipotong
besar pajak = $10\% . 75\% x$
$\clubsuit \, $ Total yang harus dibayar :
$\begin{align} \text{Total} \, & = 75\% x + 10\% . 75\% x \\ & = (1+10\% ) . 75\% x \\ &= (1+0,1) . 0,75 x \\ &= (1,1). 0,75 x \end{align}$
Jadi, ibu harus membayar sebesar $(1,1\times 0,75) x. \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar