Nomor 6
Jika $-2 < a < -1 $ , maka semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{x^2+2x-3a}{x^2 + 4x }\geq 0$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Nilai diskriminan (D) dari pembilangnya: $x^2+2x-3a$
$D=b^2-4ac=(2)^2-4.1.(-3a)=4+12a \, , $ diperoleh $ D = 4 + 12a $
karena nilai $a$ terletak pada interval $ -2 < a < -1 $ , maka nilai D negatif ($D<0$).
$x^2+2x-3a \left\{ \begin{array}{c} D < 0 \\ a=1 > 0 \end{array} \right. $
ini artinya $x^2+2x-3a \, $ definit positif (nilainya akan selalu positif untuk semua $x$), sehingga $x^2+2x-3a$ bisa dicoret (tanda ketaksamaan tidak dibalik).
$\begin{align} \frac{x^2+2x-3a}{x^2 + 4x }\geq 0 \rightarrow \frac{1}{x(x+4)}\geq 0 \Leftrightarrow x=0 \vee x=-4 \end{align}$
Karena yang diminta $ \geq 0 \, $ , maka solusinya adalah $ \{ x < -4 \vee x > 0 \} \, $ . Meskipun ada sama dengannya ( $ \geq 0 $) , tetapi akar penyebut wajib tidak boleh ikut karena penyebut tidak boleh bernilai nol.
Jadi, solusinya adalah $HP = \{ x < -4 \vee x > 0 \}. \heartsuit $
Catatan : jika definit negatif (syarat $ D < 0 \, $ dan $ a < 0 $ ), maka tanda ketaksamaan dibalik.
$D=b^2-4ac=(2)^2-4.1.(-3a)=4+12a \, , $ diperoleh $ D = 4 + 12a $
karena nilai $a$ terletak pada interval $ -2 < a < -1 $ , maka nilai D negatif ($D<0$).
$x^2+2x-3a \left\{ \begin{array}{c} D < 0 \\ a=1 > 0 \end{array} \right. $
ini artinya $x^2+2x-3a \, $ definit positif (nilainya akan selalu positif untuk semua $x$), sehingga $x^2+2x-3a$ bisa dicoret (tanda ketaksamaan tidak dibalik).
$\begin{align} \frac{x^2+2x-3a}{x^2 + 4x }\geq 0 \rightarrow \frac{1}{x(x+4)}\geq 0 \Leftrightarrow x=0 \vee x=-4 \end{align}$
Karena yang diminta $ \geq 0 \, $ , maka solusinya adalah $ \{ x < -4 \vee x > 0 \} \, $ . Meskipun ada sama dengannya ( $ \geq 0 $) , tetapi akar penyebut wajib tidak boleh ikut karena penyebut tidak boleh bernilai nol.
Jadi, solusinya adalah $HP = \{ x < -4 \vee x > 0 \}. \heartsuit $
Catatan : jika definit negatif (syarat $ D < 0 \, $ dan $ a < 0 $ ), maka tanda ketaksamaan dibalik.
Nomor 7
Pada tahun 2010 populasi sapi di kota A adalah 1.600 ekor dan di kota B 500 ekor. Setiap bulan terjadi peningkatan pertumbuhan 25 ekor
di kota A dan 10 ekor di kota B. Pada saat populasi sapi di kota A tiga kali populasi sapi di kota B, populasi sapi di kota B adalah ....
$\clubsuit \, $ Barisan aritmatika : $ u_n = a+ (n-1)b $
Kasus pada soal ini merupakan barisan aritmetika karena peningkatannya selalu sama setiap bulan.
$\clubsuit \, $ Menentukan persamaan
*) Kota A : $ a = 1600, \, b =25 $
$ u_n (A) = 1600 + (n-1)25 $
**) Kota B : $ a = 500, \, b = 10 $
$ u_n (B) = 500 + (n-1)10 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ n \, $ (bulan)
$\begin{align} \text{Populasi kota A} & = 3 \times \text{kota B} \\ 1600 + (n-1)25 & = 3 \times (500 + (n-1)10) \\ 1600 + (n-1)25 & = 1500 + (n-1)30 \\ 1600 + 25n - 25 & = 1500 + 30n-30 \\ n & = 21 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan populasi kota B saat $ n = 21 $
$\begin{align} u_n (B) & = 500 + (n-1)10 \\ & = 500 + (21-1)10 \\ & = 500 + 200 = 700 \end{align} $
Jadi, banyak populasi kota B ada 700 ekor . $\heartsuit$
Kasus pada soal ini merupakan barisan aritmetika karena peningkatannya selalu sama setiap bulan.
$\clubsuit \, $ Menentukan persamaan
*) Kota A : $ a = 1600, \, b =25 $
$ u_n (A) = 1600 + (n-1)25 $
**) Kota B : $ a = 500, \, b = 10 $
$ u_n (B) = 500 + (n-1)10 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ n \, $ (bulan)
$\begin{align} \text{Populasi kota A} & = 3 \times \text{kota B} \\ 1600 + (n-1)25 & = 3 \times (500 + (n-1)10) \\ 1600 + (n-1)25 & = 1500 + (n-1)30 \\ 1600 + 25n - 25 & = 1500 + 30n-30 \\ n & = 21 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan populasi kota B saat $ n = 21 $
$\begin{align} u_n (B) & = 500 + (n-1)10 \\ & = 500 + (21-1)10 \\ & = 500 + 200 = 700 \end{align} $
Jadi, banyak populasi kota B ada 700 ekor . $\heartsuit$
Nomor 8
Distribusi berat bayi lahir di rumah sakit A dan B dapat dilihat pada diagram berikut,
Berat badan bayi dikatakan normal apabila berat lahirnya lebih dari 2500 gram. Banyak bayi normal yang lahir di dua rumah sakit tersebut adalah ...
Berat badan bayi dikatakan normal apabila berat lahirnya lebih dari 2500 gram. Banyak bayi normal yang lahir di dua rumah sakit tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Menghitung banyak bayi normal setiap rumah sakit :
RS A = 60 + 32 = 92
RS B = 68 + 12 = 80
$\spadesuit \, $ Sehingga total bayi normal :
Total = RS A + RS B = 92 + 80 = 172 bayi.
Jadi, banyak bayi normal ada 172 bayi. $\heartsuit$
RS A = 60 + 32 = 92
RS B = 68 + 12 = 80
$\spadesuit \, $ Sehingga total bayi normal :
Total = RS A + RS B = 92 + 80 = 172 bayi.
Jadi, banyak bayi normal ada 172 bayi. $\heartsuit$
Nomor 9
Banyak siswa kelas XI A suatu sekolah adalah $ m \, $ siswa. Mereka mengikuti tes matematika dengan hasil sebagai berikut. Lima siswa memperoleh
skor 90, siswa yang lain memperoleh skor minimal 60, dan rata-rata skor semua siswa adalah 70. Nilai $ m \, $ terkecil adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep rata-rata gabungan : $ \overline{X}_\text{gb} = \frac{n_1.\overline{X}_1 + n_2.\overline{X}_2}{n_1+n_2} $
Keterangan :
$ n_1 \, $ = banyak kelomok pertama, $ \overline{X}_1 \, $ = rata - rata kelompok pertama,
dan $ \overline{X}_\text{gb} \, $ = rata-rata gabungan semua kelompok.
dari soal diketahui :
$ n_1 = 5, \, \overline{X}_1 = 90, \, n_2 = (m-5) , \, \overline{X}_2 \text{(min)} = 60, \, \overline{X}_\text{gb} = 70 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ m $
Karena yang dipilih rata-rata kelompok dua ($\overline{X}_2$) adalah rata-rata minimal, maka rata-rata gabungan aslinya lebih besar dari rata-rata gabungan minimalnya.
$\begin{align} \overline{X}_\text{gb} & \geq \overline{X}_\text{gb} \text{(minimal)} \\ \overline{X}_\text{gb} & \geq \frac{n_1.\overline{X}_1 + n_2.\overline{X}_2 \text{(minimal)}}{n_1+n_2} \\ 70 & \geq \frac{5.90 + (m-5).60 }{5 + (m-5)} \\ 70 & \geq \frac{450 + 60m-300 }{m} \\ 70m & \geq 60m + 150 \\ 10 m & \geq 150 \\ m & \geq 15 \end{align}$
karena nilai $ m \geq 15 \, $ , maka nilai $ m \, $ terkecilnya adalah $ m = 15 $ .
Jadi, nilai $ m \, $ terkecil adalah $ m = 15. \heartsuit $
Keterangan :
$ n_1 \, $ = banyak kelomok pertama, $ \overline{X}_1 \, $ = rata - rata kelompok pertama,
dan $ \overline{X}_\text{gb} \, $ = rata-rata gabungan semua kelompok.
dari soal diketahui :
$ n_1 = 5, \, \overline{X}_1 = 90, \, n_2 = (m-5) , \, \overline{X}_2 \text{(min)} = 60, \, \overline{X}_\text{gb} = 70 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ m $
Karena yang dipilih rata-rata kelompok dua ($\overline{X}_2$) adalah rata-rata minimal, maka rata-rata gabungan aslinya lebih besar dari rata-rata gabungan minimalnya.
$\begin{align} \overline{X}_\text{gb} & \geq \overline{X}_\text{gb} \text{(minimal)} \\ \overline{X}_\text{gb} & \geq \frac{n_1.\overline{X}_1 + n_2.\overline{X}_2 \text{(minimal)}}{n_1+n_2} \\ 70 & \geq \frac{5.90 + (m-5).60 }{5 + (m-5)} \\ 70 & \geq \frac{450 + 60m-300 }{m} \\ 70m & \geq 60m + 150 \\ 10 m & \geq 150 \\ m & \geq 15 \end{align}$
karena nilai $ m \geq 15 \, $ , maka nilai $ m \, $ terkecilnya adalah $ m = 15 $ .
Jadi, nilai $ m \, $ terkecil adalah $ m = 15. \heartsuit $
Nomor 10
Jika $f^{-1} \left( \frac{x+5}{x-5} \right) = \frac{8}{x+5} $ , maka nilai $a \, $ sehingga $f(a)=-4 \, $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Konsep invers : $ A=f(B) \Leftrightarrow f^{-1}(A) = B$
Sehingga : $ f^{-1} \left( \frac{x+5}{x-5} \right) = \frac{8}{x+5} \rightarrow \frac{x+5}{x-5} = f \left( \frac{8}{x+5} \right) $
$\spadesuit \, $ Menyamakan bentuk persamaan dengan yang ditanyakan
$\begin{align} \frac{x+5}{x-5} & = f \left( \frac{8}{x+5} \right) \\ -4 & = f(a) \\ \text{ diperoleh kesamaan : } & \frac{x+5}{x-5} = -4 \, \, \text{ dan } \, \, a = \frac{8}{x+5} \\ \frac{x+5}{x-5} = -4 \rightarrow x+5 & = -4x + 20 \\ 5x & = 15 \\ x & = 3 \\ a = \frac{8}{x+5} \rightarrow a & = \frac{8}{3+5} \, \, \, \text{(substitusi } x = 3 ) \\ a & = \frac{8}{8} = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 1 . \heartsuit $
Sehingga : $ f^{-1} \left( \frac{x+5}{x-5} \right) = \frac{8}{x+5} \rightarrow \frac{x+5}{x-5} = f \left( \frac{8}{x+5} \right) $
$\spadesuit \, $ Menyamakan bentuk persamaan dengan yang ditanyakan
$\begin{align} \frac{x+5}{x-5} & = f \left( \frac{8}{x+5} \right) \\ -4 & = f(a) \\ \text{ diperoleh kesamaan : } & \frac{x+5}{x-5} = -4 \, \, \text{ dan } \, \, a = \frac{8}{x+5} \\ \frac{x+5}{x-5} = -4 \rightarrow x+5 & = -4x + 20 \\ 5x & = 15 \\ x & = 3 \\ a = \frac{8}{x+5} \rightarrow a & = \frac{8}{3+5} \, \, \, \text{(substitusi } x = 3 ) \\ a & = \frac{8}{8} = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 1 . \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.