Nomor 6
Tiga pria dan empat wanita, termasuk Sinta, duduk berjajar pada tujuh kursi. Banyaknya susunan agar pria dan wanita
duduk selang-seling dengan Sinta selalu di pinggir adalah ....
$\spadesuit \, $ Ada dua kemungkinan agar selang-seling :
Keterangan :
*) Kemungkinan I : Sinta ada di pinggir kiri,
pengisian kotak wanita :
kotak pertama ada satu pilihan (hanya Sinta saja), kotak ketiga ada 3 pilihan wanita karena Sinta sudah duduk, kotak kelima ada 2 pilihan wanita karena 2 wanita sudah duduk di kotak sebelumnya, dan sisanya 1 pilihan wanita untuk duduk di kotak ketujuh.
pengisian kotak pria :
kotak kedua ada 3 pilihan pria, kotak keempat ada 2 pilihan pria karena satu sudah duduk di kotak sebelumnya, dan sisanya ada 1 pilihan pria untuk duduk di kotak keenam.
total cara I = 1.3.3.2.2.1.1 = 36
**) Kemungkinan II : Sinta ada di pinggir kanan,
caranya hampir sama dengan kemungkinan I. Sehingga total cara II = 36.
Total cara duduk = cara I + cara II = 36 + 36 = 72.
Jadi, banyak susunan duduk ada 72 cara. $ \heartsuit $
Keterangan :
*) Kemungkinan I : Sinta ada di pinggir kiri,
pengisian kotak wanita :
kotak pertama ada satu pilihan (hanya Sinta saja), kotak ketiga ada 3 pilihan wanita karena Sinta sudah duduk, kotak kelima ada 2 pilihan wanita karena 2 wanita sudah duduk di kotak sebelumnya, dan sisanya 1 pilihan wanita untuk duduk di kotak ketujuh.
pengisian kotak pria :
kotak kedua ada 3 pilihan pria, kotak keempat ada 2 pilihan pria karena satu sudah duduk di kotak sebelumnya, dan sisanya ada 1 pilihan pria untuk duduk di kotak keenam.
total cara I = 1.3.3.2.2.1.1 = 36
**) Kemungkinan II : Sinta ada di pinggir kanan,
caranya hampir sama dengan kemungkinan I. Sehingga total cara II = 36.
Total cara duduk = cara I + cara II = 36 + 36 = 72.
Jadi, banyak susunan duduk ada 72 cara. $ \heartsuit $
Nomor 7
Diketahui $ f(x) \, $ dan $ g(x) \, $ memenuhi :
$ f(x) + 3g(x) = x^2 + x + 6 $
$ 2f(x) + 4g(x) = 2x^2 + 4 $
untuk semua $ x . \, $ Jika $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ memenuhi $ f(x) = g(x) \, $ , maka nilai $ x_1x_2 \, $ adalah ....
$ f(x) + 3g(x) = x^2 + x + 6 $
$ 2f(x) + 4g(x) = 2x^2 + 4 $
untuk semua $ x . \, $ Jika $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ memenuhi $ f(x) = g(x) \, $ , maka nilai $ x_1x_2 \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ PK : $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ , perkalian akarnya $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
$\spadesuit \, $ Eliminasi kedua persamaan
$\begin{array}{c|c|cc} f(x) + 3g(x) = x^2 + x + 6 & \times 2 & 2f(x) + 6g(x) = 2x^2 + 2x + 12 & \\ 2f(x) + 4g(x) = 2x^2 + 4 & \times 1 & 2f(x) + 4g(x) = 2x^2 + 4 & - \\ \hline & & 2g(x) = 2x + 8 & \\ & & g(x) = x + 4 & \end{array} $
$\spadesuit \, $ Menentukan fungsi $ f(x) \, $ dari pers(i)
$\begin{align} f(x) + 3g(x) & = x^2 + x + 6 \\ f(x) + 3(x + 4) & = x^2 + x + 6 \\ f(x) & = x^2 -2x -6 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x_1.x_2 \, $ dari $ f(x) = g(x) $
$\begin{align} f(x) & = g(x) \\ x^2 -2x -6 & = x + 4 \\ x^2 - 3x -10 & = 0 \\ x_1.x_2 & = \frac{c}{a} = \frac{-10}{1} = -10 \end{align}$
Jadi, nilai $ x_1 x_2 = -10 . \heartsuit$
$\spadesuit \, $ Eliminasi kedua persamaan
$\begin{array}{c|c|cc} f(x) + 3g(x) = x^2 + x + 6 & \times 2 & 2f(x) + 6g(x) = 2x^2 + 2x + 12 & \\ 2f(x) + 4g(x) = 2x^2 + 4 & \times 1 & 2f(x) + 4g(x) = 2x^2 + 4 & - \\ \hline & & 2g(x) = 2x + 8 & \\ & & g(x) = x + 4 & \end{array} $
$\spadesuit \, $ Menentukan fungsi $ f(x) \, $ dari pers(i)
$\begin{align} f(x) + 3g(x) & = x^2 + x + 6 \\ f(x) + 3(x + 4) & = x^2 + x + 6 \\ f(x) & = x^2 -2x -6 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x_1.x_2 \, $ dari $ f(x) = g(x) $
$\begin{align} f(x) & = g(x) \\ x^2 -2x -6 & = x + 4 \\ x^2 - 3x -10 & = 0 \\ x_1.x_2 & = \frac{c}{a} = \frac{-10}{1} = -10 \end{align}$
Jadi, nilai $ x_1 x_2 = -10 . \heartsuit$
Nomor 8
Penyelesaian pertidaksamaan $ {}^\frac{1}{x^2+1} \log \left( \frac{x}{2} \right) > 1 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar logaritma
Syarat logaritma , $ {}^a \log b \, $ syaratnya : $ a > 0 , a \neq 1, b > 0 $
Pertidaksamaan :
$ {}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \, $ memiliki solusi bergantung nilai $ a \, $ (basisnya)
Solusinya :
untuk $ a > 1 , \, $ maka $ f(x) > g(x) \, $ (tanda ketaksamaan tetap)
untuk $ 0 < a < 1 , \, $ maka $ f(x) < g(x) \, $ (tanda ketaksamaan dibalik)
$\clubsuit \, $ Menentukan syarat dari $ {}^\frac{1}{x^2+1} \log \left( \frac{x}{2} \right) $
*) $ \frac{x}{2} > 0 \rightarrow x > 0 $
**) $ \frac{1}{x^2+1} > 0 \rightarrow x \in R \, $ (semua nilai $ x \, $ memenuhi)
Dari kedua syarat di atas, maka syarat yang memenuhi keduanya adalah $ HP1 = \{ x > 0 \} $
dan untuk $ x > 0 \, $ , maka nilai $ \frac{1}{x^2+1} \, $ adalah $ 0 < \frac{1}{x^2+1} < 1 \, $
karena nilai $ 0 < \frac{1}{x^2+1} < 1 \, $ (basisnya) , maka tanda ketaksamaan dibalik.
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan pertidaksamaannya
$\begin{align} {}^\frac{1}{x^2+1} \log \left( \frac{x}{2} \right) & > 1 \\ {}^\frac{1}{x^2+1} \log \left( \frac{x}{2} \right) & > {}^\frac{1}{x^2+1} \log \left( \frac{1}{x^2+1} \right) \\ \frac{x}{2} & < \frac{1}{x^2+1} \\ \frac{x}{2} - \frac{1}{x^2+1} & < 0 \\ \frac{x(x^2+1) - 2}{2(x^2+1)} & < 0 \\ \frac{x^3 + x - 2}{2(x^2+1)} & < 0 \\ \frac{(x-1)(x^2+x+2)}{2(x^2+1)} & < 0 \\ \frac{(x-1)}{2} & < 0 \\ x-1 & < 0 \\ x & < 1 \, \, \, \, \text{....(HP2)} \end{align}$
Sehingga solusinya :
HP = HP1 $ \cap $ HP2 = $ \{ 0 < x < 1 \} $
Catatan: bentuk $ x^2+x+2 \, $ dan $ x^2+1 \, $ adalah definit positif (syaratnya : $ D <0 , \, $ dan $ a > 0 \, $ ) , sehingga bisa dicoret karena dianggap konstanta yang nilainya selalu positif.
Jadi, penyelesaiannya adalah $ HP = \{ 0 < x < 1 \} . \heartsuit $
Syarat logaritma , $ {}^a \log b \, $ syaratnya : $ a > 0 , a \neq 1, b > 0 $
Pertidaksamaan :
$ {}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \, $ memiliki solusi bergantung nilai $ a \, $ (basisnya)
Solusinya :
untuk $ a > 1 , \, $ maka $ f(x) > g(x) \, $ (tanda ketaksamaan tetap)
untuk $ 0 < a < 1 , \, $ maka $ f(x) < g(x) \, $ (tanda ketaksamaan dibalik)
$\clubsuit \, $ Menentukan syarat dari $ {}^\frac{1}{x^2+1} \log \left( \frac{x}{2} \right) $
*) $ \frac{x}{2} > 0 \rightarrow x > 0 $
**) $ \frac{1}{x^2+1} > 0 \rightarrow x \in R \, $ (semua nilai $ x \, $ memenuhi)
Dari kedua syarat di atas, maka syarat yang memenuhi keduanya adalah $ HP1 = \{ x > 0 \} $
dan untuk $ x > 0 \, $ , maka nilai $ \frac{1}{x^2+1} \, $ adalah $ 0 < \frac{1}{x^2+1} < 1 \, $
karena nilai $ 0 < \frac{1}{x^2+1} < 1 \, $ (basisnya) , maka tanda ketaksamaan dibalik.
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan pertidaksamaannya
$\begin{align} {}^\frac{1}{x^2+1} \log \left( \frac{x}{2} \right) & > 1 \\ {}^\frac{1}{x^2+1} \log \left( \frac{x}{2} \right) & > {}^\frac{1}{x^2+1} \log \left( \frac{1}{x^2+1} \right) \\ \frac{x}{2} & < \frac{1}{x^2+1} \\ \frac{x}{2} - \frac{1}{x^2+1} & < 0 \\ \frac{x(x^2+1) - 2}{2(x^2+1)} & < 0 \\ \frac{x^3 + x - 2}{2(x^2+1)} & < 0 \\ \frac{(x-1)(x^2+x+2)}{2(x^2+1)} & < 0 \\ \frac{(x-1)}{2} & < 0 \\ x-1 & < 0 \\ x & < 1 \, \, \, \, \text{....(HP2)} \end{align}$
Sehingga solusinya :
HP = HP1 $ \cap $ HP2 = $ \{ 0 < x < 1 \} $
Catatan: bentuk $ x^2+x+2 \, $ dan $ x^2+1 \, $ adalah definit positif (syaratnya : $ D <0 , \, $ dan $ a > 0 \, $ ) , sehingga bisa dicoret karena dianggap konstanta yang nilainya selalu positif.
Jadi, penyelesaiannya adalah $ HP = \{ 0 < x < 1 \} . \heartsuit $
Nomor 9
Diberikan segi-4 sembarang ABCD dengan X dan Y adalah masing-masing titik tengah diagonal AC dan BD. Jika $ u = \vec{AB} , \, v = \vec{AC} , \, w = \vec{AD} , \, $ maka $ \vec{XY} = .... $
Diberikan segi-4 sembarang ABCD dengan X dan Y adalah masing-masing titik tengah diagonal AC dan BD. Jika $ u = \vec{AB} , \, v = \vec{AC} , \, w = \vec{AD} , \, $ maka $ \vec{XY} = .... $
$\clubsuit \, $ Gambar
$\clubsuit \, $ Menentukan vektor $ \vec{AY} \, $ pada gambar II
$\begin{align} \vec{AY} & = \frac{|DY|\vec{AB} + |YB|\vec{AD} }{ |DY| + |YB| } \\ & = \frac{1.u + 1.w }{ 1 + 1 } \\ & = \frac{u + w }{ 2} \\ \vec{AY} & = \frac{1}{2}u + \frac{1}{2}w \end{align}$
vektor $ \vec{AX} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}v $
sehingga vektor $ \vec{XA} = - \vec{AX} = -\frac{1}{2}v $
$\clubsuit \, $ Menentukan vektor $ \vec{XY} \, $ dari gambar I pada segitiga AXY
$\begin{align} \vec{XY} & = \vec{XA} + \vec{AY} \\ & = -\frac{1}{2}v + ( \frac{1}{2}u + \frac{1}{2}w ) \\ \vec{XY} & = \frac{1}{2}u -\frac{1}{2}v + \frac{1}{2}w \end{align}$
Jadi, vektor $ \vec{XY} = \frac{1}{2}u -\frac{1}{2}v + \frac{1}{2}w . \heartsuit$
$\clubsuit \, $ Menentukan vektor $ \vec{AY} \, $ pada gambar II
$\begin{align} \vec{AY} & = \frac{|DY|\vec{AB} + |YB|\vec{AD} }{ |DY| + |YB| } \\ & = \frac{1.u + 1.w }{ 1 + 1 } \\ & = \frac{u + w }{ 2} \\ \vec{AY} & = \frac{1}{2}u + \frac{1}{2}w \end{align}$
vektor $ \vec{AX} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}v $
sehingga vektor $ \vec{XA} = - \vec{AX} = -\frac{1}{2}v $
$\clubsuit \, $ Menentukan vektor $ \vec{XY} \, $ dari gambar I pada segitiga AXY
$\begin{align} \vec{XY} & = \vec{XA} + \vec{AY} \\ & = -\frac{1}{2}v + ( \frac{1}{2}u + \frac{1}{2}w ) \\ \vec{XY} & = \frac{1}{2}u -\frac{1}{2}v + \frac{1}{2}w \end{align}$
Jadi, vektor $ \vec{XY} = \frac{1}{2}u -\frac{1}{2}v + \frac{1}{2}w . \heartsuit$
Nomor 10
Diketahui suatu parabola simetris terhadap garis $x=-2$, dan garis singgung parabola tersebut di titik (0, 1) sejajar garis $4x+y=4$.
Titik puncak parabola tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Misalkan persamaan fungsinya , $y=f(x)=ax^2+bx+c$. Dengan titik puncak $(x_p,y_p) \, \,$ :
$x_p=-\frac{b}{2a}$ dan $y_p=f(x_p)$ , serta $f^\prime(x)=2ax+b$.
$\spadesuit \, $ Sumbu simetrinya $x=-2 \,$ dengan $ x=x_p$ :
$x=x_p \Leftrightarrow -2=-\frac{b}{2a} \Leftrightarrow b=4a \, $ ...pers(i)
$\spadesuit \, $ Garis singgung di (0,1) , artinya titik (0,1) dilalui parabola, substitusi (0,1) ke persamaan parabola:
$y=ax^2+bx+c \Leftrightarrow 1=a.0^2+b.0+c \Leftrightarrow c=1$
sehingga persamaan parabolanya menjadi : $f(x)=ax^2+bx+1$
$\spadesuit \, $ Gradien garis singgung sejajar dengan garis $4x+y=4$, artinya gradiennya sama dengan gradien garis $4x+y=4\, $ yaitu $m=-4$.
$\spadesuit \, $ Menentukan gradien garis singgung di titik (0,1):
$m=f^\prime(x) \Leftrightarrow -4=f^\prime(0) \Leftrightarrow -4=2a.0+b \Leftrightarrow b=-4.$
Pers(i) : $b=4a \Leftrightarrow -4=4a \Leftrightarrow a=-1$ .
Persamaan parabolanya menjadi : $f(x)=-x^2-4x+1$
$\spadesuit \, $ Menentukan titik puncak:
$x_p=-2 \Rightarrow y_p=f(x_p)=f(-2)=-(-2)^2-4.(-2)+1=5$.
Jadi, titik puncaknya adalah $(x_p,y_p)=(-2,5). \heartsuit$
$\spadesuit \, $ Sumbu simetrinya $x=-2 \,$ dengan $ x=x_p$ :
$x=x_p \Leftrightarrow -2=-\frac{b}{2a} \Leftrightarrow b=4a \, $ ...pers(i)
$\spadesuit \, $ Garis singgung di (0,1) , artinya titik (0,1) dilalui parabola, substitusi (0,1) ke persamaan parabola:
$y=ax^2+bx+c \Leftrightarrow 1=a.0^2+b.0+c \Leftrightarrow c=1$
sehingga persamaan parabolanya menjadi : $f(x)=ax^2+bx+1$
$\spadesuit \, $ Gradien garis singgung sejajar dengan garis $4x+y=4$, artinya gradiennya sama dengan gradien garis $4x+y=4\, $ yaitu $m=-4$.
$\spadesuit \, $ Menentukan gradien garis singgung di titik (0,1):
$m=f^\prime(x) \Leftrightarrow -4=f^\prime(0) \Leftrightarrow -4=2a.0+b \Leftrightarrow b=-4.$
Pers(i) : $b=4a \Leftrightarrow -4=4a \Leftrightarrow a=-1$ .
Persamaan parabolanya menjadi : $f(x)=-x^2-4x+1$
$\spadesuit \, $ Menentukan titik puncak:
$x_p=-2 \Rightarrow y_p=f(x_p)=f(-2)=-(-2)^2-4.(-2)+1=5$.
Jadi, titik puncaknya adalah $(x_p,y_p)=(-2,5). \heartsuit$
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.