Nomor 6
Jika $f(x) = 2x - 1$ dan $g(x) = 2x^2 - 3$ maka $g\circ f^{-1}(x) = ...$
Definisi : $y=f(x) \Leftrightarrow x=f^{-1}(y)$
Menetukan $f^{-1}(x)$ : misal $y=f(x)$
$\begin{align*} f(x) &= 2x - 1 \\ y&=2x-1\\ x&=\frac{y+1}{2}\\ f^{-1}(x)&=\frac{x+1}{2} \end{align*}$
Menentukan $g\circ f^{-1}(x)$ (komposisi fungsi), dengan $g(x) = 2x^2 - 3$ :
$\begin{align*} g\circ f^{-1}(x) &= g \left( f^{-1}(x) \right) \\ &=g \left( \frac{x+1}{2} \right)\\ &=2\left( \frac{x+1}{2} \right)^2 - 3\\ &=\left( \frac{x^2+2x+1}{2} \right) - 3\\ &=\frac{1}{2}x^2+x-\frac{5}{2} \, \heartsuit \end{align*}$
Menetukan $f^{-1}(x)$ : misal $y=f(x)$
$\begin{align*} f(x) &= 2x - 1 \\ y&=2x-1\\ x&=\frac{y+1}{2}\\ f^{-1}(x)&=\frac{x+1}{2} \end{align*}$
Menentukan $g\circ f^{-1}(x)$ (komposisi fungsi), dengan $g(x) = 2x^2 - 3$ :
$\begin{align*} g\circ f^{-1}(x) &= g \left( f^{-1}(x) \right) \\ &=g \left( \frac{x+1}{2} \right)\\ &=2\left( \frac{x+1}{2} \right)^2 - 3\\ &=\left( \frac{x^2+2x+1}{2} \right) - 3\\ &=\frac{1}{2}x^2+x-\frac{5}{2} \, \heartsuit \end{align*}$
Nomor 7
Negasi dari pernyataan "jika semua anggota keluarga pergi, maka bibi Ina menyapu halaman" adalah ...
Negasi dari implikasi : $\sim (p \Rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$
$\text{Jika} \, \underbrace{\text{semua }}_{\forall} \, \underbrace{\text{ anggota keluarga pergi}}_{p} \, \text{ maka} \, \\ \underbrace{\text{ bibi Ina menyapu halaman}}_{q}$
Pernyataan di atas dapat ditulis : $(\forall p \Rightarrow q)$
Sehingga:
$\sim (\forall p \Rightarrow q) \equiv \forall p \wedge \sim q$
Jadi negasinya adalah
Semua anggota keluarga pergi dan bibi Ina tidak menyapu halaman . $\heartsuit $
$\text{Jika} \, \underbrace{\text{semua }}_{\forall} \, \underbrace{\text{ anggota keluarga pergi}}_{p} \, \text{ maka} \, \\ \underbrace{\text{ bibi Ina menyapu halaman}}_{q}$
Pernyataan di atas dapat ditulis : $(\forall p \Rightarrow q)$
Sehingga:
$\sim (\forall p \Rightarrow q) \equiv \forall p \wedge \sim q$
Jadi negasinya adalah
Semua anggota keluarga pergi dan bibi Ina tidak menyapu halaman . $\heartsuit $
Nomor 8
Jika $n(A)$ menyatakan banyaknya anggota himpunan $A$ dan diketaui $n(A \cap B)=x$ , $n(A - B) = 2(x^2 + 1)$ ,
$n(B - A) = 9x + 10$ dan $n(A \cup B) = 40$ maka $n(A - B) = ...$
Menentukan Rumus $n(A \cup B)$ :
$\clubsuit \, n(A - B) = n(A) - n(A\cap B) \Leftrightarrow n(A) = n(A-B) + n(A\cap B) \\ \clubsuit \, n(B - A) = n(B) - n(A\cap B) \Leftrightarrow n(B) = n(B-A) + n(A\cap B)$
$\begin{align*} \clubsuit \, n(A \cup B) &= n(A) + n(B) - n(A\cap B) \\ &=\left[ n(A-B) + n(A\cap B) \right] + \left[ n(B-A) + n(A\cap B) \right] - n(A\cap B)\\ n(A \cup B)&=n(A-B) + n(B-A) + n(A\cap B) \, .... \, \text{pers (i)} \end{align*}$
Menentukan nilai $x$ :
$n(A \cap B)=x$ , $n(A - B) = 2(x^2 + 1)$ , $n(B - A) = 9x + 10 \, $ dan $\, n(A \cup B) = 40$
$\begin{align*} n(A \cup B)&=n(A-B) + n(B-A) + n(A\cap B) \\ 40 &= 2(x^2 + 1) + (9x + 10) + x \\ 2x^2 + 10x-28 &= 0 \, \text{bagi 2}\\ x^2 + 5x - 14 &= 0\\ (x-2)(x+7) &= 0 \\ x=2 \, \, & \text{atau} \, \, x=-7 \end{align*}$
Karena banyaknya anggota suatu himpunan selalu positif, maka nilai yang memenuhi $x=2$.
Sehingga : $n(A - B) = 2(x^2 + 1) \Leftrightarrow n(A - B) = 2(2^2 + 1) \Leftrightarrow n(A - B) = 10 \, \heartsuit $
$\clubsuit \, n(A - B) = n(A) - n(A\cap B) \Leftrightarrow n(A) = n(A-B) + n(A\cap B) \\ \clubsuit \, n(B - A) = n(B) - n(A\cap B) \Leftrightarrow n(B) = n(B-A) + n(A\cap B)$
$\begin{align*} \clubsuit \, n(A \cup B) &= n(A) + n(B) - n(A\cap B) \\ &=\left[ n(A-B) + n(A\cap B) \right] + \left[ n(B-A) + n(A\cap B) \right] - n(A\cap B)\\ n(A \cup B)&=n(A-B) + n(B-A) + n(A\cap B) \, .... \, \text{pers (i)} \end{align*}$
Menentukan nilai $x$ :
$n(A \cap B)=x$ , $n(A - B) = 2(x^2 + 1)$ , $n(B - A) = 9x + 10 \, $ dan $\, n(A \cup B) = 40$
$\begin{align*} n(A \cup B)&=n(A-B) + n(B-A) + n(A\cap B) \\ 40 &= 2(x^2 + 1) + (9x + 10) + x \\ 2x^2 + 10x-28 &= 0 \, \text{bagi 2}\\ x^2 + 5x - 14 &= 0\\ (x-2)(x+7) &= 0 \\ x=2 \, \, & \text{atau} \, \, x=-7 \end{align*}$
Karena banyaknya anggota suatu himpunan selalu positif, maka nilai yang memenuhi $x=2$.
Sehingga : $n(A - B) = 2(x^2 + 1) \Leftrightarrow n(A - B) = 2(2^2 + 1) \Leftrightarrow n(A - B) = 10 \, \heartsuit $
Cara II :
Menggunakan diagram venn:
Dari diagram venn di atas diperoleh total gabungan $A$ dan $B$ :
$n(A \cup B)=n(A-B) + n(B-A) + n(A\cap B)$
Selanjutnya sama dengan cara 1. $\heartsuit $
Menggunakan diagram venn:
Dari diagram venn di atas diperoleh total gabungan $A$ dan $B$ :
$n(A \cup B)=n(A-B) + n(B-A) + n(A\cap B)$
Selanjutnya sama dengan cara 1. $\heartsuit $
Nomor 9
Himpunan penyelesaian dari $| 2x - 5 | < | x + 4 |$ adalah ...
Definisi : $ |x| = \sqrt{x^2} \, $ , sehingga $|x|^2 = x^2$
Pemfaktoran : $p^2 - q^2 = (p+q)(p-q)$
$\spadesuit \, $ Kedua ruas dikuadratkan :
$\begin{align*} | 2x - 5 | &< | x + 4 | \\ | 2x - 5 |^2 &< | x + 4 |^2 \\ ( 2x - 5 )^2 &< ( x + 4 )^2 \\ ( \underbrace{2x - 5}_{\text{sbg} \, p} )^2 - ( \underbrace{x + 4}_{\text{sbg} \, q })^2 &< 0 \\ (p+q)(p-q)&<0\\ [( 2x - 5 ) + ( x + 4 )][( 2x - 5 )-( x + 4 )]&<0\\ (3x-1)(x-9)&<0\\ x=1/3 \, & \text{atau} \, x=9 \end{align*}$
Jadi, HP = $\{ \frac{1}{3} < x < 9 \} \, \heartsuit $
Pemfaktoran : $p^2 - q^2 = (p+q)(p-q)$
$\spadesuit \, $ Kedua ruas dikuadratkan :
$\begin{align*} | 2x - 5 | &< | x + 4 | \\ | 2x - 5 |^2 &< | x + 4 |^2 \\ ( 2x - 5 )^2 &< ( x + 4 )^2 \\ ( \underbrace{2x - 5}_{\text{sbg} \, p} )^2 - ( \underbrace{x + 4}_{\text{sbg} \, q })^2 &< 0 \\ (p+q)(p-q)&<0\\ [( 2x - 5 ) + ( x + 4 )][( 2x - 5 )-( x + 4 )]&<0\\ (3x-1)(x-9)&<0\\ x=1/3 \, & \text{atau} \, x=9 \end{align*}$
Jadi, HP = $\{ \frac{1}{3} < x < 9 \} \, \heartsuit $
Nomor 10
Jika $f(x) = \left( x^2 + 1 \right) cos^2 (x) $ maka $f^\prime(\pi ) = ...$
Definisi : $y=UV \Rightarrow y^\prime = U^\prime V + UV^\prime $
$ f(x) = \underbrace{\left( x^2 + 1 \right)}_{\text{sbg} \, U} \underbrace{cos^2 (x)}_{\text{sbg} \, V} $
$U=x^2 + 1 \Rightarrow U^\prime = 2x \\ V = cos^2 (x) \Rightarrow V^\prime = 2cosx . (-sinx) \Leftrightarrow V^\prime =-2cosxsinx$
Sehingga :
$\begin{align*} f(x)&=U.V \\ f^\prime(x) &= U^\prime V + UV^\prime \\ f^\prime(x) &= 2x.cos^2 x + \left( x^2 + 1 \right). (-2cosxsinx) \end{align*}$
Substitusi $x= \pi $ :
$\begin{align*} f^\prime(\pi ) &= 2\pi .cos^2 \pi + \left( \pi^2 + 1 \right). (-2cos\pi sin\pi ) \\ &=2\pi(-1)^2 + \left( \pi^2 + 1 \right).\left( -2.(-1).0 \right) \\ &=2\pi + 0 \\ &=2\pi \end{align*}$
Jadi, $f^\prime(\pi ) = 2\pi . \, \heartsuit $
$ f(x) = \underbrace{\left( x^2 + 1 \right)}_{\text{sbg} \, U} \underbrace{cos^2 (x)}_{\text{sbg} \, V} $
$U=x^2 + 1 \Rightarrow U^\prime = 2x \\ V = cos^2 (x) \Rightarrow V^\prime = 2cosx . (-sinx) \Leftrightarrow V^\prime =-2cosxsinx$
Sehingga :
$\begin{align*} f(x)&=U.V \\ f^\prime(x) &= U^\prime V + UV^\prime \\ f^\prime(x) &= 2x.cos^2 x + \left( x^2 + 1 \right). (-2cosxsinx) \end{align*}$
Substitusi $x= \pi $ :
$\begin{align*} f^\prime(\pi ) &= 2\pi .cos^2 \pi + \left( \pi^2 + 1 \right). (-2cos\pi sin\pi ) \\ &=2\pi(-1)^2 + \left( \pi^2 + 1 \right).\left( -2.(-1).0 \right) \\ &=2\pi + 0 \\ &=2\pi \end{align*}$
Jadi, $f^\prime(\pi ) = 2\pi . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.