Senin, 29 Juni 2015

Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 81 tahun 2008 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Petunjuk C digunakan untuk menjawab soal nomor 11 dan 15.
Jika $ \alpha \, $ memenuhi persamaan $ \sin x = \sqrt{2\cos x } \, $ maka
(1). $ \cos \alpha = -1 + \sqrt{2} $
(2). $ \sin \alpha = \sqrt{2 + 2\sqrt{2}} $
(3). $ \tan \alpha = \frac{\sqrt{2\sqrt{2}-2}}{-1+\sqrt{2}} $
(4). $ \cos \alpha = 1 - \sqrt{2} $
$\clubsuit \,$ Konsep dasar
*). identitas trigonometri
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \sin ^2 x = 1 - \cos ^2 x $
*). dari bentuk $ \sin x = \sqrt{2\cos x } \, $ , maka nilai $ \sin x \, $ dan $ \cos x \, $ positif.
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ \cos x $
$\begin{align} \sin x & = \sqrt{2\cos x } \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \sin ^2 x & = 2 \cos x \, \, \, \, \text{(gunakan identitas)} \\ 1 - \cos ^2 x & = 2 \cos x \\ \cos ^2 x + 2 \cos x - 1 & = 0 \\ \text{Misalkan } \, p & = \cos x > 0 \\ p^2 + 2 p - 1 & = 0 \, \, \, \, \text{(gunakan rumus ABC)} \\ a = 1, \, b = 2 , \, & \, c = -1 \\ p & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ p & = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4.1.(-1)}}{2.1} \\ p & = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} \\ p & = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\ p & = -1 \pm \sqrt{2} \end{align}$
Karena nilai $ \cos x \, $ positif, maka yang memenuhi adalah $ \cos \alpha = \cos x = -1 + \sqrt{2} $
$\clubsuit \,$ Buat segitiga dari $ \cos \alpha = \frac{-1 + \sqrt{2}}{1} = \frac{sa}{mi} $
spmk_ub_3_2008
Dari segitiga di atas diperoleh :
$\begin{align} \sin \alpha & = \frac{de}{mi} = \frac{\sqrt{2\sqrt{2}-2}}{1} = \sqrt{2\sqrt{2}-2} \\ \tan \alpha & = \frac{de}{sa} = \frac{\sqrt{2\sqrt{2}-2}}{-1 + \sqrt{2}} \end{align}$
Sehingga yang benar adalah pernyataan (1) dan (3), berdasarkan petunjuk C jawabannya B.
Jadi, jawabannya B. $ \heartsuit $
Nomor 12
Petunjuk C digunakan untuk menjawab soal nomor 11 dan 15.
Jika gambar di bawah ini adalah grafik $ y = \frac{df(x)}{dx} \, $ , maka dapat disimpulkan bahawa $ f(x) $
spmk_ub_1_2008
(1). mempunyai nilai minimum lokal pada $ x = -3 $
(2). turun pada interval $ x < -3 $
(3). mempunyai titik belok pada $ x = 5 $
(4). mempunyai nilai maksimum lokal pada $ x = 2 $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar turunan
$ f^\prime (x) > 0 \rightarrow \, $ fungsi $ f(x) \, $ naik
$ f^\prime (x) < 0 \rightarrow \, $ fungsi $ f(x) \, $ turun
$\spadesuit \, $ Dari gambar pada soal, akar-akarnya (titik potong sumbu X) adalah -3 dan 5, artinya $ f^\prime (x) = 0 \, $ akar-akarnya -3 dan 5. Untuk memudahkan menganalisa fungsi aslinya $ f(x) \, $ , kita gambar dulu garis bilangan turunannya $ f^\prime (x) $ .
spmk_ub_4_2008
Keterangan grafik fungsi $ f(x) $ di atas :
*). mempunyai nilai minimum lokal pada $ x = -3 $
*). turun pada interval $ x < -3 $
*). mempunyai titik belok pada $ x = 5 $
sehingga pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3).
Jadi, pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3). $ \heartsuit $
Nomor 13
Petunjuk C digunakan untuk menjawab soal nomor 11 sampai 15.
Diketahui $ {}^2 \log a > 1 \, $ dan $ {}^2 \log b > 1, \, $ sedangkan $ a \neq b . \, $ Hubungan antara $ a \, $ dan $ b \, $ yang berlaku adalah .....
(1). $ \frac{a}{b} > 1 $
(2). $ \frac{b}{a} > 1 $
(3). $ a-b > 1 $
(4). $ a.b> 4 $
$\clubsuit \,$ Konsep pertidaksamaan logaritma
$ {}^c \log f(x) > {}^c \log g(x) \rightarrow f(x) > g(x) $
dengan syarat : $ c > 1 \, $ (basisnya > 1)
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b $
$\begin{align} {}^2 \log a > 1 \rightarrow {}^2 \log a & > {}^2 \log 2 \\ a & > 2 \, \, \, \, \text{...(i)} \\ {}^2 \log b > 1 \rightarrow {}^2 \log b & > {}^2 \log 2 \\ b & > 2 \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align}$
Dari (i) dan (ii) diperoleh :
$ a.b > 2.2 \rightarrow a.b > 4 $
sehingga yang benar adalah pernyataan (4), berdasarkan petunjuk C jawabannya D.
Jadi, jawabannya D. $ \heartsuit $
Nomor 14
Petunjuk C digunakan untuk menjawab soal nomor 11 sampai 15.
Jika $ \overline{p} \vee \overline{q} \, $ adalah pernyataan benar, maka
(1). $ \overline{p} \wedge q \, $ benar
(2). $ \overline{q} \Rightarrow p \, $ benar
(3). $ \overline{p} \Leftrightarrow \overline{q} \, $ benar
(4). $ \overline{p} \wedge \overline{q} \, $ salah
$\spadesuit \, $ Tabel kebenaran logika matematika
spmk_ub_5_2008
Keterangan : B = Benar dan S = Salah
$\spadesuit \, $ Untuk menyelesaiakan soal ini, kita langsung menggunakan tabel kebenarannya
spmk_ub_6_2008
$ \overline{p} \vee \overline{q} \, $ adalah pernyataan benar, sehingga yang digunakan hanya baris yang nilai $ \overline{p} \vee \overline{q} \, $ juga benar (lihat kolom $ \overline{p} \vee \overline{q} \, $ yang kolomnya dilingkari merah) yaitu baris (i), (ii), dan (iii) yang diberi warna biru.
$\spadesuit \, $ Berdasarkan petunjuk C, yang diinginkan soal : BBBS
Kita cocokkan ketiga baris yang memenuhi, dan kalau ada yang sama maka diinggap benar. Cuma perhatikan 4 kolom yang diberi kotak biru saja, kemudian samakan dengan yang diinginkan soal yaitu : BBBS .
Baris (i) , Hasilnya SBSS , yang sama pernyataan (2) dan (4), bedasarkan petunjuk C jawabannya C
Baris (ii) , Hasilnya BBSS , yang sama pernyataan (1), (2) dan (4), bedasarkan petunjuk C tidak ada jawabannya
Baris (iii) , Hasilnya SSBB , yang sama pernyataan (3) saja, bedasarkan petunjuk C tidak ada jawabannya
Sehingga yang benar dan cocok dengan petunjuk C adalah barisan (i) yang jawabannya C.
Jadi, pernyataan yang sama adalah (2), dan (4), jawabannya C. $ \heartsuit $
Nomor 15
Petunjuk C digunakan untuk menjawab soal nomor 11 sampai 15.
Interval yang memenuhi pertidaksamaan $ x - 1 \leq \frac{2}{x} \, $ adalah ....
(1). $ x \leq -1 $
(2). $ -1 \leq x < 0 $
(3). $ 0 < x \leq 2 $
(4). $ -1 \leq x \leq 2 , \, \, x \neq 0 $
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan pertidaksamaannya
$\begin{align} x - 1 & \leq \frac{2}{x} \\ (x - 1) - \frac{2}{x} & \leq 0 \\ \frac{x(x - 1)-2}{x} & \leq 0 \\ \frac{x^2 - x-2}{x} & \leq 0 \\ \frac{(x+1)(x-2)}{x} & \leq 0 \\ x = -1 , \, x= 2, \, x & = 0 \end{align}$
spmk_ub_7_2008
Solusinya : $ HP = \{ x \leq -1 \vee 0 < x \leq 2 \} $
Sehingga pernyataan yang benar sesuai dengan solusi di atas adalah pernyataan (1) dan (3), berdasarkan petunjuk C jawabannya B.
Jadi, yang benar pernyataan (1) dan (3), jawabannya B. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar