Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 91 tahun 2009 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Diketahui bahwa persamaan kuadrat $ x^2 + ax + b = 0 \, $ mempunyai akar-akar real $ x_1 > 0 \, $ dan $ x_2 > 0 \, $ . Jika $ x_1, \, x_2, \, x_1^2 x_2 \, $ , membentuk deret geometri dengan rasio 4, maka $ \frac{a}{b} \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ PK : $ x^2 + ax + b = 0 \, $ akar-akarnya $ x_1 \, $ dan $ x_2 $
*) $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-a}{1} = -a $
artinya : $ x_1 + x_2 = -a \rightarrow a = -(x_1+x_2) $
*) $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} = \frac{b}{1} = b $
artinya : $ x_1 . x_2 = b \rightarrow b = x_1.x_2 $
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $ x_1, \, x_2, \, x_1^2 x_2 $
Rasionya ($r$) sama dengan 4 :
$\begin{align} r & = \frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2 x_2}{x_2} = 4 \\ *) \, & \frac{x_1^2 x_2}{x_2} = 4 \rightarrow x_1^2 = 4 \rightarrow x_1 = 2 \\ *) \, & \frac{x_2}{x_1} = 4 \rightarrow x_2 = 4x_1 = 4.2 = 8 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \frac{a}{b} $
$\begin{align} \frac{a}{b} & = \frac{-(x_1+x_2)}{x_1.x_2} = \frac{-(2 + 8)}{2.8} = \frac{-10}{16} \\ \frac{a}{b} & = \frac{-5}{8} \end{align}$
Jadi, nilai $ \frac{a}{b} = \frac{-5}{8} . \heartsuit $
Nomor 7
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{2x^2-9} - \sqrt{2}x \, $ adalah ....
$\clubsuit \,$ Konsep dasar limit
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q} = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} $
$\clubsuit \,$ Menentukan hasil limitnya dengan modifikasi
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{2x^2-9} - \sqrt{2}x & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{2x^2-9} - \sqrt{(\sqrt{2}x)^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{2x^2-9} - \sqrt{2x^2} \\ & b = 0 , \, p = 0 , \, a = 2 \\ & = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} = \frac{0-0}{2\sqrt{2}} = 0 \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah 0 . $ \heartsuit $
Nomor 8
Nilai maksimum $ f(x,y) = 8x+5y \, $ untuk $ x \, $ dan $ y \, $ di daerah yang diarsir adalah ....
spmk_ub_1_2009
$\spadesuit \, $ Konsep persamaan garis
spmk_ub_1a_2009
$\spadesuit \, $ Menentukan persamaan garisnya
spmk_ub_1b_2009
garis I : $ 9x + 3y = 9.3 \rightarrow 3x+y = 9 $
garis II : $ 6x+4y=6.4 \rightarrow 3x+2y=12 $
$\spadesuit \, $ Eliminasi kedua persamaan untuk menentukan titik B
$\begin{array}{cc} 3x+2y=12 & \\ 3x+y = 9 & - \\ \hline y = 3 & \end{array}$
pers(i) : $ 3x+y = 9 \rightarrow 3x+3 = 9 \rightarrow x = 2 $
sehingga titik B(2,3)
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai maksimum $ f(x,y) = 8x+5y \, $ dengan substitusi semua titik pojoknya
$\begin{align} A(3,0) \rightarrow f & = 8.3+5.0 = 24 \\ B(2,3) \rightarrow f & = 8.2+5.3 = 16+15=31 \\ C(0,6) \rightarrow f & = 8.0+5.6 = 30 \end{align}$
Jadi, nilai maksimumnya adalah 31. $ \heartsuit $
Nomor 9
Nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ \left( 8^{x + \frac{1}{3}} \right)^2 = 0,5\sqrt[3]{2^x} \, $ adalah ....
$\clubsuit \,$ Konsep eksponen
*) sifat eksponen
$ (a^m)^n = a^{m.n}, \, \, \, \, a^m.a^n = a^{m+n} $
$ (a)^{-n} = \frac{1}{a^n}, \, \, \, \, \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} $
*) Persamaan : $ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} \left( 8^{x + \frac{1}{3}} \right)^2 & = 0,5\sqrt[3]{2^x} \\ 8^{2x + \frac{2}{3}} & = \frac{1}{2}.2^\frac{x}{3} \\ (2^3)^{2x + \frac{2}{3}} & = 2^{-1}.2^\frac{x}{3} \\ 2^{6x + 2} & = 2^{-1 + \frac{x}{3}} \\ 6x + 2 & = -1 + \frac{x}{3} \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 18x + 6 & = -3 + x \\ 17x & = -9 \\ x & = \frac{-9}{17} \end{align}$
Jadi, nilai $ x = \frac{-9}{17} . \heartsuit $
Nomor 10
Petunjuk B digunakan untuk menjawab soal nomor 10 dan 11.
Grafik $ y=px^2 +qx+4 \, $ melalui titik $ (x,y)=(0,4) \, $ untuk semua nilai $ p \, $ dan $ q \, $ . Jika grafik tersebut juga melewati (1,3) dan (2,6) , maka nilai $ 3p+q=3 \, $.
                            SEBAB
$ p =3 \, $ dan $ q = -6 $ .
$\spadesuit \, $ Substitusi titik (1,3) dan (2,6) ke $ y=px^2 +qx+4 $
$\begin{align} (x,y)=(1,3) \rightarrow y & =px^2 +qx+4 \\ 3 & =p.1^2 +q.1+4 \\ p+q & = -1 \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ (x,y)=(2,6) \rightarrow y & =px^2 +qx+4 \\ 6 & =p.2^2 +q.2+4 \\ 4p+2q & = 2 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 2p+q & = 1 \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} 2p+q = 1 & \\ p+q = -1 & - \\ \hline p = 2 & \end{array}$
pers(i) : $ p+q = -1 \rightarrow 2+q = -1 \rightarrow q = -3 $
sehingga nilai $ 3p+q = 3.2 + (-3) = 3 $
$\spadesuit \, $ Berdasarkan petunjuk B
*) Pernyataan pertama : $ 3p + q = 3 \, $ (benar)
*) Pernyataan kedua : $ p = 3 \, $ dan $ q = -6 \, $ salah karena seharusnya nilai $ p = 2 \, $ dan $ q = -3 $
Karena pernyataan pertama benar dan pernyataan kedua salah, maka berdasarkan petunjuk B jawabannya opsi C.
Jadi, jawabannya C. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.