Senin, 22 Juni 2015

Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 91 tahun 2009


Nomor 1
Matriks $ \left[ \begin{matrix} 2x & 2x+y \\ 2x-y & 2x \end{matrix} \right] \, \, $ tidak memiliki invers jika ....
A. $ x=y $
B. $ x = -y $
C. $ x = 0 \, $ dan $ y \, $ sembarang
D. $ y = 0 \, $ dan $ x \, $ sembarang
E. $ x \, $ dan $ y \, $ sembarang
$\spadesuit \, $ Konsep matriks
*) Determinan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
Det(A)= $ ad-bc $
*) Matriks tidak punya invers, syaratnya Det = 0
$\spadesuit \, $ Menentukan Determinan matriks A
$\begin{align} A & = \left[ \begin{matrix} 2x & 2x+y \\ 2x-y & 2x \end{matrix} \right] \\ Det(A) & = 2x.2x - (2x-y)(2x+y) \\ & = 4x^2 - (4x^2 - y^2) \\ Det(A) & = y^2 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Syarat tidak mempunyai invers
$\begin{align} Det(A) & = 0 \\ y^2 & = 0 \\ y & = 0 \end{align}$
Artinya matriks A tidak mempunyai invers jika $ y = 0 \, $ dan $ x \, $ sembarang.
Jadi, syaratnya $ y = 0 \, $ dan $ x \, $ sembarang. $ \heartsuit $
Nomor 2
Diketahui $ f(x) = x+5 \, $ dan $ g(x) = x^\frac{1}{3} \, $ , maka $ (f^{-1} \circ g^{-1} ) (3) \, $ adalah ....
$\clubsuit \,$ Konsep dasar
*) inves : $ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1} (y) $
*) eksponen : $ b = a^\frac{1}{n} \rightarrow a = b^n $
$\clubsuit \,$ Menentukan invers kedua fungsi
*) fungsi $ f(x) = x + 5 $
$ y = x + 5 \rightarrow x = y-5 $
artinya invernya : $ f^{-1} (x) = x-5 $
*) fungsi $ g(x) = x^\frac{1}{3} $
$ y = x^\frac{1}{3} \rightarrow x = y^3 $
artinya inversnya : $ g^{-1} (x) = x^3 $
$\clubsuit \,$ Menentukan hasilnya
$\begin{align} (f^{-1} \circ g^{-1} ) (3) & = f^{-1} (g^{-1}(3)) \\ & = f^{-1} (3^3) \\ & = f^{-1} (27) \\ & = 27 - 5 \\ & = 22 \end{align}$
Jadi, nilai $ (f^{-1} \circ g^{-1} ) (3) = 22. \heartsuit $
Nomor 3
Jika $ 0 < x < \frac{\pi}{2} \, $ dan $ \cos x = \tan x \, $ , maka nilai dari $ \sin x \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar trigonometri
$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \, $ dan $ \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \sin x $
Diketahui : $ \cos x = \tan x \, $ dan misalkan $ p = \sin x $
$\begin{align} \cos x & = \tan x \\ \cos x & = \frac{\sin x}{\cos x} \\ \cos ^2 x & = \sin x \\ 1 - \sin ^2 x & = \sin x \\ \sin ^2 x + \sin x - 1 & = 0 \, \, \, \, \text{(substitusi } \, p = \sin x ) \\ p^2 + p - 1 & = 0 \rightarrow a = 1, b = 1, c = -1 \\ \text{Gunakan } \, & \, \text{ rumus ABC} & \\ p & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ p & = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4.1.(-1)}}{2.1} \\ p & = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \end{align}$
sehingga nilai $ \sin x = p = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} $
Karena $ x \, $ pada interval $ 0 < x < \frac{\pi}{2} \, $ (kuadran I), maka nilai $ \sin x \, $ positif, dan yang memenuhi adalah $ \sin x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} $
Jadi, nilai $ \sin x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} . \heartsuit $
Nomor 4
Sebuah persegipanjang yang terbuat dari kawat besi mengalami pemuaian sehingga panjangnya bertambah 25% dari panjang mula-mula dan lebarnya bertambah sebesar 40% dari lebarnya semula. Berapa persen pertambahan luas persegipanjang tersebut dengan adanya pemuaian?
$\clubsuit \,$ Permisalan
$ p_a \, $ = panjang awal , $ \, l_a \, $ = lebar awal
$ L_a \, $ = Luas awal = $ p_a.l_a $
$ p_p \, $ = panjang adanya pemuaian , $ \, l_p \, $ = lebar adanya pemuaian
$ L_p \, $ = Luas adanya pemuaian = $ p_p.l_p $
$\clubsuit \,$ Menentukan panjang dan lebar ada pemuaiannya
*) panjang bertambah 25%
$ p_p = p_a + 25\% p_a = p_a + 0,25p_a $
$ p_p = 1,25p_a \, $ ....(i)
*) lebar bertambah 40%
$ l_p = l_a + 40\% l_a = l_a + 0,4l_a $
$ l_p = 1,4l_a \, $ ....(ii)
$\clubsuit \,$ Luas adanya pemuaian dari bentuk (i) dan (ii)
$\begin{align} L_p & = p_p . l_p \\ & = (1,25p_a).(1,4l_a ) \\ & = 1,75 p_a.l_a \\ & = 1,75L_a \\ & = L_a + 0,75L_a = L_a + 0,75 \times 100\% L_a\\ & = L_a + 75\% L_a \end{align}$
artinya luas bertambah 75% setelah adanya pemuaian.
Jadi, luasnya bertambah 75% . $ \heartsuit $
Nomor 5
Diketahui $ {}^2 \log a > 1 \, $ dan $ {}^3 \log b > 1 \, $ dengan $ a,b > 0 \, $ dan $ a \neq b \, $ . Hubungan antara $ a \, $ dan $ b \, $ yang berlaku adalah .....
$\spadesuit \, $ Konsep pertidaksamaan logaritma
$ {}^c \log f(x) > {}^c \log g(x) \rightarrow f(x) > g(x) $
dengan syarat : $ c > 1 \, $ (basisnya > 1)
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b $
$\begin{align} {}^2 \log a > 1 \rightarrow {}^2 \log a & > {}^2 \log 2 \\ a & > 2 \, \, \, \, \text{...(i)} \\ {}^3 \log b > 1 \rightarrow {}^3 \log b & > {}^3 \log 3 \\ b & > 3 \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align}$
Dari (i) dan (ii) diperoleh :
$ a.b > 2.3 \rightarrow a.b > 6 $
Jadi, hubungannya adalah $ ab > 6 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar