Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 96 tahun 2010 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Persamaan garis singgung lingkaran dengan $ L : \, x^2 + y^2 -6x+8y=0 \, $ yang tegak lurus pada garis $ x + y = 1 \, $ adalah ....
$\clubsuit \,$ Konsep dasar lingkaran
*) Unsur-unsur lingkaran :
Persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
Pusat ($a,b$) : $ a \frac{-A}{2} , \, b = \frac{-B}{2} $
Jari-jari : $ r = \sqrt{a^2 + b^2 - C } $
*) Persamaan garis singgung (PGS) lingkaran
PGQ nya : $ y-b = m(x-a) \pm r \sqrt{1+m^2} $
$\clubsuit \,$ Menentukan unsur-unsur lingkaran
$ x^2 + y^2 -6x+8y=0 \rightarrow A= -6, \, B = 8 , \, C = 0 $
pusat ($a,b$) dan jari-jari
$ a = \frac{-A}{2} = \frac{-(-6)}{2} = 3 , \, b = \frac{-B}{2} = \frac{-8}{2} = -4 $
$ r = \sqrt{a^2 + b^2 - C } = \sqrt{3^2 + (-4)^2 - 0 } = \sqrt{25} = 5 $
$\clubsuit \,$ Menentukan gradien garis singgungnya
$ x + y = 1 \rightarrow y = -x + 1 \rightarrow m_1 = -1 $
garis singgung tegak lurus dengan garis $ x+ y = 1 \, $ sehingga
$ m . m_1 = -1 \rightarrow m . (-1) = -1 \rightarrow m = 1 $
artinya gradien garis singgungnya $ m = 1 $
$\clubsuit \,$ Menentukan PGS nya dengan $ a = 3, b=-4, r= 5, m=1 $
$\begin{align} y-b & = m(x-a) \pm r \sqrt{1+m^2} \\ y-(-4) & = 1.(x-3) \pm 5 \sqrt{1+1^2} \\ y+4 & = (x-3) \pm 5 \sqrt{2} \\ y & = x-7 \pm 5 \sqrt{2} \end{align}$
Jadi, PGS nya adalah $ y = x-7 \pm 5 \sqrt{2} . \heartsuit $
Nomor 12
Diketahui suku banyak $ g(x) = x^3 + x^2 -x+b \, $ habis dibagi $ (x-1) \, $ . Jika $ g(x) \, $ dibagi $ (x^2-1) \, $ , maka sisanya adalah .....
$\spadesuit \, $ Teorema sisa : $\frac{f(x)}{x-a} \Rightarrow \text{sisa} = f(a)$
artinya : substitusi $x=a\, $ ke $f(x)$ dengan hasil sama dengan sisanya
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ b \, $ pada $ g(x) = x^3 + x^2 -x+b $
$ g(x) : (x-1) \rightarrow \, $ sisa = $ g(1) $
Karena habis dibagi, maka sisanya sama dengan nol.
$\begin{align} \text{sisa } \, & = g(1) \\ 0 & = g(1) \\ 0 & = 1^3 + 1^2 -1 + b \\ b & = -1 \end{align}$
Fungsinya menjadi : $ g(x) = x^3 + x^2 -x - 1 $
$\spadesuit \, $ Menentukan sisa $ g(x) \, $ dibagi $ (x^2-1) $
spmk_ub_4_2010
sehingga sisanya = 0
Jadi, sisa $ g(x) \, $ dibagi $ (x^2-1) \, $ adalah 0 . $ \heartsuit $
Nomor 13
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Misalkan P adalah titik potong diagonal ABCD dan Q adalah proyeksi B pada PF. Panjang PQ adalah ......
$\clubsuit \,$ Gambar
spmk_ub_5_2010
Proyeksi B pada PF adalah titik Q dengan syarat garis BQ tegak lurus dengan PF.
$\clubsuit \,$ Menentukan panjang sisi lainnya
$ PB = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}.4\sqrt{2} = 2\sqrt{2} $
$\Delta PBF \rightarrow PF = \sqrt{PB^2 + BF^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 4^2} = 2\sqrt{6} $
$\clubsuit \,$ Menentukan panjang BQ dengan luas $ \Delta PBF $
$\begin{align} L \, \Delta PBF \, \text{ (alas PF)} & = L \, \Delta PBF \, \text{ (alas PB)} \\ \frac{1}{2}.PF.BQ & = \frac{1}{2}. PB. BF \\ \frac{1}{2}.2\sqrt{6}. BQ & = \frac{1}{2}. 2\sqrt{2} . 4 \\ BQ & = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{4}{3} \sqrt{3} \end{align}$
$\clubsuit \,$ Menentukan panjang PQ pada segitiga PBQ
$\begin{align} PQ & = \sqrt{PB^2 - BQ^2} \\ & = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - (\frac{4}{3} \sqrt{3})^2} \\ & = \sqrt{8 - \frac{16}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\ PQ & = \frac{2}{3} \sqrt{6} \end{align}$
Jadi, panjang $ PQ = \frac{2}{3} \sqrt{6} . \heartsuit $
Nomor 14
Petunjuk C digunakan untuk nomor 14 dan 15 .
Diketahui garis $ g \, $ adalah garis singgung kurva $ x^2y=32 \, $ di titik (2,8). Pernyataan berikut yang benar adalah ....
(1). Garis $ g \, $ memotong sumbu X di titik (6,0)
(2). Garis $ g \, $ memotong sumbu Y di titik (0,18)
(3). Luas daerah dibawah garis $ g \, $ pada kuadran pertama adalah 36
(4). Persamaan garis $ g \, $ adalah $ y = -3x + 18 $
$\spadesuit \, $ Persamaan garis singgung (PGS) di titik $(x_1,y_1) , $ adalah $ y-y_1 = m(x-x_1) \, $ dengan gradien $ m = f^\prime (x_1) $
$\spadesuit \, $ Menentukan gradien garis singgungnya di titik (2,8), artinya gradien $ m = f^\prime (2) $
konsep turunan : $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} $
$\begin{align} x^2y & = 32 \\ y & = \frac{32}{x^2} = 32x^{-2} \\ y^\prime & = -2.32.x^{-3} = \frac{-64}{x^3} \\ m & = f^\prime (2) = \frac{-64}{2^3} = -8 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukana PGS nya di $ (x_1,y_1)=(2,8) \, $ dan $ m =-8 $
$\begin{align} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-8 & = -8(x-2) \\ y-8 & = -8x + 16 \\ y & = -8x + 24 \end{align}$
Sehingga PGS nya : $ y = -8x + 24 $
$\spadesuit \, $ Cek pernyataan (1) sampai (4)
(1). titik potong sumbu X , substitusi $ y = 0 $
$ y = -8x + 24 \rightarrow 0 = -8x + 24 \rightarrow x = 3 $
sehingga titik potongnya (3,0) . (pernyataan (1) salah)
(2). titik potong sumbu Y , substitusi $ x = 0 $
$ y = -8x + 24 \rightarrow y = -8.0 + 24 \rightarrow y = 24 $
sehingga titik potongnya (0,24) . (pernyataan (2) salah)
(3). gambar
spmk_ub_6_2010
Luas arsir = $ \frac{1}{2}.a.t=\frac{1}{2}.3.24=36 $
pernyataan (3) benar.
(4). Pernyataan (4) salah karena PGSnya : $ y = -8x + 24 $
Jadi, yang benar hanya pernyataan (3), tidak ada pilihannya. $ \heartsuit $
Nomor 15
Untuk dua himpunan A dan B , didefinisikan
$ A-B = \{ x | x \in A \, \text{dan} \, x \not\in B \} \, $ dan
$ A+B = (A\cup B) - ( A\cap B ) $ .
Syarat yang harus dipenuhi agar $ A + B \, $ memiliki anggota himpunan yang sama dengan $ A - B \, $ adalah ...
(1). $ A \cap B = \emptyset $
(2). $ B = \emptyset $
(3). $ A \neq B $
(4). $ B \subseteq A $
$\clubsuit \,$ Konsep dasar himpunan
$ \emptyset = \, $ himpunan kosong (tidak ada anggotanya)
$ S = \, $ himpunan semesta (ruang sampel)
$ (\emptyset )^c = S \, $ artinya komplemen (lawan) dari himpunan kosong adalah himpunan semesta
$ x \in A \, $ artinya $ x \, $ anggota dari himpunan A
$ x \not\in A \, $ artinya $ x \, $ bukan anggota dari himpunan A
$ x \not\in A \, $ sama saja dengan $ x \in A^c $
$ \cup = \, $ gabungan dua himpunan (diambil semua)
$ \cap = \, $ irisan dua himpunan (diambil yang sama)
$ A \cup \emptyset = A , \, A \cap \emptyset = \emptyset $
$ A \cup S = S , \, A \cap S = A $
$\clubsuit \,$ Menyederhanakan definisinya
*) definisi pertama :
$\begin{align} A-B & = \{ x | x \in A \, \text{dan} \, x \not\in B \} \\ A-B & = \{ x | x \in A \, \text{dan} \, x \in B^c \} \\ A-B & = \{ x | x \in (A \cap B^c ) \} \\ A-B & = (A \cap B^c ) \, \, \, \, \text{...(i)} \end{align}$
*) definisi kedua menggunakan bentuk (i)
$\begin{align} A+B & = (A\cup B) - ( A\cap B ) \\ A+B & = (A\cup B) \cap ( A\cap B )^c \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \,$ Cek semua pernyataan menggunakan bentuk (i) dan (ii)
(1). $ A\cap B = \emptyset $
cek bentuk (ii) :
$\begin{align} A+B & = (A\cup B) \cap ( A\cap B )^c \\ A+B & = (A\cup B) \cap ( \emptyset )^c \\ A+B & = (A\cup B) \cap S \\ A+B & = (A\cup B) \end{align}$
dari $ A+B = (A\cup B) \, $ dan $ A-B = (A \cap B^c ) \, $ maka hasilnya tidak sama, yang artinya $ A +B \neq A-B \, . $ pernyataan (1) salah.
(2). $ B = \emptyset $
cek kedua bentuk (i) dan (ii) :
$\begin{align} \text{bentuk (i) : } \, A+B & = (A\cup B) \cap ( A\cap B )^c \\ A+B & = (A\cup \emptyset ) \cap ( A\cap \emptyset )^c \\ A+B & = (A ) \cap ( \emptyset )^c \\ A+B & = (A ) \cap S \\ A+B & = (A ) \\ \text{bentuk (ii) : } \, A-B & = (A \cap B^c ) \\ A-B & = (A \cap ( \emptyset )^c ) \\ A-B & = (A \cap S ) \\ A-B & = A \end{align}$
karena diperoleh $ A + B = A \, $ dan $ A -B = A \, $ , maka hasilnya sama, artinya $ A+B = A-B \, $ sehingga pernyataan (2) benar.
(3). $ A \neq B $
karena $ A \neq B \, $ , maka bisa saja hasilnya $ A \cap B = \emptyset \, $ , sehingga dari pernyataan (1) maka pernyataan (3) juga salah.
(4). $ B \subseteq A $
$ B \subseteq A \, $ artinya semua anggota $ B \, $ ada di dalam himpunan $ A \, $ atau bisa saja $ A = B $
cek kedua bentuk (i) dan (ii) :
$\begin{align} \text{bentuk (i) : } \, A+B & = (A\cup B) \cap ( A\cap B )^c \\ A+B & = (A ) \cap ( B )^c = (A \cap B^c) \\ \end{align}$
karena diperoleh $ A + B = (A \cap B^c) \, $ dan $ A -B = (A \cap B^c) \, $ , maka hasilnya sama, artinya $ A+B = A-B \, $ sehingga pernyataan (4) benar.
Jadi, pernyataan yang benar adalah (2) dan (4), sehingga pilihannya C. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.