Kamis, 11 Juni 2015

Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2013 nomor 1 sampai 5


Nomor 1
Jika $ 1 - \cot \alpha = - \frac{1}{3} \, $ , maka nilai $ \sin 2 \alpha + \cos 2\alpha = .... $
$\clubsuit \, $ Kosep dasar trigonometri
$ \cot \alpha = \frac{\text{samping}}{\text{depan}} , \sin \alpha = \frac{\text{depan}}{\text{miring}} , \, \cos \alpha = \frac{\text{samping}}{\text{miring}}$
$ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $
$ \cos 2\alpha = 1 - 2\sin ^2 \alpha $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ \cot \alpha \, $ dan gambarnya
$\begin{align} 1 - \cot \alpha = - \frac{1}{3} \rightarrow \cot \alpha = \frac{4}{3} = \frac{\text{samping}}{\text{depan}} \end{align}$
um_ugm_matdas_1_2013.png
sehingga : $ \sin \alpha = \frac{3}{5} \, $ dan $ \cos \alpha = \frac{4}{5} $
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soal
$\begin{align} \sin 2 \alpha + \cos 2\alpha & = (2\sin \alpha \cos \alpha) + (1 - 2\sin ^2 \alpha) \\ & = (2\sin \alpha \cos \alpha) + (1 - 2 (\sin \alpha)^2) \\ & = (2 . \frac{3}{5} . \frac{4}{5}) + (1 - 2 (\frac{3}{5})^2) \\ & = \frac{24}{25} + (1 - \frac{18}{25}) \\ & = \frac{24}{25} + \frac{7}{25} \\ \sin 2 \alpha + \cos 2\alpha & = \frac{31}{25} \end{align}$
Jadi, nilai $ \sin 2 \alpha + \cos 2\alpha = \frac{31}{25} . \heartsuit $
Nomor 2
Persamaan kuadrat $ x^2 - (3- {}^2 \log m )x - {}^2 \log 16m = 0 \, $ mempunyai akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2\, $ . Jika $ x_1x_2^2 + x_1^2x_2 = -6 \, $ maka $ {}^m \log 8 = .... $
$\spadesuit \, $ Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log bc = {}^a \log b + {}^a \log c \, ; \, {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
dan $ {}^a \log b = c \rightarrow {}^b \log a = \frac{1}{c} $
$\spadesuit \, $ PK : $ x^2 - (3- {}^2 \log m )x - {}^2 \log 16m = 0 $
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-[- (3- {}^2 \log m )]}{1} = 3- {}^2 \log m \\ x_1 . x_2 & = \frac{c}{a} = \frac{- {}^2 \log 16m}{1} = - {}^2 \log 16m \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ m \, $ , misalkan $ p = {}^2 \log m $
$\begin{align} x_1x_2^2 + x_1^2x_2 & = -6 \\ x_1.x_2(x_1 + x_2) & = -6 \\ (- {}^2 \log 16m)(3- {}^2 \log m) & = -6 \\ (- [{}^2 \log 16 + {}^2 \log m])&(3- {}^2 \log m) = -6 \\ (- [4 + {}^2 \log m])(3- {}^2 \log m) & = -6 \\ (- 4 - {}^2 \log m)(3- {}^2 \log m) & = -6 \, \, \, \text{ (subs. } p = {}^2 \log m ) \\ (- 4 - p)(3- p) & = -6 \\ p^2 + p -12 & = -6 \\ p^2 + p -6 & = 0 \\ (p-2)(p+3) & = 0 \\ p=2 \vee p & = -3 \\ p=2 \rightarrow {}^2 \log m & = 2 \rightarrow {}^m \log 2 = \frac{1}{2} \\ p=-3 \rightarrow {}^2 \log m & = -3 \rightarrow {}^m \log 2 = - \frac{1}{3} \\ \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ {}^m \log 8 $
$\begin{align} {}^m \log 8 & = {}^m \log 2^3 = 3. {}^m \log 2 \\ {}^m \log 2 & = \frac{1}{2} \rightarrow {}^m \log 8 = 3.{}^m \log 2 = 3.\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \\ {}^m \log 2 & = - \frac{1}{3} \rightarrow {}^m \log 8 = 3.{}^m \log 2 = 3.(- \frac{1}{3}) = -1 \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^m \log 8 \, $ adalah $ \frac{3}{2} \, $ atau -1 . $ \heartsuit $
Nomor 3
Sebuah garis menyinggung grafik $ f(x) = x^2 + 3x - 1 \, $ di titik ($2a-1,b$) dan menyinggung grafik $ g(x) = \frac{1}{3}x^3 + 4x + 1 \, $ di titik ($a,c$). Nilai $ a + b = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar gradien garis singgung
Gradien garis singgung di ($x_1,y_1$) pada kurva $ y = f(x) \, $ adalah $ m = f^\prime (x_1) $
$\clubsuit \, $ Fungsi : $ f(x) = x^2 + 3x - 1 \rightarrow f^\prime ( x ) = 2x + 3 $
gradien di titik ($2a-1,b$)
$\begin{align} m_1 & = f^\prime ( 2a-1 ) \\ & = 2.(2a-1) + 3 \\ m_1 & = 4a + 1 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Fungsi : $ g(x) = \frac{1}{3}x^3 + 4x + 1 \rightarrow g^\prime ( x ) = x^2 + 4 $
gradien di titik ($a,c$)
$\begin{align} m_2 & = g^\prime ( a) \\ m_2 & = a^2 + 4 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Karena garisnya cuma satu, maka gradien garis singgungnya sama
$\begin{align} m_2 & = m_1 \\ a^2 + 4 & = 4a + 1 \\ a^2 -4a + 3 & = 0 \\ (a-1)(a-3) & = 0 \\ a=1 \vee a & = 3 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi titik ($2a-1,b$) ke fungsi $ f(x) $
$\begin{align} (2a-1,b) \rightarrow f(x) & = x^2 + 3x - 1 \\ b & = (2a-1)^2 + 3(2a-1) - 1 \\ a = 1 \rightarrow b & = (2a-1)^2 + 3(2a-1) - 1 \\ b & = (2.1-1)^2 + 3(2.1-1) - 1 \\ b & = 1 + 3 - 1 = 3 \\ \text{sehingga } \, a+b & = 1 + 3 = 4 \\ a = 3 \rightarrow b & = (2a-1)^2 + 3(2a-1) - 1 \\ b & = (2.3-1)^2 + 3(2.3-1) - 1 \\ b & = 25 + 15 - 1 = 39 \\ \text{sehingga } \, a+b & = 3 + 39 = 42 \end{align}$
Jadi, nilai $ a + b \, $ adalah 4 atau 42. $ \heartsuit $
Nomor 4
Jika $ a = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^2-4}{2-\sqrt{x+2}} \, $ maka nilai $ 4 - a \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar
Turunan : $ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2 \sqrt{f(x)} } $
sehingga turunan dari : $ y = \sqrt{x+2} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x+2}} $
Penerapan turunan pada Limit :
$ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \, $ maka solusinya $ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f ^\prime (x)}{g^\prime (x)} \, $
sampai hasilnya tidak $ \frac{0}{0} \, $ lagi.
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} a & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^2-4}{2-\sqrt{x+2}} = \frac{0}{0} \, \, \, \, \text{(diturunkan)} \\ a & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{2x}{- \frac{1}{2\sqrt{x+2}}} \\ a & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } - 4x \sqrt{x+2} \\ a & = - 4.2 \sqrt{2+2} = -16 \end{align}$
Sehingga nilai : $ 4 - a = 4 - (-16) = 20 $
Jadi, $ 4 - a = 20 . \heartsuit $
Nomor 5
Jika matriks $ P = \left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{matrix} \right) \, $ dan $ Q = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right) \, $ serta $ P^{-1} \, $ invers matriks $ P \, $ , maka determinan untuk matriks $ QP^{-1} \, $ adalah ....
Untuk penyelesaian soal determinan ini, kita tidak perlu mencari invers dan hasil perkaliannya terlebih dahulu karena akan memakan waktu yang cukup lama, sehingga penyelesaiannya langsung menggunakan sifat-sifat determinan.
$\clubsuit \, $ Konsep Matriks
Determinan : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow \text{Det}(A) = |A| = a.d - b.c $
Sifat-sifat Determinan : $ |A.B| = |A|.|B| \, \, \, $ dan $ \, |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} $
$\clubsuit \, $ Menentukan determinan kedua matriks
$ P = \left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{matrix} \right) \rightarrow |P| = 3.2 - 4.1 = 6-4=2 $
$ Q = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right) \rightarrow |Q| = 1.3 - (-2.0) = 3-0=3 $
$\clubsuit \, $ Menentukan determinan soal dengan sifatnya
$\begin{align} |QP^{-1}| & = |Q| . |P^{-1}| \\ & = |Q| . \frac{1}{|P|} \\ & = 3 . \frac{1}{2} \\ |QP^{-1}| & = \frac{3}{2} \end{align}$
Jadi, determinan untuk matriks $ QP^{-1} \, $ adalah $ \frac{3}{2} . \heartsuit$
 
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

1 komentar: