Nomor 6
Jika $ 1 < a < 3 $ , maka semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{(3-x)(x+2)}{-x^2 + 3x - 3a } < 0 $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Nilai diskriminan (D) dari penyebutnya: $ -x^2 + 3x - 3a $
$D=b^2-4ac=(3)^2-4.(-1).(-3a)=9-12a \, , $
diperoleh $ D = 9-12a $
karena nilai $a$ terletak pada interval $ 1 < a < 3 $ , maka nilai D negatif ($D<0$).
$ -x^2 + 3x - 3a \left\{ \begin{array}{c} D < 0 \\ a = -1 < 0 \end{array} \right. $
ini artinya $ -x^2 + 3x - 3a \, $ definit negatif (nilainya akan selalu negatif untuk semua $x$), sehingga $ -x^2 + 3x - 3a \, $ bisa dicoret (tanda ketaksamaan dibalik).
$\begin{align} \frac{(3-x)(x+2)}{-x^2 + 3x - 3a } & < 0 \\ \frac{(3-x)(x+2)}{1 } & > 0 \\ x=3 \vee x & =-2 \end{align}$
Karena yang diminta $ > 0 \, $ , maka solusinya adalah $ \{ -2 < x < 3 \} \, $
Jadi, solusinya adalah $HP = \{ -2 < x < 3 \}. \heartsuit $
Catatan : jika definit positif (syarat $ D < 0 \, $ dan $ a > 0 $ ), maka tanda ketaksamaan tidak dibalik.
$D=b^2-4ac=(3)^2-4.(-1).(-3a)=9-12a \, , $
diperoleh $ D = 9-12a $
karena nilai $a$ terletak pada interval $ 1 < a < 3 $ , maka nilai D negatif ($D<0$).
$ -x^2 + 3x - 3a \left\{ \begin{array}{c} D < 0 \\ a = -1 < 0 \end{array} \right. $
ini artinya $ -x^2 + 3x - 3a \, $ definit negatif (nilainya akan selalu negatif untuk semua $x$), sehingga $ -x^2 + 3x - 3a \, $ bisa dicoret (tanda ketaksamaan dibalik).
$\begin{align} \frac{(3-x)(x+2)}{-x^2 + 3x - 3a } & < 0 \\ \frac{(3-x)(x+2)}{1 } & > 0 \\ x=3 \vee x & =-2 \end{align}$
Karena yang diminta $ > 0 \, $ , maka solusinya adalah $ \{ -2 < x < 3 \} \, $
Jadi, solusinya adalah $HP = \{ -2 < x < 3 \}. \heartsuit $
Catatan : jika definit positif (syarat $ D < 0 \, $ dan $ a > 0 $ ), maka tanda ketaksamaan tidak dibalik.
Nomor 7
Andi bekerja di toko sepatu A pada pagi hari dan di toko sepatu B pada malam hari. Setiap bulan ia memperoleh gaji dari toko A sebesar
Rp 1.0000.000,00 dan bonus 10% dari penjualan, sedangkan dari toko B ia memperoleh gaji sebesar Rp 600.000,00 dan bonus 25% dari penjualan.
Agar pendapatan Andi dari toko B dua kali pendapatannya di toko A, maka ia harus menjual sepatu dari masing-masing toko senilai .....
$\clubsuit \, $ Misalkan total penjualannya masing-masing toko sebesar $p$ rupiah.
pendapatan di toko A = 1.000.000 + 10%$p$ = 1.000.000 + 0,1$p$
pendapatan di toko B = 600.000 + 25%$p$ = 600.000 + 0,25$p$
$\clubsuit \, $ Menenyukan nilai $p$
$\begin{align} \text{pendapatan di toko B} \, &= \, 2 \, \text{kali pendapatan di toko A} \\ 600.000 + 0,25p & = 2(1.000.000 + 0,1p) \\ 600.000 + 0,25p & = 2.000.000 + 0,2p \\ 0,25p - 0,2p & = 2.000.000 - 600.000 \\ 0,05p & = 1.400.000 \\ p & = \frac{1.400.000}{0,05} = 28.000.000 \end{align}$
Artinya Andi harus menjual sepatu untuk masing-masing toko senilai Rp 28.000.000,00
Jadi, Andi harus menjual sepatu untuk masing-masing toko senilai Rp 28.000.000,00 . $\heartsuit$
pendapatan di toko A = 1.000.000 + 10%$p$ = 1.000.000 + 0,1$p$
pendapatan di toko B = 600.000 + 25%$p$ = 600.000 + 0,25$p$
$\clubsuit \, $ Menenyukan nilai $p$
$\begin{align} \text{pendapatan di toko B} \, &= \, 2 \, \text{kali pendapatan di toko A} \\ 600.000 + 0,25p & = 2(1.000.000 + 0,1p) \\ 600.000 + 0,25p & = 2.000.000 + 0,2p \\ 0,25p - 0,2p & = 2.000.000 - 600.000 \\ 0,05p & = 1.400.000 \\ p & = \frac{1.400.000}{0,05} = 28.000.000 \end{align}$
Artinya Andi harus menjual sepatu untuk masing-masing toko senilai Rp 28.000.000,00
Jadi, Andi harus menjual sepatu untuk masing-masing toko senilai Rp 28.000.000,00 . $\heartsuit$
Nomor 8
Distribusi berat bayi lahir di rumah sakit A dan B dapat dilihat pada diagram berikut,
Berat badan bayi dikatakan normal apabila berat lahirnya lebih dari 2500 gram. Banyak bayi normal yang lahir di dua rumah sakit tersebut adalah ...
Berat badan bayi dikatakan normal apabila berat lahirnya lebih dari 2500 gram. Banyak bayi normal yang lahir di dua rumah sakit tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Menghitung banyak bayi normal setiap rumah sakit :
RS A = 60 + 32 = 92
RS B = 68 + 12 = 80
$\spadesuit \, $ Sehingga total bayi normal :
Total = RS A + RS B = 92 + 80 = 172 bayi.
Jadi, banyak bayi normal ada 172 bayi. $\heartsuit$
RS A = 60 + 32 = 92
RS B = 68 + 12 = 80
$\spadesuit \, $ Sehingga total bayi normal :
Total = RS A + RS B = 92 + 80 = 172 bayi.
Jadi, banyak bayi normal ada 172 bayi. $\heartsuit$
Nomor 9
Median, rata-rata, dan selisih antara data terbesar dengan data terkecil dari data yang berupa empat bilangan asli yang telah diurutkan
mulai dari yang terkecil adalah 6. Jika modusnya tunggal, maka hasil kali data kedua dan keempat adalah .....
$\clubsuit \, $ Misalkan datanya : $a, \, b, \, c, \, d$
$\clubsuit \, $ Median = 6, $\Rightarrow \frac{b+c}{2}=6 \Rightarrow b+c=12 .$
karena modusnya tunggal, maka haruslah nilai $b=c=6 \, $ , agar ada nilai yang kembar sebagai modusnya dari keempat bilangan
$\clubsuit \, $ Rata-rata = 6, $\Rightarrow \frac{a+b+c+d}{4}=6 \Rightarrow a+d + 12=24 .$
$a+d=12 $ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Selisih data terbesar dan terkecilnya (jangkauannya) 6 .
$d-a = 6$ ...pers(ii)
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan per(ii)
$\begin{array}{cc} a+d=12 & \\ d-a = 6 & + \\ \hline 2d = 18 & \\ d = 9 & \end{array} $
pers(i) : $ a+d=12 \rightarrow a+9=12 \rightarrow a = 3 $
datanya menjadi : 3, 6, 6, 9
sehingga hasil kali data kedua dan keempat = 6 $\times$ 9 = 54
Jadi, hasil kali data kedua dan keempat adalah 54. $\heartsuit $
Catatan : beberapa kemungkinan data yang diperoleh dengan $ a = 3 \, $ , $ d = 9 \, $ , dan $ b + c = 12 $
(i). 3, 3, 9, 9 : modusnya ada dua yaitu 3 dan 9
(ii). 3, 4, 8, 9 : tidak ada modusnya
(iii). 3, 5, 7, 9 : tidak ada modusnya
(iv). 3, 6, 6, 9 : modusnya tunggal yaitu 6
tidak ada lagi kemungkinan lainnya karena bilangan harus terurut dari kecil ke besar.
$\clubsuit \, $ Median = 6, $\Rightarrow \frac{b+c}{2}=6 \Rightarrow b+c=12 .$
karena modusnya tunggal, maka haruslah nilai $b=c=6 \, $ , agar ada nilai yang kembar sebagai modusnya dari keempat bilangan
$\clubsuit \, $ Rata-rata = 6, $\Rightarrow \frac{a+b+c+d}{4}=6 \Rightarrow a+d + 12=24 .$
$a+d=12 $ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Selisih data terbesar dan terkecilnya (jangkauannya) 6 .
$d-a = 6$ ...pers(ii)
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan per(ii)
$\begin{array}{cc} a+d=12 & \\ d-a = 6 & + \\ \hline 2d = 18 & \\ d = 9 & \end{array} $
pers(i) : $ a+d=12 \rightarrow a+9=12 \rightarrow a = 3 $
datanya menjadi : 3, 6, 6, 9
sehingga hasil kali data kedua dan keempat = 6 $\times$ 9 = 54
Jadi, hasil kali data kedua dan keempat adalah 54. $\heartsuit $
Catatan : beberapa kemungkinan data yang diperoleh dengan $ a = 3 \, $ , $ d = 9 \, $ , dan $ b + c = 12 $
(i). 3, 3, 9, 9 : modusnya ada dua yaitu 3 dan 9
(ii). 3, 4, 8, 9 : tidak ada modusnya
(iii). 3, 5, 7, 9 : tidak ada modusnya
(iv). 3, 6, 6, 9 : modusnya tunggal yaitu 6
tidak ada lagi kemungkinan lainnya karena bilangan harus terurut dari kecil ke besar.
Nomor 10
Jika $f^{-1} \left( \frac{3}{x+3} \right) = \frac{2x+3}{x+3} $ , maka nilai $a \, $ agar $f(a) = 1 $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Definisi invers : $A=f(B) \Leftrightarrow f^{-1}(A) = B$
$\spadesuit \, $ Menentukan invers soal dari definisi di atas:
$ f(a) = 1 \rightarrow a = f^{-1} (1) \, $ atau $ f^{-1}(1) = a $
$\spadesuit \, $ Samakan bentuk invers dan soal yang diketahui :
$\begin{align} f^{-1} \left( \frac{3}{x+3} \right) & = \frac{2x+3}{x+3} \, \, \, \, \text{....(dari soal)} \\ f^{-1}(1) & = a \, \, \, \, \text{....(yang ditanyakan)} \\ \text{ diperoleh kesamaan : } & \frac{3}{x+3} = 1 \, \, \text{ dan } \, \, a = \frac{2x+3}{x+3} \\ \frac{3}{x+3} = 1 \rightarrow 3 & = x+3 \\ x & = 0 \\ a = \frac{2x+3}{x+3} \rightarrow a & = \frac{2.0+3}{0+3} \, \, \, \text{(substitusi } x = 0 ) \\ a & = \frac{3}{3} = 1 \end{align} $
sehingga nilai $ a = 1 \, $
Jadi, nilai $ a = 1 . \heartsuit $
$\spadesuit \, $ Menentukan invers soal dari definisi di atas:
$ f(a) = 1 \rightarrow a = f^{-1} (1) \, $ atau $ f^{-1}(1) = a $
$\spadesuit \, $ Samakan bentuk invers dan soal yang diketahui :
$\begin{align} f^{-1} \left( \frac{3}{x+3} \right) & = \frac{2x+3}{x+3} \, \, \, \, \text{....(dari soal)} \\ f^{-1}(1) & = a \, \, \, \, \text{....(yang ditanyakan)} \\ \text{ diperoleh kesamaan : } & \frac{3}{x+3} = 1 \, \, \text{ dan } \, \, a = \frac{2x+3}{x+3} \\ \frac{3}{x+3} = 1 \rightarrow 3 & = x+3 \\ x & = 0 \\ a = \frac{2x+3}{x+3} \rightarrow a & = \frac{2.0+3}{0+3} \, \, \, \text{(substitusi } x = 0 ) \\ a & = \frac{3}{3} = 1 \end{align} $
sehingga nilai $ a = 1 \, $
Jadi, nilai $ a = 1 . \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.