Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 442 tahun 2013 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Jika $ 2 < a < 3 $ , maka semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{(1-x)(x+2)}{-ax^2 + 2x - 4 } > 0 $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Nilai diskriminan (D) dari penyebutnya: $ -ax^2 + 2x - 4 $
$D=b^2-4ac=(2)^2-4.(-a).(-4)=4-16a \, , $
diperoleh $ D = 4-16a $
karena nilai $a$ terletak pada interval $ 2 < a < 3 $ , maka nilai D negatif ($D<0$).
$ -ax^2 + 2x - 4 \left\{ \begin{array}{c} D < 0 \\ -a < 0 \end{array} \right. $
ini artinya $ -ax^2 + 2x - 4 \, $ definit negatif (nilainya akan selalu negatif untuk semua $x$), sehingga $ -ax^2 + 2x - 4 \, $ bisa dicoret (tanda ketaksamaan dibalik).
$\begin{align} \frac{(1-x)(x+2)}{-ax^2 + 2x - 4 } & > 0 \\ \frac{(1-x)(x+2)}{1}& < 0 \\ x=1 \vee x & =-2 \end{align}$
sbmptn_matdas_k422_3_2013.png
Karena yang diminta $ < 0 \, $ , maka solusinya adalah $ \{ x < -2 \vee x > 1 \} \, $
Jadi, solusinya adalah $HP = \{ x < -2 \vee x > 1 \}. \heartsuit $
Catatan : jika definit positif (syarat $ D < 0 \, $ dan $ a > 0 $ ), maka tanda ketaksamaan tidak dibalik.
Nomor 7
Pada tahun 2012 perusahaan A memproduksi 3000 mobil dengan peningkatan produksi 100 mobil per tahun, sedangkan perusahaan B memproduksi 5000 mobil dengan peningkatan produksi 20 mobil per tahun. Banyak produksi mobil perusahaan A sama dengan banyak produksi mobil perusahaan B pada tahun .....
$\clubsuit \, $ Barisan aritmetika : $ u_n = a + (n-1)b $
Perusahaan A : $ a = 3000 , \, b = 100 $
$u_n(A) = 3000 + (n-1)100 $
Perusahaan B : $ a = 5000 , \, b = 20 $
$u_n(B) = 5000 + (n-1)20 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ n $
$\begin{align} \text{perusahaan A } & = \text{perusahaan B} \\ u_n(A) & = u_n(B) \\ 3000 + (n-1)100 & = 5000 + (n-1)20 \\ 3000 + 100n - 100 & = 5000 + 20n - 20 \\ 80n & = 2080 \\ n & = \frac{2080}{80} = 26 \end{align} $
$\clubsuit \, $ Analisa setiap suku
*). untuk $ n = 1 \, $ , artinya suku pertama yaitu pada tahun 2012
*). untuk $ n = 2 \, $ , artinya suku kedua yaitu pada
tahun 2012 + 2 - 1 = 2013
Sehingga untuk $ n = 26 \, $ , artinya suku ke-26 yaitu pada
tahun 2012 + 26 - 1 = 2037.
Jadi, produksinya sama pada tahun 2037 . $\heartsuit$
Nomor 8
Distribusi berat bayi lahir di rumah sakit A dan B dapat dilihat pada diagram berikut,
sbmptn_matdas_k422_1_2013.png
Berat badan bayi dikatakan normal apabila berat lahirnya lebih dari 2500 gram. Banyak bayi normal yang lahir di dua rumah sakit tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Menghitung banyak bayi normal setiap rumah sakit :
RS A = 60 + 32 = 92
RS B = 68 + 12 = 80
$\spadesuit \, $ Sehingga total bayi normal :
Total = RS A + RS B = 92 + 80 = 172 bayi.
Jadi, banyak bayi normal ada 172 bayi. $\heartsuit$
Nomor 9
Siswa-siswa kelas XI A mengikuti tes matematika dengan hasil sebagai berikut. Lima siswa memperoleh skor 100, siswa yang lain memperoleh skor minimal 60, dan rata-rata skor semua siswa adalah 75. Banyak siswa pada kelas tersebut paling sedikit adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep rata-rata gabungan : $ \overline{X}_\text{gb} = \frac{n_1.\overline{X}_1 + n_2.\overline{X}_2}{n_1+n_2} $
Keterangan :
$ n_1 \, $ = banyak kelomok pertama, $ \overline{X}_1 \, $ = rata - rata kelompok pertama,
dan $ \overline{X}_\text{gb} \, $ = rata-rata gabungan semua kelompok.
Misalkan $ m = \, $ banyaknya siswa kelas XI A.
dari soal diketahui :
$ n_1 = 5, \, \overline{X}_1 = 100, \, n_2 = (m-5) , \, \overline{X}_2 \text{(min)} = 60, $
$ \overline{X}_\text{gb} = 75 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ m $
Karena yang dipilih rata-rata kelompok dua ($\overline{X}_2$) adalah rata-rata minimal, maka rata-rata gabungan aslinya lebih besar dari rata-rata gabungan minimalnya.
$\begin{align} \overline{X}_\text{gb} & \geq \overline{X}_\text{gb} \text{(minimal)} \\ \overline{X}_\text{gb} & \geq \frac{n_1.\overline{X}_1 + n_2.\overline{X}_2 \text{(minimal)}}{n_1+n_2} \\ 75 & \geq \frac{5.100 + (m-5).60 }{5 + (m-5)} \\ 75 & \geq \frac{500 + 60m-300 }{m} \\ 75m & \geq 60m + 200 \\ 15 m & \geq 200 \\ m & \geq 13,333 \end{align}$
karena nilai $ m \geq 13,333 \, $ , maka nilai $ m \, $ terkecilnya adalah $ m = 14 $ .
Jadi, banyaknya siswa paling sedikit ada 14 siswa. $ \heartsuit $
Nomor 10
Jika $f \left( \frac{1}{x-1} \right) = \frac{x-6}{x+3} \, $ dan $ f^{-1} (a) = -1 , \, $ maka nilai $ a \, $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Konsep invers : $ A=f(B) \Leftrightarrow f^{-1}(A) = B$
sehingga : $ f^{-1} (a) = -1 \Leftrightarrow a = f(-1) \, $ atau ditulis $ f(-1)= a $
$\spadesuit \, $ Menyamakan bentuk persamaan dengan yang ditanyakan
$\begin{align} f \left( \frac{1}{x-1} \right) & = \frac{x-6}{x+3} \, \, \, \text{....(soal)} \\ f(-1) & = a \, \, \, \text{......(yang ditanyakan)} \\ \text{ diperoleh kesamaan : } & \frac{1}{x-1} = -1 \, \, \text{ dan } \, \, a = \frac{x-6}{x+3} \\ \frac{1}{x-1} = -1 \rightarrow 1 & = 1-x \\ x & = 0 \\ a = \frac{x-6}{x+3} \rightarrow a & = \frac{0-6}{0+3} \, \, \, \text{(substitusi } x = 0 ) \\ a & = \frac{-6}{3} = -2 \end{align} $
sehingga nilai $ a = -2 \, $
Jadi, nilai $ a = -2 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.