Jumat, 03 Juli 2015

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 442 tahun 2013


Nomor 1
Jika $ 8^m = 27 \, $ , maka $ 2^{m+2} + 4^m = ...$
$\clubsuit \, $ Sifat - sifat eksponen :
$a^{m+n}=a^m.a^n; \, \, \, \, (a^m)^n = a^{m.n} = (a^n)^m ; $
$ a^n = b^n \rightarrow a = b $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan persamaan
$\begin{align} 8^m & = 27 \\ (2^3)^m & = 3^3 \\ (2^m)^3 & = 3^3 \\ 2^m & = 3 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} 2^{m+2} + 4^m & = 2^m . 2^2 + (2^2)^m \\ & = 4.2^m + (2^m)^2 \\ & = 4.3 + (3)^2 \\ & = 12 + 9 \\ 2^{m+2} + 4^m & = 21 \end{align}$
Jadi, $ 2^{m+2} + 4^m = 21 . \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ {}^a \log b + {}^b \log a = 3 , \, $ maka nilai $ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 \, $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
$ p^2 + q^2 = (p+q)^2 - 2pq $
$ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $
$\spadesuit \, $ Misalkan $ p = {}^a \log b \, $ dan $ q = {}^b \log a $
$\begin{align} & {}^a \log b + {}^b \log a = 3 \\ & p + q = 3 \\ & p.q = {}^a \log b . {}^b \log a = {}^a \log a 1 \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soal
$\begin{align} \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 & = p^2 + q^2 \\ & = (p+q)^2 - 2pq \\ & = (3)^2 - 2.1 \\ & = 9 - 2 \\ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 & = 7 \end{align} $
Jadi, nilai $ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 = 7. \heartsuit $

Cara II : Langsung kuadratkan
$\spadesuit \, $ Kuadratkan kedua ruas
$\begin{align} {}^a \log b + {}^b \log a & = 3 \\ \left( {}^a \log b + {}^b \log a \right)^2 & = 3^2 \\ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 + 2.{}^a \log b . {}^b \log a & = 9 \\ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 + 2.1 & = 9 \\ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 + 2 & = 9 \\ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 & = 9 - 2 \\ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 & = 7 \end{align} $
Jadi, nilai $ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 = 7. \heartsuit $
Nomor 3
Persamaan kuadrat $ x^2 + ax - 2a^2 = 0 \, $ mempunyai akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Jika $ x_1+2x_2 = 1 , \, $ maka nilai $ a \, $ adalah .....
$\clubsuit \, $ PK : $ x^2 + ax - 2a^2 = 0 \, \rightarrow a = 1 , \, b = a , \, c = -2a^2 $
Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-a}{1} = -a \, $ ....pers(i)
Diketahui : $ x_1+2x_2 = 1 \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Eliminasi kedua persamaan
$ \begin{array}{cc} x_1+2x_2 = 1 & \\ x_1 + x_2 = - a & - \\ \hline x_2 = 1 + a & \end{array} $
$\clubsuit \, $ Substitusi $ x_2 = 1 + a \, $ ke PK
$\begin{align} x^2 + ax - 2a^2 & = 0 \\ (1+a)^2 + a.(1+a) - 2a^2 & = 0 \\ a^2 + 2a + 1 + a^2 + a - 2a^2 & = 0 \\ 3a + 1 & = 0 \\ 3a = -1 \rightarrow a & = - \frac{1}{3} \end{align}$
Jadi, nilai $ a = - \frac{1}{3} . \heartsuit $
Nomor 4
Jika grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^2+bx+c$ mempunyai titik puncak (8,4) dan memotong sumbu-X negatif, maka ...
$\spadesuit \, $ Titik puncak fungsi (8,4) , artinya puncaknya ada pada kuadran I.
$\spadesuit \, $ kurva memotong sumbu X negatif. berdasarkan dua pernyataan di atas, maka gambarnya adalah :
sbmptn_matdas_k422_2_2013.png
$\spadesuit \, $ Kurva maksimum (puncak di atas) , maka nilai $a < 0$ .
$\spadesuit \, $ Kurva memotong sumbu Y positif, artinya nilai $ c > 0 $ .
$\spadesuit \, $ Titik puncak ada di kanan sumbu Y, berarti berlaku BeKa (beda kanan) artinya tanda $a$ dan $b$ tidak sama (harus berbeda). Karena $a < 0$ , maka nilai $b$ harus $b >0 $ .
Jadi, diperoleh $a < 0 , b > 0 , c > 0. \heartsuit $
Nomor 5
Ibu mendapat potongan harga sebesar 25% dari total pembelian darang di suatu toko. Toko tersebut membebankan pajak sebesar 10% dari harga total pembelian setelah dipotong. Jika $x$ adalah harga total pembelian, maka ibu harus membayar sebesar ...
$\clubsuit \, $ Misalkan $x$ adalah total pembelian barang sebelum kena diskon dan pajak.
$\clubsuit \, $ Potongan 25%
yang harus dibayar adalah 75%$x$
$\clubsuit \, $ kena pajak 10% setelah dipotong
besar pajak = $10\% . 75\% x$
$\clubsuit \, $ Total yang harus dibayar :
$\begin{align} \text{Total} \, & = 75\% x + 10\% . 75\% x \\ & = (1+10\% ) . 75\% x \\ &= (1+0,1) . 0,75 x \\ &= (1,1). 0,75 x \end{align}$
Jadi, ibu harus membayar sebesar $(1,1\times 0,75) x. \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar