Nomor 11
Jika $ A = \left[ \begin{matrix} 2a & a \\ 4 & a \end{matrix} \right] \, $ merupakan matriks yang mempunyai invers,
maka hasil kali semua nilai $ a \, $ yang mungkin sehingga $ det(A^2) = -8 det \left( A^{-1} \right) \, $
adalah .....
$\spadesuit \, $ sifat-sifat determinan
$ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} \, $ dan $ |A^n| = |A|^n $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai determinan A
$ A = \left[ \begin{matrix} 2a & a \\ 4 & a \end{matrix} \right] $
$ det(A) = |A| = 2a.a - 4.a = 2a^2-4a $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} det(A^2) & = -8 det \left( A^{-1} \right) \\ |A^2| & = -8 | A^{-1} | \\ |A|^2 & = -8 . \frac{1}{|A|} \\ |A|^3 & = -8 \\ |A| & = -2 \\ 2a^2-4a & = -2 \\ 2a^2-4a + 2 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ a^2 - 2a + 1 & = 0 \\ (a-1)(a-1) & = 0 \\ a_1=1 \vee a_2 & = 1 \end{align}$
hasil kali nilai $ a \, $ adalah $ a_1.a_2 = 1.1 =1 $
atau gunakan operasi akar-akar :
$ a^2 - 2a + 1 = 0 \rightarrow a_1.a_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1 $
Jadi, hasil kali semua nilai $ a \, $ adalah 1. $ \heartsuit $
$ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} \, $ dan $ |A^n| = |A|^n $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai determinan A
$ A = \left[ \begin{matrix} 2a & a \\ 4 & a \end{matrix} \right] $
$ det(A) = |A| = 2a.a - 4.a = 2a^2-4a $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} det(A^2) & = -8 det \left( A^{-1} \right) \\ |A^2| & = -8 | A^{-1} | \\ |A|^2 & = -8 . \frac{1}{|A|} \\ |A|^3 & = -8 \\ |A| & = -2 \\ 2a^2-4a & = -2 \\ 2a^2-4a + 2 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ a^2 - 2a + 1 & = 0 \\ (a-1)(a-1) & = 0 \\ a_1=1 \vee a_2 & = 1 \end{align}$
hasil kali nilai $ a \, $ adalah $ a_1.a_2 = 1.1 =1 $
atau gunakan operasi akar-akar :
$ a^2 - 2a + 1 = 0 \rightarrow a_1.a_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1 $
Jadi, hasil kali semua nilai $ a \, $ adalah 1. $ \heartsuit $
Nomor 12
Jika semua akar persamaan $ x^2 + 7x + t = 0 \, $ merupakan bilangan bulat negatif, maka jumlah semua nilai $ t \, $
yang mungkin adalah ....
$\clubsuit \, $ Persamaan kuadrat : $ x^2 + 7x + t = 0 $
$ a = 1, \, b = 7 , \, $ dan $ c = t \, $ dengan akar-akar bulat negatif
$\clubsuit \, $ Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-7}{1} = -7 \, $ ....pers(i)
$ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} = \frac{qt}{1} = t \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ t \, $ dari pers(i) dan pers(ii) dengan $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ bilangan bulat negatif.
$ x_1 + x_2 = -7 \, $ dan $ x_1.x_2 = t $
*). $ x_1 = -1, \, x_2 = -6 \rightarrow q = x_1.x_2 = -1.-6 = 6 $
*). $ x_1 = -2, \, x_2 = -5 \rightarrow q = x_1.x_2 = -2.-5 = 10 $
*). $ x_1 = -3, \, x_2 = -4 \rightarrow q = x_1.x_2 = -3.-4 = 12 $
Sehingga jumlah semua nilai $ t \, $ yang mungkin :
Jumlah = 6 + 10 + 12 = 28.
Jadi, jumlah semua nilai $ t \, $ adalah 28. $ \heartsuit $
$ a = 1, \, b = 7 , \, $ dan $ c = t \, $ dengan akar-akar bulat negatif
$\clubsuit \, $ Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-7}{1} = -7 \, $ ....pers(i)
$ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} = \frac{qt}{1} = t \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ t \, $ dari pers(i) dan pers(ii) dengan $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ bilangan bulat negatif.
$ x_1 + x_2 = -7 \, $ dan $ x_1.x_2 = t $
*). $ x_1 = -1, \, x_2 = -6 \rightarrow q = x_1.x_2 = -1.-6 = 6 $
*). $ x_1 = -2, \, x_2 = -5 \rightarrow q = x_1.x_2 = -2.-5 = 10 $
*). $ x_1 = -3, \, x_2 = -4 \rightarrow q = x_1.x_2 = -3.-4 = 12 $
Sehingga jumlah semua nilai $ t \, $ yang mungkin :
Jumlah = 6 + 10 + 12 = 28.
Jadi, jumlah semua nilai $ t \, $ adalah 28. $ \heartsuit $
Nomor 13
Jika garis $ x - 2y = 3 \, $ tidak memotong maupun menyinggung kurva $ y = x^2 + ax - \frac{15}{16} , \, $ maka ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar hubungan garis dan parabola
Syarat garis dan parabola tidak berpotongan maupun menyinggung : $ D < 0 $ . dengan $ D \, $ adalah nilai Diskriminan , rumus : $ D = b^2-4ac $
$\spadesuit \, $ Substitusi parabola ke garis
$\begin{align} x-2y & = 3 \\ x-2(x^2 + ax - \frac{15}{16}) & = 3 \\ x-2x^2 - 2ax + \frac{15}{8}) & = 3 \, \, \, \, \text{(kali -8)} \\ -8x + 16x^2 + 16ax - 15 & = -24 \\ 16x^2 +8(2a-1)x + 9 & = 0 \\ a = 16, \, b = 8(2a-1), \, c & = 9 \\ \text{ Syarat : } D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ [8(2a-1)]^2 - 4.16.9 & < 0 \\ 64(4a^2 - 4a + 1) - 64.9 & < 0 \, \, \, \, \text{(bagi 64)} \\ (4a^2 - 4a + 1) - 9 & < 0 \\ 4a^2 - 4a - 8 & < 0 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ a^2 - a - 2 & < 0 \\ (a+1)(a-2) & < 0 \\ a = -1 \vee a & = 2 \end{align}$
Jadi, garis dan parabola tidak berpotongan maupun meninggung ketika $ \{ -1 < a < 2 \} . \heartsuit $
Syarat garis dan parabola tidak berpotongan maupun menyinggung : $ D < 0 $ . dengan $ D \, $ adalah nilai Diskriminan , rumus : $ D = b^2-4ac $
$\spadesuit \, $ Substitusi parabola ke garis
$\begin{align} x-2y & = 3 \\ x-2(x^2 + ax - \frac{15}{16}) & = 3 \\ x-2x^2 - 2ax + \frac{15}{8}) & = 3 \, \, \, \, \text{(kali -8)} \\ -8x + 16x^2 + 16ax - 15 & = -24 \\ 16x^2 +8(2a-1)x + 9 & = 0 \\ a = 16, \, b = 8(2a-1), \, c & = 9 \\ \text{ Syarat : } D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ [8(2a-1)]^2 - 4.16.9 & < 0 \\ 64(4a^2 - 4a + 1) - 64.9 & < 0 \, \, \, \, \text{(bagi 64)} \\ (4a^2 - 4a + 1) - 9 & < 0 \\ 4a^2 - 4a - 8 & < 0 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ a^2 - a - 2 & < 0 \\ (a+1)(a-2) & < 0 \\ a = -1 \vee a & = 2 \end{align}$
Jadi, garis dan parabola tidak berpotongan maupun meninggung ketika $ \{ -1 < a < 2 \} . \heartsuit $
Nomor 14
Diketahui rata-rata dari 9 nilai pengamatan sama dengan dua kali mediannya. Jika jumlah nilai pengamatan yang lebih kecil daripada median
adalah 106 dan jumlah nilai pengamatan yang lebih besar daripada median adalah 200, maka rata-rata dari 9 nilai pengamatan tersebut adalah ....
$\clubsuit \,$ Konsep rata-rata $ (\overline{X}) $
$ \overline{X} = \frac{\text{jumlah semua data}}{\text{banyak data}} $
$\clubsuit \, $ Misalkan datanya : $ a_1, a_2, a_3,a_4, x, b_1, b_2, b_3, b_4 $
dengan $ x \, $ sebagai nilai median dan
$ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 106 \, $ serta $ b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 200 $
$\begin{align} \overline{X} & = \frac{\text{jumlah semua data}}{\text{banyak data}} \\ \overline{X} & = \frac{(a_1+a_2+a_3+a_4)+x+(b_1+b_2+b_3+b_4)}{9} \\ \overline{X} & = \frac{(106)+x+(200)}{9} \\ \overline{X} & = \frac{306+x}{9} \end{align} $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} \text{rata-rata } & = 2 \times \text{ median} \\ \overline{X} & = 2x \\ \frac{306+x}{9} & = 2x \\ 306 + x & = 18x \\ 17x & = 306 \\ x & = \frac{306}{17} = 18 \end{align} $
Sehingga nilai rata-ratanya : $ \overline{X} = 2x = 2. 18 = 36 $
Jadi, rata-ratanya adalah 36. $ \heartsuit $
$ \overline{X} = \frac{\text{jumlah semua data}}{\text{banyak data}} $
$\clubsuit \, $ Misalkan datanya : $ a_1, a_2, a_3,a_4, x, b_1, b_2, b_3, b_4 $
dengan $ x \, $ sebagai nilai median dan
$ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 106 \, $ serta $ b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 200 $
$\begin{align} \overline{X} & = \frac{\text{jumlah semua data}}{\text{banyak data}} \\ \overline{X} & = \frac{(a_1+a_2+a_3+a_4)+x+(b_1+b_2+b_3+b_4)}{9} \\ \overline{X} & = \frac{(106)+x+(200)}{9} \\ \overline{X} & = \frac{306+x}{9} \end{align} $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} \text{rata-rata } & = 2 \times \text{ median} \\ \overline{X} & = 2x \\ \frac{306+x}{9} & = 2x \\ 306 + x & = 18x \\ 17x & = 306 \\ x & = \frac{306}{17} = 18 \end{align} $
Sehingga nilai rata-ratanya : $ \overline{X} = 2x = 2. 18 = 36 $
Jadi, rata-ratanya adalah 36. $ \heartsuit $
Nomor 15
Empat buku berjudul Kombinatorik dan dua buku berjudul Statistika akan disusun di lemari buku dalam satu baris. Misalkan
C adalah kejadian susunan buku sehingga terdapat tiga atau lebih buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan. Jika
buku dengan judul yang sama tidak dibedakan, maka peluang kejadian C adalah ....
$\spadesuit \, $ Pada kasus ini menggunakan Permutasi Berulang.
Misalkan kata "BAHAGIA" akan disusun ulang, maka banyaknya kata baru (tidak harus bermakna) yang diperoleh adalah $\frac{\text{total huruf}}{\text{huruf yang sama}} = \frac{7!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \, $ kata, di sini huruf yang sama hanya huruf A sebanyak 3.
Contoh lain, kata "MATEMATIKA" disusun ulang, kata baru sebanyak $ \frac{10!}{2!\times 3! \times 2!} \, $ kata (total huruf = 10, yang sama : M = 2, A = 3, T = 2).
$\spadesuit \, $ Konsep peluang komplemen
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} \, $ dan $ P(A^c) = 1 - P(A) $
$ P(A^c) \, $ adalah komplemen(kebalikan) dari peluang $ P(A) $
pada soal ini kita misalkan :
$ A = \, $ kejadian tidak terdapat tiga atau lebih buku tersusun berurutan.
$ A^c = \, $ kejadian terdapat tiga atau lebih buku tersusun berurutan.
$\spadesuit \, $ Misal : K = Kombinatorik dan S = Statistika
Ada 4M 2S , artinya $ n(S) = \frac{6!}{4!.21} = 3.5 = 15 $
$ n(S) \, $ adalah ruang sampel (semua susunan yang mungkin)
$\spadesuit \, $ Menentukan $ n(A) \, $
Agar tidak terdapat tiga atau lebih buku yang sama tersusun berurutan, kita kelompokkan menjadi lima bagian dengan tiga kemungkinan, yaitu :
*). Kemungkinan I :
KI = $ \frac{3!}{2!} = 3 \, $ susunan : KKSSKK, KKSKSK, KKSKKS
*). Kemungkinan II :
ada $ \frac{3!}{2!} = 3 \, $ susunan : KKSSKK, KSKSKK, SKKSKK
hanya saja ada satu susunan buku (KKSSKK) sudah ada pada kemungkinan I,
sehingga, KII = 3 - 1 = 2 susunan
*). Kemungkinan III , 2K ada ditengah yaitu : KSKKSK
diperoleh KIII = 1 susunan
Sehingga semua kemungkinan kejadian A :
$ n(A) = KI + KII + KIII = 3 + 2 + 1 = 6 $
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} $
$\spadesuit \, $ Menentukan peluang [$ P(A^c) $ ]
$ \begin{align} P(A^c) & = 1 - P(A) \\ & = 1 - \frac{2}{5} \\ & = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \end{align} $
Jadi, peluang terdapat tiga atau lebih buku yang sama tersusun berurutan adalah $ \frac{3}{5}. \heartsuit $
Keterangan kemungkinan yang ada :
Kemungkinan I :
*). Kita bagi menjadi 5 kelompok yaitu 2K, S, S, K, dan K dengan 2K dan S posisinya pasti tetap di depan.
*). Tiga kelompok terakhir (S, K, K) kita acak posisinya dengan banyak susunan $ \frac{3!}{2!} = 3 \, $ cara.
Sehingga semua susunan kemungkinan I ada $ \frac{3!}{2!} = 3 \, $ cara yaitu KKSSKK, KKSKSK dan KKSKKS
Hal yang sama juga untuk kemungkinan II, hanya saja S dan 2K posisinya tetap dibelakang.
Misalkan kata "BAHAGIA" akan disusun ulang, maka banyaknya kata baru (tidak harus bermakna) yang diperoleh adalah $\frac{\text{total huruf}}{\text{huruf yang sama}} = \frac{7!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \, $ kata, di sini huruf yang sama hanya huruf A sebanyak 3.
Contoh lain, kata "MATEMATIKA" disusun ulang, kata baru sebanyak $ \frac{10!}{2!\times 3! \times 2!} \, $ kata (total huruf = 10, yang sama : M = 2, A = 3, T = 2).
$\spadesuit \, $ Konsep peluang komplemen
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} \, $ dan $ P(A^c) = 1 - P(A) $
$ P(A^c) \, $ adalah komplemen(kebalikan) dari peluang $ P(A) $
pada soal ini kita misalkan :
$ A = \, $ kejadian tidak terdapat tiga atau lebih buku tersusun berurutan.
$ A^c = \, $ kejadian terdapat tiga atau lebih buku tersusun berurutan.
$\spadesuit \, $ Misal : K = Kombinatorik dan S = Statistika
Ada 4M 2S , artinya $ n(S) = \frac{6!}{4!.21} = 3.5 = 15 $
$ n(S) \, $ adalah ruang sampel (semua susunan yang mungkin)
$\spadesuit \, $ Menentukan $ n(A) \, $
Agar tidak terdapat tiga atau lebih buku yang sama tersusun berurutan, kita kelompokkan menjadi lima bagian dengan tiga kemungkinan, yaitu :
*). Kemungkinan I :
KI = $ \frac{3!}{2!} = 3 \, $ susunan : KKSSKK, KKSKSK, KKSKKS
*). Kemungkinan II :
ada $ \frac{3!}{2!} = 3 \, $ susunan : KKSSKK, KSKSKK, SKKSKK
hanya saja ada satu susunan buku (KKSSKK) sudah ada pada kemungkinan I,
sehingga, KII = 3 - 1 = 2 susunan
*). Kemungkinan III , 2K ada ditengah yaitu : KSKKSK
diperoleh KIII = 1 susunan
Sehingga semua kemungkinan kejadian A :
$ n(A) = KI + KII + KIII = 3 + 2 + 1 = 6 $
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} $
$\spadesuit \, $ Menentukan peluang [$ P(A^c) $ ]
$ \begin{align} P(A^c) & = 1 - P(A) \\ & = 1 - \frac{2}{5} \\ & = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \end{align} $
Jadi, peluang terdapat tiga atau lebih buku yang sama tersusun berurutan adalah $ \frac{3}{5}. \heartsuit $
Keterangan kemungkinan yang ada :
Kemungkinan I :
*). Kita bagi menjadi 5 kelompok yaitu 2K, S, S, K, dan K dengan 2K dan S posisinya pasti tetap di depan.
*). Tiga kelompok terakhir (S, K, K) kita acak posisinya dengan banyak susunan $ \frac{3!}{2!} = 3 \, $ cara.
Sehingga semua susunan kemungkinan I ada $ \frac{3!}{2!} = 3 \, $ cara yaitu KKSSKK, KKSKSK dan KKSKKS
Hal yang sama juga untuk kemungkinan II, hanya saja S dan 2K posisinya tetap dibelakang.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.