Nomor 11
Jika $ A = \left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ a & 4 \end{matrix} \right] \, $
merupakan matriks yang mempunyai invers dan $ det(B) = 4 , \, $ maka hasil kali semua nilai $ a \, $ yang mungkin sehingga
$ det(A) = 16 det \left( (AB)^{-1} \right) \, $
adalah .....
$\spadesuit \, $ sifat-sifat determinan
$ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} \, $ dan $ |A.B | = |A|.|B| $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai determinan A
$ A = \left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ a & 4 \end{matrix} \right] $
$ det(A) = |A| = 2.4 - a.1 = 8 - a $
Diketahui juga : $ det(B) = |B| = 4 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} det(A) & = 16 det \left( (AB)^{-1} \right) \\ |A| & = 16 | (AB)^{-1} | \\ |A| & = 16 . \frac{1}{|AB|} \\ |A| & = \frac{16}{|A|.|B|} \\ |A|^2 & = \frac{16}{|B|} \\ (8-a)^2 & = \frac{16}{4} \\ (8-a)^2 & = 4 \\ 64-16a + a^2 & = 4 \\ a^2 -16a + 60 & = 0 \\ (a-6)(a-10) & = 0 \\ a_1=6 \vee a_2 & = 10 \end{align}$
hasil kali nilai $ a \, $ adalah $ a_1.a_2 = 6.10 = 60 $
atau gunakan operasi akar-akar :
$ a^2 -16a + 60 = 0 \rightarrow a_1.a_2 = \frac{c}{a} = \frac{60}{1} = 60 $
Jadi, hasil kali semua nilai $ a \, $ adalah 60. $ \heartsuit $
$ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} \, $ dan $ |A.B | = |A|.|B| $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai determinan A
$ A = \left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ a & 4 \end{matrix} \right] $
$ det(A) = |A| = 2.4 - a.1 = 8 - a $
Diketahui juga : $ det(B) = |B| = 4 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} det(A) & = 16 det \left( (AB)^{-1} \right) \\ |A| & = 16 | (AB)^{-1} | \\ |A| & = 16 . \frac{1}{|AB|} \\ |A| & = \frac{16}{|A|.|B|} \\ |A|^2 & = \frac{16}{|B|} \\ (8-a)^2 & = \frac{16}{4} \\ (8-a)^2 & = 4 \\ 64-16a + a^2 & = 4 \\ a^2 -16a + 60 & = 0 \\ (a-6)(a-10) & = 0 \\ a_1=6 \vee a_2 & = 10 \end{align}$
hasil kali nilai $ a \, $ adalah $ a_1.a_2 = 6.10 = 60 $
atau gunakan operasi akar-akar :
$ a^2 -16a + 60 = 0 \rightarrow a_1.a_2 = \frac{c}{a} = \frac{60}{1} = 60 $
Jadi, hasil kali semua nilai $ a \, $ adalah 60. $ \heartsuit $
Nomor 12
Jika semua akar persamaan $ x^2 - px + 12 = 0 \, $ merupakan bilangan bulat positif, maka jumlah semua nilai $ p \, $
yang mungkin adalah .....
$\clubsuit \, $ Persamaan kuadrat : $ x^2 - px + 12 = 0 $
$ a = 1, \, b = -p , \, $ dan $ c = 12 $
$\clubsuit \, $ Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-p)}{1} = p \, $ ....pers(i)
$ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} = \frac{12}{1} = 12 \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ p \, $ dari pers(i) dan pers(ii) dengan $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ bilangan bulat positif.
$ x_1 + x_2 = p \, $ dan $ x_1.x_2 = 12 $
*). $ x_1 = 1, \, x_2 = 12 \rightarrow p = x_1+x_2 = 1+12 = 13 $
*). $ x_1 = 2, \, x_2 = 6 \rightarrow p = x_1+x_2 = 2+6 = 8 $
*). $ x_1 = 3, \, x_2 = 4 \rightarrow p = x_1+x_2 = 3+4 = 7 $
Sehingga jumlah semua nilai $ p \, $ yang mungkin :
Jumlah = 13 + 8 + 7 = 28.
Jadi, jumlah semua nilai $ p \, $ adalah 28. $ \heartsuit $
$ a = 1, \, b = -p , \, $ dan $ c = 12 $
$\clubsuit \, $ Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-p)}{1} = p \, $ ....pers(i)
$ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} = \frac{12}{1} = 12 \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ p \, $ dari pers(i) dan pers(ii) dengan $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ bilangan bulat positif.
$ x_1 + x_2 = p \, $ dan $ x_1.x_2 = 12 $
*). $ x_1 = 1, \, x_2 = 12 \rightarrow p = x_1+x_2 = 1+12 = 13 $
*). $ x_1 = 2, \, x_2 = 6 \rightarrow p = x_1+x_2 = 2+6 = 8 $
*). $ x_1 = 3, \, x_2 = 4 \rightarrow p = x_1+x_2 = 3+4 = 7 $
Sehingga jumlah semua nilai $ p \, $ yang mungkin :
Jumlah = 13 + 8 + 7 = 28.
Jadi, jumlah semua nilai $ p \, $ adalah 28. $ \heartsuit $
Nomor 13
Jika garis $ g \, $ sejajar dengan garis $ y = 2 + x \, $ dan menyinggung kurva $ y = x^2-3x+3 , \, $ maka garis $ g \, $
memotong sumbu-Y di titik ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar
*). garis $ y = ax+b \rightarrow \, $ gradiennya : $ m = a $
*). dua garis sejajar, maka gradiennya sama.
*). Persamaan garis singgung (PGS) di titik $(x_1,y_1)\, $ dan menyinggung kurva $ y = f(x) \, $ , persamaannya : $ y-y_1 = m(x-x_1) \, $ dengan gradien $ m = f^\prime (x) $
$\spadesuit \, $ Garis $ g \, $ sejajar dengan garis $ y = 2 + x, \, $ artinya gradiennya sama
$ y = x + 2 \rightarrow m_g = 1 $
$\spadesuit \, $ garis $ g \, $ menyinggung kurva $ y = x^2 - 3x + 3, \, $ sehingga gradiennya : $ m_g = f^\prime (x) $
$\begin{align} m_g & = f^\prime (x) \\ 1 & = 2x - 3 \\ x & = 2 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi $ x = 2 \, $ ke kurva untuk menentukan titik singgungnya
$\begin{align} x = 2 \rightarrow y & = x^2 - 3x + 3 \\ y & = 2^2 - 3.2 + 3 \\ y & = 1 \end{align}$
titik singgungnya : $ (x_1,y_1) = (2,1) $
$\spadesuit \, $ Menentukan PGS nya
$\begin{align} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-1 & = 1(x-2) \\ y & = x - 1 \end{align}$
sehingga garis $ g \, \, : y = x - 1 $
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong garis $ g \, $ pada sumbu Y dengan substitusi $ x = 0 $
$\begin{align} x = 0 \rightarrow y & = x - 1 \\ y & = 0 -1 = -1 \end{align}$
Jadi, garis $ g \, $ memeotong sumbu Y di titik $ (0, -1). \heartsuit $
*). garis $ y = ax+b \rightarrow \, $ gradiennya : $ m = a $
*). dua garis sejajar, maka gradiennya sama.
*). Persamaan garis singgung (PGS) di titik $(x_1,y_1)\, $ dan menyinggung kurva $ y = f(x) \, $ , persamaannya : $ y-y_1 = m(x-x_1) \, $ dengan gradien $ m = f^\prime (x) $
$\spadesuit \, $ Garis $ g \, $ sejajar dengan garis $ y = 2 + x, \, $ artinya gradiennya sama
$ y = x + 2 \rightarrow m_g = 1 $
$\spadesuit \, $ garis $ g \, $ menyinggung kurva $ y = x^2 - 3x + 3, \, $ sehingga gradiennya : $ m_g = f^\prime (x) $
$\begin{align} m_g & = f^\prime (x) \\ 1 & = 2x - 3 \\ x & = 2 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi $ x = 2 \, $ ke kurva untuk menentukan titik singgungnya
$\begin{align} x = 2 \rightarrow y & = x^2 - 3x + 3 \\ y & = 2^2 - 3.2 + 3 \\ y & = 1 \end{align}$
titik singgungnya : $ (x_1,y_1) = (2,1) $
$\spadesuit \, $ Menentukan PGS nya
$\begin{align} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-1 & = 1(x-2) \\ y & = x - 1 \end{align}$
sehingga garis $ g \, \, : y = x - 1 $
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong garis $ g \, $ pada sumbu Y dengan substitusi $ x = 0 $
$\begin{align} x = 0 \rightarrow y & = x - 1 \\ y & = 0 -1 = -1 \end{align}$
Jadi, garis $ g \, $ memeotong sumbu Y di titik $ (0, -1). \heartsuit $
Nomor 14
Diketahui median dari 11 nilai pengamatan adalah 10, sedangkan rata-rata dari nilai pengamatan yang lebih kecil daripada median
adalah 4. Jika rata-rata dari 11 nilai pengamatan tersebut sama dengan dua kali median, maka rata-rata nilai pengamatan yang lebih besar
daripada median adalah ....
$\clubsuit \,$ Konsep rata-rata gabungan $(\overline{X}_{gb}) $
$ \begin{align} \overline{X}_{gb} = \frac{n_1\overline{X}_1 + n_2\overline{X}_2 + n_3\overline{X}_3}{n_1 + n_2 + n_3} \end{align} $
Keterangan :
$ \overline{X}_{gb} = \, $ rata - rata gabungan
$ \overline{X}_{1} = \, $ rata - rata kelompok I
$ n_1 = \, $ banyak anggota kelompok I
$\clubsuit \, $ Data dibagi menjadi tiga kelompok
*). Kelompok I : data sebelum median ada 5 data dengan rata-rata 4, artinya $ n_1 = 5 \, $ dan $ \overline{X}_1 = 4 $
*). Kelompok II : mediannya itu sendiri, ada 1 data dengan nilai 10, artinya $ n_2 = 1 \, $ dan $ \overline{X}_2 = 10 $
*). Kelompok III : data setelah median ada 5 data dengan rata-rata misalkan $ a $ , artinya $ n_3 = 5 \, $ dan $ \overline{X}_3 = a $
*). rata-rata gabungan = dua kali median
$ \overline{X}_{gb} = 2 \times 10 = 20 $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} \overline{X}_{gb} & = \frac{n_1\overline{X}_1 + n_2\overline{X}_2 + n_3\overline{X}_3}{n_1 + n_2 + n_3} \\ 20 & = \frac{5.4 + 1.10 + 5.a}{5 + 1 + 5} \\ 20 & = \frac{20 + 10 + 5a}{11} \\ 220 & = 30 + 5a \\ 5a & = 190 \\ a & = 38 \end{align} $
Jadi, rata-rata nilai pengamatan lebih besar daripada median adalah 38. $ \heartsuit $
$ \begin{align} \overline{X}_{gb} = \frac{n_1\overline{X}_1 + n_2\overline{X}_2 + n_3\overline{X}_3}{n_1 + n_2 + n_3} \end{align} $
Keterangan :
$ \overline{X}_{gb} = \, $ rata - rata gabungan
$ \overline{X}_{1} = \, $ rata - rata kelompok I
$ n_1 = \, $ banyak anggota kelompok I
$\clubsuit \, $ Data dibagi menjadi tiga kelompok
*). Kelompok I : data sebelum median ada 5 data dengan rata-rata 4, artinya $ n_1 = 5 \, $ dan $ \overline{X}_1 = 4 $
*). Kelompok II : mediannya itu sendiri, ada 1 data dengan nilai 10, artinya $ n_2 = 1 \, $ dan $ \overline{X}_2 = 10 $
*). Kelompok III : data setelah median ada 5 data dengan rata-rata misalkan $ a $ , artinya $ n_3 = 5 \, $ dan $ \overline{X}_3 = a $
*). rata-rata gabungan = dua kali median
$ \overline{X}_{gb} = 2 \times 10 = 20 $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} \overline{X}_{gb} & = \frac{n_1\overline{X}_1 + n_2\overline{X}_2 + n_3\overline{X}_3}{n_1 + n_2 + n_3} \\ 20 & = \frac{5.4 + 1.10 + 5.a}{5 + 1 + 5} \\ 20 & = \frac{20 + 10 + 5a}{11} \\ 220 & = 30 + 5a \\ 5a & = 190 \\ a & = 38 \end{align} $
Jadi, rata-rata nilai pengamatan lebih besar daripada median adalah 38. $ \heartsuit $
Nomor 15
Empat buku berjudul Matematika dan dua buku berjudul Biologi akan disusun dilemari buku dalam satu baris. Misalkan A adalah
kejadian susunan buku sehingga tidak ada tiga atau lebih buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan. Jika buku dengan judul
yang sama tidak dibedakan, maka peluang kejadian A adalah ....
$\spadesuit \, $ Pada kasus ini menggunakan Permutasi Berulang.
Misalkan kata "BAHAGIA" akan disusun ulang, maka banyaknya kata baru (tidak harus bermakna) yang diperoleh adalah $\frac{\text{total huruf}}{\text{huruf yang sama}} = \frac{7!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \, $ kata, di sini huruf yang sama hanya huruf A sebanyak 3.
Contoh lain, kata "MATEMATIKA" disusun ulang, kata baru sebanyak $ \frac{10!}{2!\times 3! \times 2!} \, $ kata (total huruf = 10, yang sama : M = 2, A = 3, T = 2).
$\spadesuit \, $ Konsep peluang
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} \, $
pada soal ini kita misalkan :
$ A = \, $ kejadian tidak terdapat tiga atau lebih buku tersusun berurutan.
$\spadesuit \, $ Misal : M = Matematika dan B = Biologi
Ada 4M 2B , artinya $ n(S) = \frac{6!}{4!.21} = 3.5 = 15 $
$ n(S) \, $ adalah ruang sampel (semua susunan yang mungkin)
$\spadesuit \, $ Menentukan $ n(A) \, $
Agar tidak terdapat tiga atau lebih buku yang sama tersusun berurutan, kita kelompokkan menjadi lima bagian dengan tiga kemungkinan, yaitu :
*). Kemungkinan I :
KI = $ \frac{3!}{2!} = 3 \, $ susunan : MMBBMM, MMBMBM, MMBMMB
*). Kemungkinan II :
ada $ \frac{3!}{2!} = 3 \, $ susunan : MMBBMM, MBMBMM, BMMBMM
hanya saja ada satu susunan buku (MMBBMM) sudah ada pada kemungkinan I,
sehingga, KII = 3 - 1 = 2 susunan
*). Kemungkinan III , 2M ada ditengah yaitu : MBMMBM
diperoleh KIII = 1 susunan
Sehingga semua kemungkinan kejadian A :
$ n(A) = KI + KII + KIII = 3 + 2 + 1 = 6 $
$\spadesuit \, $ Menentukan peluangnya
$ \begin{align} P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \end{align} $
Jadi, peluang tidak terdapat tiga atau lebih buku yang sama tersusun berurutan adalah $ \frac{2}{5}. \heartsuit $
Keterangan kemungkinan yang ada :
Kemungkinan I :
*). Kita bagi menjadi 5 kelompok yaitu 2M, B, B, M, dan M dengan 2M dan B posisinya pasti tetap di depan.
*). Tiga kelompok terakhir (B, M, M) kita acak posisinya dengan banyak susunan $ \frac{3!}{2!} = 3 \, $ cara.
Sehingga semua susunan kemungkinan I ada $ \frac{3!}{2!} = 3 \, $ cara yaitu MMBBMM, MMBMBM, dan MMBMMB
Hal yang sama juga untuk kemungkinan II, hanya saja B dan 2M posisinya tetap dibelakang.
Misalkan kata "BAHAGIA" akan disusun ulang, maka banyaknya kata baru (tidak harus bermakna) yang diperoleh adalah $\frac{\text{total huruf}}{\text{huruf yang sama}} = \frac{7!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \, $ kata, di sini huruf yang sama hanya huruf A sebanyak 3.
Contoh lain, kata "MATEMATIKA" disusun ulang, kata baru sebanyak $ \frac{10!}{2!\times 3! \times 2!} \, $ kata (total huruf = 10, yang sama : M = 2, A = 3, T = 2).
$\spadesuit \, $ Konsep peluang
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} \, $
pada soal ini kita misalkan :
$ A = \, $ kejadian tidak terdapat tiga atau lebih buku tersusun berurutan.
$\spadesuit \, $ Misal : M = Matematika dan B = Biologi
Ada 4M 2B , artinya $ n(S) = \frac{6!}{4!.21} = 3.5 = 15 $
$ n(S) \, $ adalah ruang sampel (semua susunan yang mungkin)
$\spadesuit \, $ Menentukan $ n(A) \, $
Agar tidak terdapat tiga atau lebih buku yang sama tersusun berurutan, kita kelompokkan menjadi lima bagian dengan tiga kemungkinan, yaitu :
*). Kemungkinan I :
KI = $ \frac{3!}{2!} = 3 \, $ susunan : MMBBMM, MMBMBM, MMBMMB
*). Kemungkinan II :
ada $ \frac{3!}{2!} = 3 \, $ susunan : MMBBMM, MBMBMM, BMMBMM
hanya saja ada satu susunan buku (MMBBMM) sudah ada pada kemungkinan I,
sehingga, KII = 3 - 1 = 2 susunan
*). Kemungkinan III , 2M ada ditengah yaitu : MBMMBM
diperoleh KIII = 1 susunan
Sehingga semua kemungkinan kejadian A :
$ n(A) = KI + KII + KIII = 3 + 2 + 1 = 6 $
$\spadesuit \, $ Menentukan peluangnya
$ \begin{align} P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \end{align} $
Jadi, peluang tidak terdapat tiga atau lebih buku yang sama tersusun berurutan adalah $ \frac{2}{5}. \heartsuit $
Keterangan kemungkinan yang ada :
Kemungkinan I :
*). Kita bagi menjadi 5 kelompok yaitu 2M, B, B, M, dan M dengan 2M dan B posisinya pasti tetap di depan.
*). Tiga kelompok terakhir (B, M, M) kita acak posisinya dengan banyak susunan $ \frac{3!}{2!} = 3 \, $ cara.
Sehingga semua susunan kemungkinan I ada $ \frac{3!}{2!} = 3 \, $ cara yaitu MMBBMM, MMBMBM, dan MMBMMB
Hal yang sama juga untuk kemungkinan II, hanya saja B dan 2M posisinya tetap dibelakang.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.