Jumat, 30 Oktober 2015

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 517 tahun 2015 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Suku banyak $ p(x) = (x-a)^7 + (x-b)^6 + (x-3) \, $ habis dibagi oleh $ x^2 - (a+b)x + ab. \, $ Jika $ a \neq b, \, a \neq 4, \, $ maka $ b = .... $
$\spadesuit \, $ Kosep teorema sisa
*). Pembagian
$ \frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} \text{sisa } = P(a) \\ \text{sisa } = P(b) \end{array} \right. $
artinya substitusi semua akar pembaginya maka diperoleh sisanya.
*). Habis dibagi, artinya sisanya nol.
$\spadesuit \, P(x) \, $ dibagi $ x^2 - (a+b)x + ab \, $
dengan $ p(x) = (x-a)^7 + (x-b)^6 + (x-3) $
*). Bentuk $ x^2 - (a+b)x + ab = (x-a)(x-b) $
$ \frac{P(x)}{x^2 - (a+b)x + ab} = \frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} \text{sisa } = P(a) \\ \text{sisa } = P(b) \end{array} \right. $
Karena habis dibagi, maka sisanya nol.
*). Persamaan pertama :
$\begin{align} \text{sisa } & = P(a) \\ 0 & = (a-a)^7 + (a-b)^6 + (a-3) \\ 0 & = 0^7 + (a-b)^6 + (a-3) \\ (a-b)^6 & = 3 - a \\ (b-a)^6 & = 3 - a \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
*). Persamaan Kedua :
$\begin{align} \text{sisa } & = P(b) \\ 0 & = (b-a)^7 + (b-b)^6 + (b-3) \\ 0 & = (b-a)^7 + 0^6 + (b-3) \\ 0 & = (b-a)^6.(b-a) + (b-3) \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align} (b-a)^6.(b-a) + (b-3) & = 0 \\ (3 - a).(b-a) + (b-3) & = 0 \\ (3-a)b - 3a + a^2 + b - 3 & = 0 \\ (3-a+1)b + a^2 - 3a - 3 & = 0 \\ (4-a)b & = 3a + 3 -a^2 \\ b & = \frac{3a + 3 -a^2}{4-a} \end{align}$
Jadi, diperoleh $ b = \frac{3a + 3 -a^2}{4-a} . \, \heartsuit $
Nomor 7
Nilai $ c \, $ yang memenuhi $ (0,0081)^{(x^2+3x+c)} < (0,09)^{(x^2 - 2x + 8)} \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
*). Pertidaksamaan eksponen
$ a^{f(x)} < a^{g(x)} \rightarrow f(x) > g(x) \, $ untuk $ a < 1 $
*). Sifat eksponen : $ (a^m)^n = a^{m.n} $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan pertidaksamaan
$ \begin{align} (0,0081)^{(x^2+3x+c)} & < (0,09)^{(x^2 - 2x + 8)} \\ [(0,09)^2]^{(x^2+3x+c)} & < (0,09)^{(x^2 - 2x + 8)} \\ (0,09)^{(2x^2+6x+2c)} & < (0,09)^{(x^2 - 2x + 8)} \\ (\text{tanda ketaksamaan } & \text{ dibalik )} \\ 2x^2+6x+2c & > x^2 - 2x + 8 \\ x^2 + 8x + 2c - 8 & > 0 \end{align} $
Agar berlaku $ x^2 + 8x + 2c - 8 > 0 $ untuk semua $ x , \, $ maka $ x^2 + 8x + 2c - 8 \, $ harus definit positif. Syaratnya : $ a > 0 \, $ dan $ D < 0 $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan definit positif pada $ x^2 + 8x + 2c - 8 $
$ \begin{align} a & = 1 > 0 \, \, \, \, \text{(benar)}\\ D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ 8^2 - 4.1.(2c-8) & < 0 \\ 64 - 8c + 32 & < 0 \\ - 8c & < - 96 \, \, \, \, \text{(bagi -8, tanda dibalik)} \\ c & > 12 \end{align} $
Jadi, diperoleh nilai $ c > 12. \, \heartsuit$
Nomor 8
Jika $ x_1, \, x_2 \, $ adalah akar-akar $ 25^{2x} - 5^{2x+1} - 2.5^{2x+3} + a = 0 \, $ dimana $ x_1 + x_2 = 2. {}^5 \log 2 , \, $ maka $ a = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
*). Operasi akar-akar PK : $ ap^2 + bp + c = 0 $
$ x_1 . c_2 = \frac{c}{a} $
*). Sifat-sifat eksponen dan logaritma
$ a^{m+n} = a^m .a^n , \, (a^m)^n = a^{m.n}, \, a^{{}^a \log b} = b $
$\spadesuit \, $ Memodifikasi persamaan dengan substitusi $ p = 5^{2x} $
$\begin{align} 25^{2x} - 5^{2x+1} - 2.5^{2x+3} + a & = 0 \\ (5^2)^{2x} - 5^{2x} . 5^1 - 2.5^{2x}.5^3 + a & = 0 \\ (5^{2x})^2 - 5.5^{2x} - 250.5^{2x} + a & = 0 \\ (p)^2 - 5p - 250p + a & = 0 \\ (p)^2 - 255p + a & = 0 \end{align}$
$ p^2 - 255p + a = 0 \left\{ \begin{array}{c} p_1 = 5^{2x_1} \\ p_2 = 5^{2x_2} \end{array} \right. $
Operasi akar-akar PK : $ p^2 - 255p + a = 0 $
$\begin{align} p_1 . p_2 & = \frac{c}{a} \\ 5^{2x_1} . 5^{2x_2} & = \frac{a}{1} \\ 5^{2(x_1+x_2)} & = a \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi $ x_1 + x_2 = 2. {}^5 \log 2 \, $ ke pers(i)
$\begin{align} a & = 5^{2(x_1+x_2)} \\ a & = 5^{2(2. {}^5 \log 2)} \\ a & = 5^{4. {}^5 \log 2 } \\ a & = 5^{ {}^5 \log 2^4 } \\ a & = 5^{ {}^5 \log 16 } \\ a & = 16 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 16. \, \heartsuit$
Nomor 9
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x} \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
*). Penerapan turunan pada limit,
$ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \rightarrow \, $ solusinya : $ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
diturunkan sampai hasilnya tidak $ \frac{0}{0} $ .
*). Turunan fungsi
$ y = U. V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U . V^\prime $
$ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $
$\clubsuit \, $ Turunan fungsi
$\begin{align} y & = \left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right) \\ U & = \left( \sqrt{5-x}-2 \right) \rightarrow U^\prime = \frac{-1}{2\sqrt{5-x}} \\ V & = \left( \sqrt{2-x}+1 \right) \rightarrow V^\prime = \frac{-1}{2\sqrt{2-x}} \\ y & = UV \\ y^\prime & = U^\prime . V + U . V^\prime \\ y^\prime & = \frac{-1}{2\sqrt{5-x}} . \left( \sqrt{2-x}+1 \right) + \left( \sqrt{5-x}-2 \right) . \frac{-1}{2\sqrt{2-x}} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan limitnya
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x} = \frac{0}{0} \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{ \frac{-1}{2\sqrt{5-x}} . \left( \sqrt{2-x}+1 \right) + \left( \sqrt{5-x}-2 \right) . \frac{-1}{2\sqrt{2-x}} }{-1} \\ & = \frac{ \frac{-1}{2\sqrt{5-1}} . \left( \sqrt{2-1}+1 \right) + \left( \sqrt{5-1}-2 \right) . \frac{-1}{2\sqrt{2-1}} }{-1} \\ & = \frac{ \frac{-1}{2.2} . \left( 2 \right) + \left( 2-2 \right) . \frac{-1}{2.1} }{-1} \\ & = \frac{ \frac{-1}{2} + \left( 0 \right) . \frac{-1}{2} }{-1} \\ & = \frac{ \frac{-1}{2} + 0 }{-1} \\ & = \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{2} . \, \heartsuit $
Nomor 10
Jika $ u_1, u_2, u_3, ... \, $ adalah barisan geometri yang memenuhi $ u_3 - u_6 = x, \, $ dan $ u_2 - u_4 = y, \, $ maka $ x/y = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
*). Barisan geometri : $ u_n = a r^{n-1} $
*). Pemfaktoran : $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) $
sehingga $ 1 - r^3 = (1-r)(1+r+r^2) $
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan
$\begin{align} u_3 - u_6 & = x \\ ar^2 - ar^5 & = x \\ ar^2(1-r^3) & = x \\ ar^2(1-r)(1 + r + r^2) & = x \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ u_2 - u_4 & = y \\ ar - ar^3 & = y \\ ar(1-r^2) & = y \\ ar(1-r)(1+r) & = y \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan hasil $ \frac{x}{y} $
$\begin{align} \frac{x}{y} & = \frac{ar^2(1-r)(1 + r + r^2)}{ar(1-r)(1+r) } \, \, \, \, \text{...(sederhanakan)} \\ & = \frac{r(1 + r + r^2)}{1 + r} \\ & = \frac{ r^3 + r^2 + r}{1 + r} \end{align}$
Jadi, diperoleh $ \frac{x}{y} = \frac{ r^3 + r^2 + r}{1 + r} . \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar