Senin, 23 November 2015

Pembahasan Soal Simak UI Matematika Dasar tahun 2015 Nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Diketahui garis $ 2x + (p-2)y + 1 = 0 \, $ sejajar dengan garis $ (p-1)x + 6y + 7 = 0 . \, $ Misalkan $ a \, $ dan $ b $ adalah nilai-nilai $ p $ yang memenuhi persamaan tersebut dengan $ a < b , \, $ maka nilai dari $ {{}^{(a+7)}}^\frac{1}{5} \log b^2 = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar :
*). Gradien : $ ax + by + c = 0 \rightarrow m = -\frac{a}{b} $
*). Dua garis sejajar, maka besar gradiennya sama.
*). Sifat logaritma : $ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $
$\spadesuit \, $ Menentukan gradien kedua garis
$ 2x + (p-2)y + 1 = 0 \rightarrow m_1 = \frac{-2}{p-2} $
$ (p-1)x + 6y + 7 = 0 \rightarrow m_2 = \frac{-(p-1)}{6} $
$\spadesuit \, $ Kedua garis sejajar, sehingga gradiennya sama
$ \begin{align} m_1 & = m_2 \\ \frac{-2}{p-2} & = \frac{-(p-1)}{6} \\ (p-2)(p-1) & = 12 \\ p^2 - 3p + 2 & = 12 \\ p^2 - 3p -10 & = 0 \\ (p+2)(p-5) & = 0 \\ p = -2 \vee p & = 5 \end{align} $
Sehingga $ a = -2 \, $ dan $ b = 5 $
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya
$ \begin{align} {{}^{(a+7)}}^\frac{1}{5} \log b^2 & = {{}^{(-2+7)}}^\frac{1}{5} \log 5 ^2 \\ & = {{}^{5}}^\frac{1}{5} \log 5 ^2 \\ & = \frac{2}{\frac{1}{5}} \times {}^5 \log 5 \\ & = 2. \frac{5}{1} \times 1 \\ & = 10 \end{align} $
Jadi, nilai $ {{}^{(a+7)}}^\frac{1}{5} \log b^2 = 10 . \heartsuit $
Nomor 12
Perkalian akar-akar real dari persamaan $ \frac{1}{x^2-10x-29} + \frac{1}{x^2-10x-45} - \frac{2}{x^2-10x-69} = 0 , \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Operasi akar-akar persamaan kuadrat
$ ax^2 + bx + c = 0 \rightarrow x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
$\clubsuit \, $ Jika $ \frac{a}{b} = 0 , \, $ maka $ a = 0 $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan persamaan dengan memisalkan : $ p = x^2 - 10x - 29 $
$ \begin{align} \frac{1}{x^2-10x-29} + \frac{1}{x^2-10x-45} - \frac{2}{x^2-10x-69} & = 0 \\ \frac{1}{x^2-10x-29} + \frac{1}{x^2-10x-29 -16} - \frac{2}{x^2-10x-29-40} & = 0 \\ \frac{1}{p} + \frac{1}{p -16} - \frac{2}{p-40} & = 0 \\ \frac{(p -16)(p-40) + p(p-40) - 2 p(p -16) }{p(p -16)(p-40)} & = 0 \\ \frac{p^2 -56p + 16.40 + p^2 - 40p -2p^2 + 32p }{p(p -16)(p-40)} & = 0 \\ \frac{-64p + 16.40}{p(p -16)(p-40)} & = 0 \\ -64p + 16.40 & = 0 \\ p & = 10 \end{align} $
Substitusi nilai $ p = 10 \, $ ke permisalan, kita peroleh :
$ x^2 - 10x - 29 = p \rightarrow x^2 - 10x - 29 = 10 \rightarrow x^2 - 10x - 39 = 0 $
Sehingga nilai $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-39}{1} = -39 $
Jadi, perkalian akar-akar realnya adalah $ -39. \heartsuit $
Nomor 13
Misalkan salah satu akar dari persamaan kuadrat $ x^2 - 10x + a = 0 \, $ mempunyai tanda yang berlawanan dengan salah satu akar dari persamaan kuadrat $ x^2 + 10x - a = 0 \, $ dimana $ a \, $ adalah sebuah bilangan real, maka jumlah kuadrat dari akar-akar persamaan $ x^2 + 2ax - 5 = 0 \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Operasi akar-akar persamaan kuadrat
$ ax^2 + bx + c = 0 \rightarrow x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ \, x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan dari operasi akar-akar :
*). PK I : $ x^2 - 10x + a = 0 \, $ akar-akarnya $ m \, $ dan $ \, n $
$ m + n = \frac{-(-10)}{1} \rightarrow m+n = 10 \, $ ....pers(i)
$ m . n = \frac{a}{1} \rightarrow m.n = a \rightarrow m = \frac{a}{n} $ ....pers(ii)
*). PK II : $ x^2 + 10x - a = 0 \, $ akar-akarnya $ p \, $ dan $ \, -n $
Karena akar PK I adalah $ n \, $ dan PK II memiliki tanda yang berlawanan dengan PK I sehingga salah satu akar dari PK II adalah $ \, - n $ .
$ p + (-n) = \frac{-(10)}{1} \rightarrow p-n = -10 \, $ ....pers(iii)
$ p.(-n) = \frac{-a}{1} \rightarrow -pn = -a \rightarrow p = \frac{a}{n} $ ....pers(iv)
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) ke pers(iii)
$ \begin{array}{cc} m+n = 10 & \\ p-n = -10 & + \\ \hline m + p = 0 \end{array} $
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(ii) ke pers(iv) ke $ m + p = 0 $
$\begin{align} m + p & = 0 \\ \frac{a}{n} + \frac{a}{n} & = 0 \\ \frac{2a}{n} & = 0 \\ 2a & = 0 \\ a & = 0 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Sehingga PK $ x^2 + 2ax - 5 = 0 \, $ menjadi
$\begin{align} x^2 + 2ax - 5 & = 0 \\ x^2 + 2.0.x - 5 & = 0 \\ x^2 - 5 & = 0 \\ x^2 & = 5 \\ x & = \pm \sqrt{ 5 } \\ x_1 = \sqrt{ 5 } \vee x_2 & = - \sqrt{ 5 } \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan jumlah kuadratnya ($ x_1^2 + x_2^2 $)
$\begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = (\sqrt{ 5 })^2 + (-\sqrt{ 5 })^2 \\ & = 5 + 5 \\ & = 10 \end{align}$
Jadi, jumlah kuadratnya adalah 10 . $ \heartsuit $
Nomor 14
Diketahui $ a \, $ dan $ b \, $ adalah bilangan bulat positif yang tidak sama dengan satu dan persamaan $ \log _a x . \log _b x = \frac{\log _ x b }{\log _x a } . \, $ Nilai $ (a+b)x \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar logaritma
*). Bentuk $ \log _a b = {}^a \log b $
*). Definisi logaritma : $ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Sifat logaritma : $ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a } $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align} \log _a x . \log _b x & = \frac{\log _ x b }{\log _x a } \\ {}^a \log x . {}^b \log x & = \frac{{}^x \log b }{ {}^x \log a } \, \, \, \, \text{(gunakan sifat log)} \\ \frac{1}{ {}^x \log a } . {}^b \log x & = \frac{ 1 }{ {}^b \log x . {}^x \log a } \\ {}^b \log x & = \frac{ 1 }{ {}^b \log x } \\ ( {}^b \log x )^2 & = 1 \\ {}^b \log x & = \pm \sqrt{ 1 } \\ {}^b \log x & = \pm 1 \\ {}^b \log x & = 1 \vee {}^b \log x = - 1 \end{align}$
dengan definisi logaritma, sehingga diperoleh :
$ {}^b \log x = 1 \rightarrow x = b^1 = b $
$ {}^b \log x = -1 \rightarrow x = b^{-1} = \frac{1}{b} $
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya
*). Untuk $ x = b $
$ (a+b)x = (a+b)b = ab + b^2 $
*). Untuk $ x = \frac{1}{b} $
$ (a+b)x = (a+b)\frac{1}{b} = \frac{a}{b} + 1 $
Jadi, nilai $ (a+b)x \, $ adalah $ ab + b^2 \, $ atau $ \frac{a}{b} + 1 . \heartsuit $
Nomor 15
Misalkan $ A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right), \, D = \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) , \, $ dan $ P = \left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \end{matrix} \right) \, $ dengan $ a , b \, $ adalah bilangan-bilangan real sedemikian sehingga $ A = PDP^T , \, $ maka pernyataan berikut benar, KECUALI ....
(A). $ P^T = P^{-1} $
(B). det A = det D
(C). $ a^2 + b^2 = 1 $
(D). det P = det A
(E). $ P^{-1} = P $
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar matriks :
*). Determinan : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow Det(A) = ad-bc $
*). Invers : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{Det(A)} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
$\clubsuit \, $ Cek matriks $ P $
$ P = \left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \end{matrix} \right) \rightarrow P^T = \left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \end{matrix} \right) $
Artinya $ P = P^T $
Determinan matriks masing-masing :
$ A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) \rightarrow Det(A) = 1.4 - 2.2 = 0 $
$ D = \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) \rightarrow Det(D) = 0.5 - 0.0 = 0 $
$ P = \left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \end{matrix} \right) \rightarrow Det(P) = -a^2 -b^2 = -(a^2 + b^2 ) $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan persamaan : $ A = PDP^T $
$ \begin{align} A & = PDP^T \\ \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & 5b \\ 0 & -5a \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 5b^2 & -5ab \\ -5ab & 5a^2 \end{matrix} \right) \\ 5b^2 & = 1 \rightarrow b^2 = \frac{1}{5} \\ 5a^2 & = 4 \rightarrow a^2 = \frac{4}{5} \end{align} $
Sehingga nilai , $ a^2 + b^2 = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} \rightarrow a^2 + b^2 = 1 $
Determinan matriks P : $ Det(P) = -(a^2 + b^2 ) = -1 $
Jadi, yang salah adalah opsi D, dimana Det(P) tidak sama dengan Det(A). $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Tidak ada komentar:

Posting Komentar