Jumat, 20 November 2015

Pembahasan Soal Simak UI Matematika Dasar tahun 2015 Nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Berikut adalah enam bilangan dari data yang berisi 9 bilangan asli : 9, 8, 9, 7, 5, 3. Nilai terkecil yang mungkin untuk median dari data 9 bilangan asli tersebut adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep : Median = nilai tengah data.
$\spadesuit \, $ Data terurut : 3,5,7,8,9,9
$\spadesuit \, $ Agar mediannya terkecil, maka tiga nilai sisanya ($x_1,x_2,x_3$) harus kita letakkan disebelah kiri angka 5.
Urutan yang mungkin :
*). $ x_1, x_2, x_3, 3, 5, 7, 8, 9, 9 $
*). $ x_1, x_2, 3, x_3, 5, 7, 8, 9, 9 $
*). $ x_1, 3, x_2, x_3, 5, 7, 8, 9, 9 $
*). $ 3, x_1, x_2, x_3, 5, 7, 8, 9, 9 $
Dari 4 urutan data yang mungkin, nilai median terkecilnya adalah data ke-5 yaitu 5.
Jadi, median terkecilnya adalah 5. $ \heartsuit $
Nomor 7
Misalkan tiga suku pertama dari barisan aritmatika adalah $ \log a^3b^7, \, \log a^5b^{12}, \, \log a^8b^{15} \, $ dan suku ke-12 adalah $ \log a^mb^n . \, $ Nilai $ 2m + n \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Barisan aritmatika : $ u_n = u_1 + (n-1)b $
$\clubsuit \, $ Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log bc $
$ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $
$ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
$\clubsuit \, $ Menentukan bedanya
$\begin{align} \text{beda } & = u_2 - u_1 \\ & = \log a^5b^{12} - \log a^3b^7 \\ & = \log \frac{a^5b^{12} }{ a^3b^7 } \\ & = \log a^2b^5 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ m \, $ dan $ \, n $
$\begin{align} u_{12} & = \log a^mb^n \\ u_1 + 11 . \text{ beda} & = \log a^mb^n \\ \log a^3b^7 + 11 . \log a^2b^5 & = \log a^mb^n \\ \log a^3b^7 + \log (a^2b^5)^{11} & = \log a^mb^n \\ \log a^3b^7 + \log a^{22}b^{55} & = \log a^mb^n \\ \log ( a^3b^7 . a^{22}b^{55} ) & = \log a^mb^n \\ \log a^{25}b^{62} & = \log a^mb^n \\ a^{25}b^{62} & = a^mb^n \end{align}$
Diperoleh : $ m = 25 \, $ dan $ n = 62 $
Sehingga nilai $ 2m + n = 2. 25 + 62 = 50 + 62 = 112 $
Jadi nilai $ 2m + n = 112 . \heartsuit$
Nomor 8
Diketahui selisih rusuk dari dua kubus adalah 5 dan selisih volumenya adalah 1385. Misalkan $ y $ menyatakan selisih dari kuadrat rusuk-rusuk kedua kubus tersebut dan $ z $ menyatakan kuadrat jumlah dari rusuk-rusuk kedua kubus tersebut, maka $ z - y + 5 = ....$
$\spadesuit \, $ Pemfaktoran : $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $
$\spadesuit \, $ Misalkan rusuk-rusuknya : $ r_1 \, $ dan $ r_2 \, $ dengan $ r_1 > r_2 $
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan
*). Selisih kedua rusuk = 5
$ r_1 - r_2 = 5 \rightarrow r_1 = r_2 + 5 \, $ .....pers(i)
*). Selisih volume = 1385
$ r_1^3 - r_2^3 = 1385 \, $ .....pers(ii)
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align} r_1^3 - r_2^3 & = 1385 \\ (r_1-r_2)(r_1^2 + r_1r_2+r_2^2) & = 1385 \\ (5)((r_2+5)^2 + (r_2+5)r_2+r_2^2) & = 1385 \, \, \, \, \text{(bagi 5)} \\ (r_2^2 +10r_2 + 25 + r_2^2 + 5r_2+r_2^2) & = 277 \\ 3r_2^2 +15r_2 -252 & = 0 \\ (3r_2 - 21)(r_2 + 12) & = 0 \\ r_2 = 7 \vee r_2 & = -12 \end{align}$
Sehingga yang memenuhi $ r_2 = 7 \, $ karena panjang rusuk selalu positif.
nilai $ r_1 = r_2 + 5 = 7 + 5 = 12 $
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya
$ y = r_1^2 - r_2^2 = 12^2 - 7^2 = 95 $
$ z = (r_1+r_2)^2 = (12+7)^2 = 19^2 = 361 $
Nilai $ z - y + 5 = 361 - 95 + 5 = 271 $
Jadi, nilai $ z - y + 5 = 271 . \heartsuit$
Nomor 9
Diketahui $ U_n $ dan $ V_n $ adalah barisan aritmatika dengan $ n > 0 . \, $ Jumlah $ n $ suku pertama dari masing-masing barisan ini adalah $ S_u(n) $ dan $ S_v(n) $ . Jika $ \frac{S_v(n)}{S_u(n)} = \frac{2n+8}{5n+9} \, $ dan $ V_2 = \frac{7}{3} , \, $ maka $ U_4 = .... $
$\clubsuit \, $ Barisan aritmatika
$ U_n = a + (n-1)b \, $ dan $ \, S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
$\clubsuit \, $ Misalkan suku pertama dan beda masing-masing barisan :
*). Barisan $ V_n \, : \, $ suku pertama = $ a_x \, $ dan beda $ = b_x $
$ V_n = a_x + (n-1)b_x \, $ dan $ \, S_v(n) = \frac{n}{2}(2a_x + (n-1)b_x ) $
*). Barisan $ V_n \, : \, $ suku pertama = $ a_y \, $ dan beda $ = b_y $
$ U_n = a_y + (n-1)b_y \, $ dan $ \, S_u(n) = \frac{n}{2}(2a_y + (n-1)b_y ) $
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan :
*). persamaan (i),
$ V_2 = \frac{7}{3} \rightarrow a_x + b_x = \frac{7}{3} \rightarrow b_x = \frac{7}{3} - a_x \, $ ....pers(i)
*). Persamaan (ii) ,
$\begin{align} \frac{S_v(n)}{S_u(n)} & = \frac{2n+8}{5n+9} \\ \frac{\frac{n}{2}(2a_x + (n-1)b_x )}{\frac{n}{2}(2a_y + (n-1)b_y )} & = \frac{2n+8}{5n+9} \\ \frac{2a_x + (n-1)b_x}{2a_y + (n-1)b_y } & = \frac{2n+8}{5n+9} \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi $ n = 1 \, $ ke pers(ii)
$\begin{align} \frac{2a_x + (n-1)b_x}{2a_y + (n-1)b_y } & = \frac{2n+8}{5n+9} \\ \frac{2a_x + (1-1)b_x}{2a_y + (1-1)b_y } & = \frac{2.1+8}{5.1+9} \\ \frac{2a_x + 0.b_x}{2a_y + 0.b_y } & = \frac{10}{14} \\ \frac{2a_x }{2a_y } & = \frac{5}{7} \\ \frac{a_x }{a_y } & = \frac{5}{7} \\ a_x & = \frac{5}{7} a_y \, \, \, \, \, \, \text{....pers(iii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi $ n = 3 \, $ ke pers(ii)
$\begin{align} \frac{2a_x + (n-1)b_x}{2a_y + (n-1)b_y } & = \frac{2n+8}{5n+9} \\ \frac{2a_x + (3-1)b_x}{2a_y + (3-1)b_y } & = \frac{2.3+8}{5.3+9} \\ \frac{2a_x + 2b_x}{2a_y + 2b_y } & = \frac{14}{24} \\ \frac{a_x + b_x}{a_y + b_y } & = \frac{7}{12} \\ \frac{\frac{7}{3}}{a_y + b_y } & = \frac{7}{12} \\ a_y + b_y & = 4 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(iv)} \\ b_y & = 4 - a_y \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi $ n = 2 \, $ ke pers(ii)
$\begin{align} \frac{2a_x + (n-1)b_x}{2a_y + (n-1)b_y } & = \frac{2n+8}{5n+9} \\ \frac{2a_x + (2-1)b_x}{2a_y + (2-1)b_y } & = \frac{2.2+8}{5.2+9} \\ \frac{2a_x + b_x}{2a_y + b_y } & = \frac{12}{19} \\ 38a_x + 19b_x & = 24a_y + 12b_y \\ 38a_x + 19(\frac{7}{3} - a_x) & = 24a_y + 12(4-a_y) \\ 38a_x + \frac{133}{3} - 19a_x & = 24a_y + 48 - 12a_y \\ 19a_x + \frac{133}{3} & = 12a_y + 48 \\ 19(\frac{5}{7}a_y) + \frac{133}{3} & = 12a_y + 48 \\ \frac{95}{7}a_y + \frac{133}{3} & = 12a_y + 48 \\ a_y & = \frac{7}{3} \end{align}$
Sehingga, $ b_y = 4 - a_y = 4 - \frac{7}{3} = \frac{5}{3} $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ U_4 $
$\begin{align} U_4 & = a_y + 3b_y \\ & = \frac{7}{3} + 3. \frac{5}{3} \\ & = \frac{7}{3} + 5 \\ & = \frac{22}{3} \end{align}$
Jadi, diperoleh $ U_4 = \frac{22}{3} . \heartsuit $
Nomor 10
Mira memilih secara acak sebuah bilangan bulat positif yang kemudian dia kuadratkan dan dibagi 9. Probabilitas bahwa sisa dari hasil bagi tersebut 4 adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar Teori bilangan,
*). Penyajian bilangan bulat positif (bilangan asli) dapat disajikan dalam kelipatan salah satu bilangan, misalkan ada bilangan $ b $, dapat dinyatakan dari kelipatan bilangan tertentu .
*). Kelipatan 2 : $ b = 2x \, $ dan $ b = 2x + 1 \, $ dengan bilangan bulat $ \, x \geq 0 \, $ , artinya bilanga asli $ b \, $ dapat dinyatakan dalam dua bentuk (dua kelompok besar ) yaitu $ 2x \, $ dan $ 2x+1 \, $ , dan dijamin dua bentuk tersebut akan membentuk semua bilangan asli $ b $ . Misalkan,
$ x = 0 \rightarrow b = 2x + 1 = 2.0 + 1 = 1 $
$ x = 1 \rightarrow b = 2x = 2. 1 = 2 $
$ x = 1 \rightarrow b = 2x + 1 = 2. 1 + 1 = 3 $
$ x = 2 \rightarrow b = 2x = 2. 2 = 4 $
$ x = 2 \rightarrow b = 2x + 1 = 2. 2 + 1 = 5 $
dan seterusnya sehingga $ b = \{ 1, 2, 3, 4, 5, .... \} \, $ adalah bilangan asli.
Bentuk $ b = 2x \, $ arti lainnya adalah $ b \, $ dibagi 2 memberikan sisa 0.
Bentuk $ b = 2x + 1 \, $ arti lainnya adalah $ b \, $ dibagi 2 memberikan sisa 1.
*). Kelipatan 3 : $ b = 3x , \, b = 3x + 1 , \, b = 3x + 2 \, $ artinya bilangan asli $ b \, $ dibagi menjadi tiga kelompok, penjelasan lainnya mirip dengan di atas.
*). Kita langsung ke bentuk kelipatan 9, yang ada kaitannya dengan soal ini.
Kelipatan 9 : $ b = 9x , \, b = 9x+ 1 , \, b = 9x+2 , \, b = 9x+ 3 $
$ b = 9x+ 4 , \, b = 9x+ 5 , \, b = 9x+ 6 , \, b = 9x+ 7 $
$ b = 9x+ 8 \, \, \, $ yaitu ada 9 kelompok bilangan.
$\spadesuit \, $ Konsep dasar peluang kejadian A : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $ .
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A ,
$ n(A) = \, $ harapan kejadian A ,
$ n(S) = \, $ Semua kemungkinan kejadian
$\spadesuit \, $ Misalkan bilangan yang dipilih adalah $ a \, $ . Bilangan ($a$) dikuadratkan ($a^2$) dan dibagi dengan sembilan, artinya bilangan $ a^2 \, $ dapat kita sajikan dengan kelipatan 9 , yaitu :
$ a^2 = 9x , \, a^2 = 9x+ 1 , \, a^2 = 9x+2 , \, a^2 = 9x+ 3 $
$ a^2 = 9x+ 4 , \, a^2 = 9x+ 5 , \, a^2 = 9x+ 6 $
$ a^2 = 9x+ 7 , \, a^2 = 9x+ 8 $
Artinya bilangan $ a^2 \, $ bisa dinyatakan menjadi 9 kelompok bilangan, sehingga $ n(S) = 9 $ .
*). Harapannya adalah dibagi 9 bersisa 4, dan bentuk seperti itu hanya diwakili oleh bentuk $ a^2 = 9x+ 4 \, $ yang hanya ada satu bentuk, sehingga $ n(A) = 1 $.
Bentuk $ a^2 = 9x+ 4 \, $ artinya bilangan $ a^2 \, $ dibagi dengan 9 dan bersisa 4.
$\spadesuit \, $ Menentukan peluangnya :
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{1}{9} $
Jadi, peluang $ a^2 \, $ dibagi 9 bersisa 4 adalah $ \frac{1}{9} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

5 komentar:

  1. Wah bagus banget mas. Tapi saya kurang mengerti mas Darma untuk pembahasan nomor 9 dan 10. Untuk nomor 9, kenapa harus mensubstitusi n = 1 - 3 mas? Saya kira karena Sn (u) = 2n+8 artinya jika dimasukkan suku pertama maka S1 = U1 jadi S1 = 10 = U1 = ax yang mana bisa dimasukkan ke persamaan. Saya bingung disitu mas hehe.

    Untuk nomor 10, saya masih belum mengerti untuk konsep dasar teori bilangan mas. Dimana ya saya bisa menemukan konsep yang lebih dalam untuk teori bilangan seperti di atas mas? Kenapa harus ada tambahan konstanta 1, 2, 3, 4, dst? Terima kasih mas.

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow dek deny.
      untuk nomor 9, $ \frac{S_v(n)}{S_u(n)} = \frac{2n+8}{5n+9} $
      artinya ada perbandingan dan penyederhanaan, sehingga $ S_v(n) \neq 2n + 8 $ .

      Hapus
    2. ingat rumus dasar $ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b) $ artinya variabel $ n $ nya seharusnya berbentuk kuadrat, atau bisa diperumum $ S_n = pn^2 + qn \, $ . ini menguatkan bahwa tidak mungkin jumlah $ n $ suku pertamanya berbentuk $ 2n + 8 \, $ saja.

      Dari bentuk $ \frac{S_v(n)}{S_u(n)} = \frac{2n+8}{5n+9} \, $ kita substitusikan rumus $ S_n \, $ nya ke masing-masing deret aritmatikanya, sehingga diperoleh :

      $\begin{align}
      \frac{S_v(n)}{S_u(n)} & = \frac{2n+8}{5n+9} \\
      \frac{\frac{n}{2}(2a_x + (n-1)b_x )}{\frac{n}{2}(2a_y + (n-1)b_y )} & = \frac{2n+8}{5n+9} \\
      \frac{2a_x + (n-1)b_x}{2a_y + (n-1)b_y } & = \frac{2n+8}{5n+9} \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)}
      \end{align}$


      dari pers(ii) inilah kita otak-atik dengan mensubstitusi kan nilai $ n = 1,2,3 \, $ sehingga terbentuk persamaan yang lebih sederhana dan bisa kita selesaikan dengan persamaan lain yang sudah terbentuk. begitu dek. jadi disini lebih ditekankan keterampilan aljabarnya saja dan kemampuan dalam menyusun persamaan serta menyelesaiakannya dengan substitusi dan eliminasi.

      Hapus
    3. Untuk soal no. 10,
      Menurut saya soal ini lebih cocok untuk soal olimpiade saja, karena teori dasar yang digunakan jarang dibahas di SMA kecuali yang mengikuti kelas olimpiade. Coba dibaca dan dipahami teori dasarnya secara perlahan-lahan ya dek, mudah-mudahan bisa dipahami. Untuk materi teori bilangan, coba aja download di internet ya, banyak kok.

      Hapus
    4. Oh begitu. Terima kasih banyak mas Darma.

      Bener juga mas, seharusnya jika bentuknya pn + c itu bentuk dari suku ke-n nya.

      Saya paham mas, terima kasih banyak.

      Hapus