Nomor 1
Nilai minimum dari fungsi $ z = 4x + 3y \, $ pada himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan : $ x \geq 0, \, y \geq 0 , \,
2x + 3y \geq 6 , \, 3x - 2y \leq 9 , \, $ dan $ x + 5y \leq 20 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Gambar daerahnya
I. $ 2x + 3y = 6 \rightarrow (0,2), \, (3,0) $
II. $ 3x - 2y = 9 \rightarrow (0,-\frac{9}{2}), \, (3,0) $
III. $ x + 5y = 20 \rightarrow (0,4), \, (20,0) $
$\clubsuit \, $ Menentukan Titik pojoknya
Menentukan titik B dengan eliminasi pers II dan pers III :
$ \begin{array}{c|c|cc} 3x - 2y = 9 & \times 1 & 3x - 2y = 9 & \\ x + 5y = 20 & \times 3 & 3x + 15y = 27 & - \\ \hline & & -17y = -51 & \\ & & y = 3 & \end{array} $
Pers III : $ x + 5y = 20 \rightarrow x + 5.3 = 20 \rightarrow x = 5 $
Sehingga titik B(5,3)
$\clubsuit \, $ Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan $ z = 4x + 3y $
$\begin{align} A(3,0) \rightarrow z & = 4.3 + 3.0 = 12 \\ B(5,3) \rightarrow z & = 4.5 + 3.3 = 29 \\ C(0,4) \rightarrow z & = 4.0 + 3.4 = 12 \\ D(0,2) \rightarrow z & = 4.0 + 3.2 = 6 \end{align}$
Jadi, nilai minimumnya adalah 6. $ \heartsuit $
I. $ 2x + 3y = 6 \rightarrow (0,2), \, (3,0) $
II. $ 3x - 2y = 9 \rightarrow (0,-\frac{9}{2}), \, (3,0) $
III. $ x + 5y = 20 \rightarrow (0,4), \, (20,0) $
$\clubsuit \, $ Menentukan Titik pojoknya
Menentukan titik B dengan eliminasi pers II dan pers III :
$ \begin{array}{c|c|cc} 3x - 2y = 9 & \times 1 & 3x - 2y = 9 & \\ x + 5y = 20 & \times 3 & 3x + 15y = 27 & - \\ \hline & & -17y = -51 & \\ & & y = 3 & \end{array} $
Pers III : $ x + 5y = 20 \rightarrow x + 5.3 = 20 \rightarrow x = 5 $
Sehingga titik B(5,3)
$\clubsuit \, $ Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan $ z = 4x + 3y $
$\begin{align} A(3,0) \rightarrow z & = 4.3 + 3.0 = 12 \\ B(5,3) \rightarrow z & = 4.5 + 3.3 = 29 \\ C(0,4) \rightarrow z & = 4.0 + 3.4 = 12 \\ D(0,2) \rightarrow z & = 4.0 + 3.2 = 6 \end{align}$
Jadi, nilai minimumnya adalah 6. $ \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ (x,y) = (a,b) \, $ adalah penyelesaian dari sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} 2xy - y^2 + 5x + 20 = 0 \\ 3x + 2y - 3 = 0 \end{array} \right. $
maka jumlah semua $ a + b \, $ dimana $ a \, $ dan $ b \, $ bukan bilangan bulat adalah ....
$ \left\{ \begin{array}{c} 2xy - y^2 + 5x + 20 = 0 \\ 3x + 2y - 3 = 0 \end{array} \right. $
maka jumlah semua $ a + b \, $ dimana $ a \, $ dan $ b \, $ bukan bilangan bulat adalah ....
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(ii) ke pers(i)
pers(ii) : $ 3x + 2y - 3 = 0 \rightarrow y = \frac{3-3x}{2} $
$ \begin{align} \text{pers(i) } : \, \, \, 2xy - y^2 + 5x + 20 & = 0 \\ 2x \left( \frac{3-3x}{2} \right) - \left( \frac{3-3x}{2} \right)^2 + 5x + 20 & = 0 \\ 3x - 3x^2 - \left( \frac{9 - 18x + 9x^2}{4} \right) + 5x + 20 & = 0 \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 12x - 12x^2 -9 + 18x - 9x^2 + 20x + 80 & = 0 \\ -21x^2 + 50x + 71 & = 0 \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ 21x^2 - 50x - 71 & = 0 \\ (21x-71)(x+1) & = 0 \\ x = \frac{71}{21} \vee x & = -1 \end{align} $
Karena $ x \, $ bukan bulat, maka yang memenuhi adalah $ x = \frac{71}{21} $ .
Sehingga nilai $ y $ :
$ y = \frac{3-3x}{2} = \frac{3}{2}(1-x) = \frac{3}{2}(1-\frac{71}{21}) = - \frac{75}{21} $
Sehingga solusinya : $ (a,b) = (\frac{71}{21}, - \frac{75}{21} ) $ .
Nilai $ a + b = \frac{71}{21}+ ( - \frac{75}{21} ) = - \frac{4}{21} $
Jadi, nilai $ a + b = - \frac{4}{21} . \heartsuit $
pers(ii) : $ 3x + 2y - 3 = 0 \rightarrow y = \frac{3-3x}{2} $
$ \begin{align} \text{pers(i) } : \, \, \, 2xy - y^2 + 5x + 20 & = 0 \\ 2x \left( \frac{3-3x}{2} \right) - \left( \frac{3-3x}{2} \right)^2 + 5x + 20 & = 0 \\ 3x - 3x^2 - \left( \frac{9 - 18x + 9x^2}{4} \right) + 5x + 20 & = 0 \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 12x - 12x^2 -9 + 18x - 9x^2 + 20x + 80 & = 0 \\ -21x^2 + 50x + 71 & = 0 \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ 21x^2 - 50x - 71 & = 0 \\ (21x-71)(x+1) & = 0 \\ x = \frac{71}{21} \vee x & = -1 \end{align} $
Karena $ x \, $ bukan bulat, maka yang memenuhi adalah $ x = \frac{71}{21} $ .
Sehingga nilai $ y $ :
$ y = \frac{3-3x}{2} = \frac{3}{2}(1-x) = \frac{3}{2}(1-\frac{71}{21}) = - \frac{75}{21} $
Sehingga solusinya : $ (a,b) = (\frac{71}{21}, - \frac{75}{21} ) $ .
Nilai $ a + b = \frac{71}{21}+ ( - \frac{75}{21} ) = - \frac{4}{21} $
Jadi, nilai $ a + b = - \frac{4}{21} . \heartsuit $
Nomor 3
Diketahui matriks $ A = \left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right] \, $ dan $ B \, $ adalah matriks dengan
entri-entri bernilai real sedemikian sehingga $ AB = BA \, $ . Nilai terkecil untuk detrminan $ B $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Kosep determinan : $ P = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \rightarrow Det(P) = ad-bc $
$\clubsuit \, $ Misalkan matriks $ B = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan persamaannya
$ \begin{align} AB & = BA \\ \left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right] \\ 2\left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] & = 2\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} a-c & b-d \\ a+c & b+d \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} a+b & -a+b \\ c+d & -c+d \end{matrix} \right] \end{align} $
Dari kesamaan matriks di atas kita peroleh :
$ a - c = a + b \rightarrow b = -c $
$ a + c = c + d \rightarrow a = d $
Misalkan : $ a = d = x, \, b = y, \, c = -y $
Sehingga matriks B menjadi :
$ B = \left[ \begin{matrix} x & y \\ -y & x \end{matrix} \right] $
Nilai $ Det(B) = x^2 - (-y^2) = x^2 + y^2 $
Karena $ x, y \, $ bilangan real, maka agar Det(B) terkecil, haruslah $ x = 0 \, $ dan $ y = 0 $ , sehingga nilai $ Det(B) = x^2 + y^2 = 0^2 + 0^2 = 0 $
Jadi, nilai terkecil determinan B adalah 0. $ \heartsuit $
$\clubsuit \, $ Misalkan matriks $ B = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan persamaannya
$ \begin{align} AB & = BA \\ \left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right] \\ 2\left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] & = 2\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} a-c & b-d \\ a+c & b+d \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} a+b & -a+b \\ c+d & -c+d \end{matrix} \right] \end{align} $
Dari kesamaan matriks di atas kita peroleh :
$ a - c = a + b \rightarrow b = -c $
$ a + c = c + d \rightarrow a = d $
Misalkan : $ a = d = x, \, b = y, \, c = -y $
Sehingga matriks B menjadi :
$ B = \left[ \begin{matrix} x & y \\ -y & x \end{matrix} \right] $
Nilai $ Det(B) = x^2 - (-y^2) = x^2 + y^2 $
Karena $ x, y \, $ bilangan real, maka agar Det(B) terkecil, haruslah $ x = 0 \, $ dan $ y = 0 $ , sehingga nilai $ Det(B) = x^2 + y^2 = 0^2 + 0^2 = 0 $
Jadi, nilai terkecil determinan B adalah 0. $ \heartsuit $
Nomor 4
Jika $ a $ dan $ b $ adalah dua bilangan (tidak harus berbeda) yang dipilih secara acak dan dengan pengembalian dari himpunan
$ \{ 1,2,3,4,5\} $ , maka probabilitas bahwa $ \frac{a}{b} \, $ merupakan bilangan bulat adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep peluang kejadian A : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
$ P(A) = \, $ Peluang kejadian A,
$ n(A) = \, $ Harapan kejadian A,
$ n(S) = \, $ Semua kemungkinan kejadian.
$\spadesuit \, a \, $ dan $ b $ dipilih dari $ \{ 1,2,3,4,5\} $ , artinya $ a \, $ ada lima pilihan angka, begitu juga $ b $ ada lima pilihan angka. Sehingga $ n(S) = 5.5 = 25 $
$\spadesuit \, $ Menentukan $ n(A) $
A = Kejadian $ \frac{a}{b} \, $ adalah bilangan bulat,
$ b = \{ 1 \} \rightarrow a = \{ 1,2,3,4,5 \} \, $ ada 5 kemungkinan.
$ b = \{ 2 \} \rightarrow a = \{ 2,4 \} \, $ ada 2 kemungkinan.
$ b = \{ 3 \} \rightarrow a = \{ 3 \} \, $ ada 1 kemungkinan.
$ b = \{ 4 \} \rightarrow a = \{ 4 \} \, $ ada 1 kemungkinan.
$ b = \{ 5 \} \rightarrow a = \{ 5 \} \, $ ada 1 kemungkinan.
sehingga $ n(A) = 5 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10 $
$\spadesuit \, $ Menentukan $ P(A) $
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{10}{25} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{10}{25} . \heartsuit $
$ P(A) = \, $ Peluang kejadian A,
$ n(A) = \, $ Harapan kejadian A,
$ n(S) = \, $ Semua kemungkinan kejadian.
$\spadesuit \, a \, $ dan $ b $ dipilih dari $ \{ 1,2,3,4,5\} $ , artinya $ a \, $ ada lima pilihan angka, begitu juga $ b $ ada lima pilihan angka. Sehingga $ n(S) = 5.5 = 25 $
$\spadesuit \, $ Menentukan $ n(A) $
A = Kejadian $ \frac{a}{b} \, $ adalah bilangan bulat,
$ b = \{ 1 \} \rightarrow a = \{ 1,2,3,4,5 \} \, $ ada 5 kemungkinan.
$ b = \{ 2 \} \rightarrow a = \{ 2,4 \} \, $ ada 2 kemungkinan.
$ b = \{ 3 \} \rightarrow a = \{ 3 \} \, $ ada 1 kemungkinan.
$ b = \{ 4 \} \rightarrow a = \{ 4 \} \, $ ada 1 kemungkinan.
$ b = \{ 5 \} \rightarrow a = \{ 5 \} \, $ ada 1 kemungkinan.
sehingga $ n(A) = 5 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10 $
$\spadesuit \, $ Menentukan $ P(A) $
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{10}{25} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{10}{25} . \heartsuit $
Nomor 5
Diketahui $ \log _2 5 = b \, $ dan $ \log _5 3 = c , \, $ maka nilai dari $ \log _8 \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \right) = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar Akar dalam akar
$ \sqrt{(a+b) + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $
$ \sqrt{(a+b) - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \, $ dengan $ a > b $
Sehingga bentuk :
$ \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{(3+2) + 2\sqrt{3.2}} = \sqrt{3} + \sqrt{2} $
$ \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{(3+2) - 2\sqrt{3.2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2} $
$\clubsuit \, $ Penulisan logaritma : $ \log _a b = {}^a \log b $
$\clubsuit \, $ Sifat-sifat logaritma
(i). $ {}^a \log bc = {}^a \log b + {}^a \log c $
(ii). $ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
(iii). $ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $
(iv). $ {}^a \log b = \frac{{}^p \log b }{ {}^p \log a} $
Dari soal diketahui :
$ \log _2 5 = b \rightarrow {}^2 \log 5 = b \rightarrow {}^5 \log 2 = \frac{1}{b} $
$ \log _5 3 = c \rightarrow {}^5 \log 3 = c $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soal
$ \begin{align} & \log _8 \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \right) \\ & = {}^8 \log \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \right) \\ & = {}^8 \log \left( (\sqrt{3} + \sqrt{2}) - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \right) \\ & = {}^8 \log \left( 2\sqrt{2} \right) \\ & = {{}^2 }^3 \log 2^\frac{3}{2} \, \, \, \, \, \text{(gunakan sifat(iii) ) } \\ & = ( \frac{3}{2} : 3 ) \, {}^2 \log 2 \\ & = \frac{1}{2} . 1 \\ & = \frac{1}{2} \end{align} $
Catatan : Tidak ada jawaban pada opsinya, kemungkinan soalnya adalah penjumlahan.
$ \begin{align} & \log _8 \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} + \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \right) \\ & = {}^8 \log \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} + \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \right) \\ & = {}^8 \log \left( (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \right) \\ & = {}^8 \log \left( 2\sqrt{3} \right) \\ & = {{}^2 }^3 \log 2. 3^\frac{1}{2} \, \, \, \, \, \text{(gunakan sifat(iv) ) } \\ & = \frac{{}^5 \log 2. 3^\frac{1}{2} }{ {}^5 \log 2^3 } \, \, \, \, \, \text{(gunakan sifat(i) dan (ii) ) } \\ & = \frac{{}^5 \log 2 + {}^5 \log 3^\frac{1}{2} }{ 3 . \, {}^5 \log 2 } \\ & = \frac{{}^5 \log 2 + \frac{1}{2} . {}^5 \log 3 }{ 3 . \, {}^5 \log 2 } \\ & = \frac{\frac{1}{b} + \frac{1}{2} . c }{ 3 . \frac{1}{b} } \\ & = \frac{\frac{1}{b} + \frac{1}{2} . c }{ 3 . \frac{1}{b} } \times \frac{2b}{2b} \\ & = \frac{2 + b c }{ 6 } \end{align} $
Jadi, diperoleh $ \log _8 \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} + \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \right) = \frac{2 + b c }{ 6 } . \heartsuit $ .
$ \sqrt{(a+b) + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $
$ \sqrt{(a+b) - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \, $ dengan $ a > b $
Sehingga bentuk :
$ \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{(3+2) + 2\sqrt{3.2}} = \sqrt{3} + \sqrt{2} $
$ \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{(3+2) - 2\sqrt{3.2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2} $
$\clubsuit \, $ Penulisan logaritma : $ \log _a b = {}^a \log b $
$\clubsuit \, $ Sifat-sifat logaritma
(i). $ {}^a \log bc = {}^a \log b + {}^a \log c $
(ii). $ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
(iii). $ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $
(iv). $ {}^a \log b = \frac{{}^p \log b }{ {}^p \log a} $
Dari soal diketahui :
$ \log _2 5 = b \rightarrow {}^2 \log 5 = b \rightarrow {}^5 \log 2 = \frac{1}{b} $
$ \log _5 3 = c \rightarrow {}^5 \log 3 = c $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soal
$ \begin{align} & \log _8 \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \right) \\ & = {}^8 \log \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \right) \\ & = {}^8 \log \left( (\sqrt{3} + \sqrt{2}) - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \right) \\ & = {}^8 \log \left( 2\sqrt{2} \right) \\ & = {{}^2 }^3 \log 2^\frac{3}{2} \, \, \, \, \, \text{(gunakan sifat(iii) ) } \\ & = ( \frac{3}{2} : 3 ) \, {}^2 \log 2 \\ & = \frac{1}{2} . 1 \\ & = \frac{1}{2} \end{align} $
Catatan : Tidak ada jawaban pada opsinya, kemungkinan soalnya adalah penjumlahan.
$ \begin{align} & \log _8 \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} + \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \right) \\ & = {}^8 \log \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} + \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \right) \\ & = {}^8 \log \left( (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \right) \\ & = {}^8 \log \left( 2\sqrt{3} \right) \\ & = {{}^2 }^3 \log 2. 3^\frac{1}{2} \, \, \, \, \, \text{(gunakan sifat(iv) ) } \\ & = \frac{{}^5 \log 2. 3^\frac{1}{2} }{ {}^5 \log 2^3 } \, \, \, \, \, \text{(gunakan sifat(i) dan (ii) ) } \\ & = \frac{{}^5 \log 2 + {}^5 \log 3^\frac{1}{2} }{ 3 . \, {}^5 \log 2 } \\ & = \frac{{}^5 \log 2 + \frac{1}{2} . {}^5 \log 3 }{ 3 . \, {}^5 \log 2 } \\ & = \frac{\frac{1}{b} + \frac{1}{2} . c }{ 3 . \frac{1}{b} } \\ & = \frac{\frac{1}{b} + \frac{1}{2} . c }{ 3 . \frac{1}{b} } \times \frac{2b}{2b} \\ & = \frac{2 + b c }{ 6 } \end{align} $
Jadi, diperoleh $ \log _8 \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} + \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \right) = \frac{2 + b c }{ 6 } . \heartsuit $ .
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.