Pembahasan Soal SNMPTN Matematika Dasar kode 179 tahun 2011 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Jika $\overline{p} \,$ adalah negasi dari $p$ , maka kesimpulan dari pernyataan-pernyataan : $p \Rightarrow \overline{q} \, $ dan $\, q \vee \overline{r} $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Silogisme : (sisi yang bersilangan sama dan bisa dicoret)
$ \begin{array}{c} A \Rightarrow B \\ B \Rightarrow C \\ \hline \therefore \, A \Rightarrow C \end{array} $
$\spadesuit \, $ Mengubah implikasi ($\Rightarrow $) menjadi disjungsi ($\vee$) atau sebaliknya.
Caranya adalah : yang depan dikasih ingkaran/negasi , yang belakang tetap.
$\, q \vee \overline{r} \, $ setara dengan $\, \overline{q} \Rightarrow \overline{r} $
$\spadesuit \, $ Menarik kesimpulan :
$ \begin{array}{c} p \Rightarrow \overline{q} \\ q \vee \overline{r} \\ \hline \therefore \end{array} \, $ atau setara dengan $ \, \begin{array}{c} p \Rightarrow \overline{q} \\ \overline{q} \Rightarrow \overline{r} \\ \hline \therefore \, p \Rightarrow \overline{r} \end{array} $
Sehingga kesimpulannya : $ p \Rightarrow \overline{r} \, $ atau setara dengan $\, \overline{p} \, \vee \, \overline{r}$
Jadi, kesimpulannya adalah $ \overline{p} \, \vee \, \overline{r} . \heartsuit $
Nomor 12
Karyawan pada suatu perusahaan dibedakan menjadi tiga golongan. Karyawan golongan A akan memperoleh gaji per bulan sebesar sepertiga dari gaji karyawan golongan B, sedangkan karyawan golongan C dibayar per bulan sebesar setengah dari gaji karyawan golongan B. Penghasilan karyawan golongan C selama 4 bulan akan sama dengan penghasilan karyawan golongan A selama ...
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan yang terbentuk :
$A = \frac{1}{3} B \, $ dan $\, C = \frac{1}{2} B $ .
$\clubsuit \, $ Penghasilan C selama 4 bulan akan sama dengan penghasilan A selama $n$ bulan. Persamaannya : $4C = n A $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $n$ dari persamaan yang diketahui :
$\begin{align} 4C & = n A \\ 4.\frac{1}{2} B & = n. \frac{1}{3} B \\ 2B & = \frac{n}{3} B \\ n & = 6 \end{align} $
Jadi, Penghasilan C selama 4 bulan akan sama dengan penghasilan A selama 6 bulan.$ \heartsuit $
Nomor 13
Tiga bilangan bulat positif membentuk barisan aritmetika dengan beda 16. Jika bilangan yang terkecil ditambah 7 dan bilangan yang terbesar ditambah 2, maka diperoleh barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Barisan aritmatika dengan beda 16 :
misalkan : $a, \, a+16 , \, $ dan $\, a+32$
$\spadesuit \, $ bilangan yang terkecil ditambah 7, bilangan yang terbesar ditambah 2 , membentuk barisan geometri :
$a+7, \, a+16 , \, $ dan $\, a+32 + 2$
Rasio sama :
$\begin{align} \frac{a+16}{a+7} & = \frac{a+34}{a+16} \\ (a+16)(a+16) & = (a+7)(a+34) \\ a^2 + 32a + 256 & = a^2 + 41a + 238 \\ 41a - 32 a & = 256 - 238 \\ 9a &= 18 \\ a & = \frac{18}{9} = 2 \end{align} $
Sehingga jumlah tiga bilangan tersebut adalah :
$a + (a+16) + (a+32) = 2 + (2+16)+(2+32) = 54 $
Jadi, jumlahnya adalah 54. $ \heartsuit $
Nomor 14
Jika $A$ adalah matriks 2$\times$2 yang memenuhi $A\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \, $ dan $\, A\left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) $ , maka hasil kali $\, A\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) $ adalah ...
$\clubsuit \,$ Misalkan : matriks A = $\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right)$
$\clubsuit \,$ Menentukan matriks A :
$\begin{align} A\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ 2a+b & = 1 \, \, \text{...pers(i)} \\ 2c+d & = 0 \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $ dan $\begin{align} A\left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ 4a+6b & = 0 \, \, \text{...pers(iii)} \\ 4c+6d & = 2 \, \, \text{...pers(iv)} \end{align} $
$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(iii), diperoleh : $a=\frac{3}{4} , \, b = - \frac{1}{2}$
$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(ii) dan pers(iv), diperoleh : $c= - \frac{1}{4} , \, d = \frac{1}{2}$
Sehingga matriks A = $\left( \begin{matrix} \frac{3}{4} & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right)$
$\clubsuit \,$ Menentukan hasilnya :
$\begin{align} A\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \frac{3}{4} & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, hasil $ A\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) . \heartsuit $

Cara II
$\clubsuit \,$ tidak perlu menentukan matriks A, akan tetapi langsung memodifikasi yang diketahui.
Persamaan I :
$\begin{align} A\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \, \, \text{(dikali 2)} \\ 2.A\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) & = 2.\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ A\left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \right) \, \, \text{...peis(i)} \end{align} $
Persamaan II :
$\begin{align} A\left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \, \, \text{(dikali 1/2)} \\ \frac{1}{2}.A\left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \right) & = \frac{1}{2}.\left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ A\left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right) \, \, \text{...peis(ii)} \end{align} $
Sehingga dari pers(i) dan pers(ii) :
$ A\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) = \left[ A\left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \right) \, \, A\left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \right] = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
Jadi, hasil $ A\left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) . \heartsuit $
Nomor 15
Jika jumlah 10 suku pertama suatu deret aritmetika adalah 220 dan jumlah 2 suku berturut-turut berikutnya adalah -4, maka jumlah 2 suku pertama deret itu adalah ...
$\spadesuit \, $ Rumus dasar aritmetika :
$U_n = a + (n-1)b \, $ dan $\, S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b) $
$\spadesuit \, $ Jumlah 10 suku pertama adalah 220
$ S_{10} = \frac{10}{2} (2a + (10-1)b) \Rightarrow 220 = 5(2a+9b) $
$ \Rightarrow 2a+9b=44 \, $ ...pers(i)
$\spadesuit \, $ Jumlah 2 suku berturut-turut berikutnya adalah -4
$U_{11}+U_{12} = -4 \Rightarrow (a+10b) + (a+11b) = -4 $
$ \Rightarrow 2a + 21b = -4 \, $ ...pers(ii)
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{array}{cc} 2a + 21b = -4 & \\ 2a+9b=44 & - \\ \hline 12b = -48 \rightarrow b=-4 & \end{array}$
Pers(i) : $2a+9b=44 \Rightarrow 2a+ 9.(-4) = 44 \Rightarrow a = 40 $
$\spadesuit \, $ Jumlah 2 suku pertama :
$ S_2 = \frac{2}{2} (2a + (2-1)b) \Rightarrow S_2 = (2.40 + (-4)) = 76$
Jadi, jumlah 2 suku pertama deret itu adalah 76. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika Dasar kode 179 tahun 2011 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Sistem persamaan linier $\left\{ \begin{array}{c} x+y = 3 \\ -x+3y=1 \\ ax+4by = 4 \end{array} \right. $
mempunyai penyelesaian, jika nilai $a+2b$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{array}{cc} x+y = 3 & \\ -x+3y=1 & + \\ \hline 4y = 4 \Rightarrow y = 1 & \end{array}$
pers(i) : $x + y = 3 \Rightarrow x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2 $
Sehingga solusi sistem persamaan tersebut adalah (2,1).
Substitusi (2,1) ke pers(iii) :
$ax+4by = 4 \Rightarrow a.2+4b.1 = 4 \, \text{(bagi 2)} \Rightarrow a + 2b = 2 $
Jadi, nilai $a + 2b = 2 . \heartsuit $
Nomor 7
Semua nilai $x$ yang memenuhi $\frac{x^2-x+3}{(2x^2-5x-3)(x^2+1)} \leq 0 $ adalah ...
$\clubsuit \, $ Definit positif , Syaratnya : $a > 0 $ dan Diskriminan ($D < 0 $) .
$\clubsuit \, $ Bentuk $ x^2+1 $ :
nilai $a=1 > 0$ dan $D=b^2-4ac = 0^2 - 4.1.1 = -4 < 0 $ .
Ini artinya $ x^2+1 $ adalah definit positif (akan selalu positif untuk semua $x$) .
Karena bentuknya definit positif, maka boleh dicoret tanpa membalik tanda.
Begitu juga bentuk $ x^2-x+3 $ adalah definit positif.
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan pertidaksamaannya :
$\begin{align} \frac{x^2-x+3}{(2x^2-5x-3)(x^2+1)} & \leq 0 \, \, (x^2+1) \, \text{dan} \, (x^2-x+3) \, \text{dicoret} \\ \frac{1}{(2x^2-5x-3)} & \leq 0 \\ \frac{1}{(2x +1)(x - 3)} & \leq 0 \\ x = - \frac{1}{2} \, & \vee \, x=3 \end{align} $
snmptn_matdas_k179_5_2011.png
Akar penyebut tidak boleh ikut, sehingga bolong seperti pada gambar.
Jadi, solusinya adalah HP $=\{ -\frac{1}{2} < x < 3 \} . \heartsuit$

Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align*} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow \frac{x^2-x+3}{(2x^2-5x-3)(x^2+1)} & \leq 0 \\ \frac{0^2-0+3}{(2.0^2-5.0-3)(0^2+1)} & \leq 0 \\ -1 & \leq 0 \, \, \text{(pasti benar)} \end{align*}$
yang ada $x=0$ benar, opsi yang salah adalah C, D, dan E.
$\begin{align*} \text{Pilih} \, x=1 \Rightarrow \frac{x^2-x+3}{(2x^2-5x-3)(x^2+1)} & \leq 0 \\ \frac{1^2-1+3}{(2.1^2-5.1-3)(1^2+1)} & \leq 0 \\ -\frac{1}{6} & \leq 0 \, \, \text{(pasti benar)} \end{align*}$
yang ada $x=1$ benar, opsi yang salah adalah B.
Jadi, opsi yang benar adalah A yaitu HP $=\{ -\frac{1}{2} < x < 3 \} . \heartsuit$
Nomor 8
Nilai $\cos ^2(30^o) + \cos ^2(40^o) + \cos ^2(50^o) + \cos ^2(60^o) \, $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Rumus dasar :
Sudut komplemen : $\cos x = \sin (90^o - x) $
sehingga diperoleh : $\cos 30^o = \sin 60^o \, $ dan $\cos 40^o = \sin 50^o$
Identitas : $\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1$
$\spadesuit \, $ Mengubah soal :
$\begin{align*} & \cos ^2(30^o) + \cos ^2(40^o) + \cos ^2(50^o) + \cos ^2(60^o) \, \, \text{(sudut komplemen)} \\ & = \sin ^2(60^o) + \sin ^2(50^o) + \cos ^2(50^o) + \cos ^2(60^o) \, \, \text{(dikelompokkan)} \\ & = [\sin ^2(60^o) + \cos ^2(60^o) ] + [ \sin ^2(50^o) + \cos ^2(50^o) ] \, \, \text{(identitas)} \\ & = 1 + 1 \\ & = 2 \end{align*}$
Jadi, nilai $\cos ^2(30^o) + \cos ^2(40^o) + \cos ^2(50^o) + \cos ^2(60^o) = 2 .\heartsuit$
Nomor 9
Diagram berikut menunjukkan persentase kelulusan siswa tiga sekolah selama empat tahun.
snmptn_matdas_k179_2_2011.png
Berdasarkan diagram di atas, pernyataan berikut yang benar adalah ...
$\clubsuit \, $ Perhatikan diagram di atas :
Berdasarkan diagram, maka persentase kelulusan sekolah B selalu lebih baik dari pada tahun sebelumnya, dengan kata lain sekolah B kelulusannya selalu meningkat dari tahun sebelumnya.
Jadi, jawabannya E. $\heartsuit $
Nomor 10
Jika $f(x)=x+2$ dan $g(x)=\frac{x}{x+5}$ , maka nilai $(g^{-1}of)(4)$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Rumus invers : $g(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \Rightarrow g^{-1}(x) = \frac{dx-b}{-cx+a}$
Sehingga , $g(x) = \frac{x}{x+5} \Rightarrow g^{-1}(x) = \frac{5x}{-x+1}$
$\spadesuit \, $ Menentukan $(g^{-1}of)(4)$
$\begin{align*} (g^{-1}of)(x) & = g^{-1}(f(x)) \\ & = g^{-1}(x+2) \\ (g^{-1}of)(x) & = \frac{5(x+2)}{-(x+2)+1} \\ \\ (g^{-1}of)(4) & = \frac{5(4+2)}{-(4+2)+1} = \frac{5.6}{-6+1} = \frac{30}{-5} = -6 \end{align*}$
Jadi, nilai $(g^{-1}of)(4) = -6. \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika Dasar kode 179 tahun 2011


Nomor 1
Jika $6(3^{40})(^2 \log a)+ 3^{41}(^2 \log a)=3^{43}$ , maka nilai $a$ adalah ...
$\clubsuit \, $ Rumus dasar : $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \, $ dan $\, a^m . a^n = a^{m+n} $
Definisi logaritma : $^b \log a = c \Leftrightarrow a = b^c $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan persamaan :
$\begin{align} 6(3^{40})(^2 \log a)+ 3^{41}(^2 \log a) & = 3^{43} \\ 2.3.(3^{40})(^2 \log a)+ 3^{41}(^2 \log a) & = 3^{43} \, \, (\text{dibagi } \, 3^{41} \, ) \\ \frac{2.(3^{41})(^2 \log a)}{3^{41}}+ \frac{ 3^{41}(^2 \log a) }{3^{41}} & = \frac{3^{43}}{3^{41}} \\ 2.(^2 \log a) + (^2 \log a) & = 3^2 \\ 3.(^2 \log a) & = 9 \\ (^2 \log a) & = 3 \\ a & = 2^3 \\ a & = 8 \end{align}$
Jadi, nilai $a=8 . \, \heartsuit $
Nomor 2
Jika 2 adalah satu-satunya akar persamaan kuadrat $\frac{1}{4}x^2+bx+a=0, \, $ maka nilai $a+b$ adalah ...
$\spadesuit \, $ 2 adalah satu-satunya akar, artinya akarnya sama/kembar : $x_1=2, \, x_2=2$
$\spadesuit \, $ Rumus jumlah dan kali akar-akar :
$x_1+x_2 = \frac{-b}{a} \Rightarrow 2 + 2 = \frac{-b}{\frac{1}{4}} \Rightarrow 4 = -4b \Rightarrow b = -1 $
$x_1.x_2 = \frac{c}{a} \Rightarrow 2 . 2 = \frac{a}{\frac{1}{4}} \Rightarrow 4 = 4a \Rightarrow a = 1 $
Sehingga , $a+b = 1 + (-1) = 0 $
Jadi, nilai $a+b = 0 . \heartsuit $
Nomor 3
Bangun berikut adalah suatu persegi.
snmptn_matdas_k179_1_2011.png
Jika luas persegi A, B, dan C berturut-turut adalah 16, 36, dan 9, maka luas daerah yang diarsir adalah ...
snmptn_matdas_k179_3_2011.png
$\clubsuit \, $ Menentukan luas persegi besar dan luas D :
Luas persegi besar : Luas Besar = 13 $\times$ 13 = 169
Daerah D adalah segitiga dengan panjang alas 6 dan tingginya 7
Luas D = $\frac{1}{2}at = \frac{1}{2}.6.7=21$
$\clubsuit \, $ Menentukan Luas arsiran :
$\begin{align} \text{Luas Arsir} \, & = \, \text{Luas Besar} - (\text{Luas A + Luas B + Luas C + Luas D}) \\ &= 169 - (16+36+9+21) \\ &= 169 - 82 \\ & = 87 \end{align}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 87. $\heartsuit $
Nomor 4
Fungsi $f(x,y)=cx+4y$ dengan kendala : $2x+y \geq 10, \, x+2y \geq 8 , \, x \geq 0 , \, $ dan $\, y \geq 0, \, $ mencapai minimum di (4,2), jika ...
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan program linier dengan metode gradien :
$\spadesuit \, $ Cek letak titik (4,2) ke persamaan dengan cara substitusi
$2x+y = 2.4+2=10 \, $ (benar) dan $x+2y = 4+2.2=8 \, $ (benar) ,
artinya titik (4,2) ada pada perpotongan kedua garis.
$\spadesuit \, $ Menentukan gradien : $ax + by = c \Rightarrow m (\text{gradien})=\frac{-a}{b}$
$2x+y = 10 \Rightarrow m_1 = \frac{-2}{1} = -2 $
$x+2y = 8 \Rightarrow m_2 = \frac{-1}{2} $
gradien fungsi tujuan : $f(x,y)=cx+4y \Rightarrow m = \frac{-c}{4} $
$\spadesuit \, $ Berdasarkan Metode gradien menyatakan :
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi tujuan/sasaran/objektif terletak pada perpotongan kedua garis jika dan hanya jika gradien fungsi tujuannya terletak diantara gradien garis kendalanya.
$\spadesuit \, $ Menentukan interval $c$ berdasarkan Metode gradien :
$\begin{align} m_1 \leq & m \leq m_2 \\ -2 \leq & \frac{-c}{4} \leq \frac{-1}{2} \, \, \text{(kali 4)} \\ -8 \leq & -c \leq -2 \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\ 8 \geq & c \geq 2 \\ \text{(atau)} & \\ 2 \leq & c \leq 8 \end{align}$
Jadi, interval $c$ adalah $2 \leq c \leq 8. \heartsuit $
Nomor 5
Jika grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^2+bx+c$ dengan titik puncak (5,-4) memotong sumbu-X positif dan sumbu-X negatif, maka ...
$\clubsuit \, $ Deskripsi gambarnya :
snmptn_matdas_k179_4_2011.png
Dari gambar, kurva hadap ke atas atau nilai minimum, sehingga nilai $a$ adalah positif ($a > 0 $)
$c$ adalah titik potong kurva terhadap sumbu-Y (saat $x=0$), karena kurva memotong sumbu-Y di bawah , maka nilai $c$ adalah negatif ($c < 0 $) .
$\clubsuit \, $ Operasi $a$ dan $c$ yang pasti :
$a - c > 0 \, $ (positif dikurangi negatif hasilnya positif) ,
$\, c - a < 0 $ (negatif dikurangi positif hasilnya negatif) ,
$a \times c < 0 $ (positif dikali negatif hasilnya negatif) , dan
$\frac{a}{c} < 0 $ (positif dibagi negatif hasilnya negatif) , atau
$\frac{c}{a} < 0 $ (negatif dibagi positif hasilnya negatif)
Jadi, nilai yang pasti adalah $a - c > 0 . \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15