Kamis, 07 Januari 2016

Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2015 Nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Diberikan dua persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} x^2 + ax + 1 = 0 \\ x^2 + x + a = 0 \end{array} \right. $
dengan $ a \neq 1. \, $ Agar dua persamaan tersebut mempunyai akar berserikat, maka nilai $ a \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Dua persamaan mempunyai akar berserikat artinya akar-akar masing-masing persamaan ada yang sama.
$\spadesuit \, $ Kedua akarnya ada yang sama sehingga bisa langsung kita eliminasi.
$ \begin{array}{cc} x^2 + ax + 1 = 0 & \\ x^2 + x + a = 0 & - \\ \hline (a-1)x - (a-1) = 0 & \end{array} $
Dari bentuk $ (a-1)x - (a-1) = 0 \, \, \, \, $ kita peroleh nilai $ x = 1 $.
$\spadesuit \, $ Substitusi $ x = 1 \, $ ke salah satu persamaan
$\begin{align} x = 1 \rightarrow x^2 + ax + 1 & = 0 \\ 1^2 + a.1 + 1 & = 0 \\ a + 2 & = 0 \\ a & = -2 \end{align} $
Jadi, kita peroleh nilai $ a = -2 . \, \heartsuit $
Nomor 7
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \frac{(x^2-9)\sqrt{x+2}}{x+\sqrt{(x+2)^2}} \leq 0 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Syarat bentuk akar
Jika ada bentuk $ \sqrt{f(x)} , \, $ maka harus terpenuhi syarat $ f(x) \geq 0 $.
$\clubsuit \, $ Syarat bentuk akarnya dari pertidaksamaan
*). Bentuk $ \sqrt{x+2} \, $ , syaratnya $ x + 2 \geq 0 \rightarrow x \geq -2 $.
*). Bentuk $ \sqrt{(x+2)^2} \, $ , syaratnya $ (x+2)^2 \geq 0 \rightarrow x \in R \, $ (terpenuhi untuk semua bilangan real).
Dari kedua syarat bentuk akar di atas, yang memenuhi keduanya adalah $ HP_1 = \{ x \geq -2 \} $.
$\clubsuit \, $ Menentukan akar-akar pertidaksamaan dari $ \frac{(x^2-9)\sqrt{x+2}}{x+\sqrt{(x+2)^2}} \leq 0 $
Akar pembilangnya :
$\begin{align} (x^2-9)\sqrt{x+2} & = 0 \\ x^2 - 9 & = 0 \rightarrow x^2 = 9 \rightarrow x = \pm 3 \\ \sqrt{x+2} & = 0 \rightarrow x + 2 = 0 \rightarrow x = -2 \end{align}$
Akar penyebutnya :
$\begin{align} x+\sqrt{(x+2)^2} & = 0 \\ x+ (x + 2) & = 0 \\ 2x & = -2 \\ x & = -1 \end{align}$
Garis bilangan dari semua akar-akarnya.
um_ugm_matdas_2015_2.png
Akar penyebutnya tidak boleh ikut (bulatannya tidak penuh).
Dari gari bilangan, solusinya adalah daerah yang diarsir (daerah negatif karena $ \leq 0 $).
$ HP_2 = \{ -3 \leq x \leq -2 \vee -1 < x \leq 3 \} $.
$\clubsuit \, $ Solusi akhirnya adalah irisan dari HP1 dan HP2
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ x \geq -2 \} \cap \{ -3 \leq x \leq -2 \vee -1 < x \leq 3 \} \\ & = \{ -1 < x \leq 3 \} \end{align}$
Jadi, Himpunan penyelesaiannya : HP $ = \{ -1 < x \leq 3 \} . \, \heartsuit$

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=4 \Rightarrow \frac{(x^2-9)\sqrt{x+2}}{x+\sqrt{(x+2)^2}} & \leq 0 \\ \frac{(4^2-9)\sqrt{4+2}}{x+\sqrt{(4+2)^2}} & \leq 0 \\ \frac{(7)\sqrt{6}}{4 + 6} & \leq 0 \\ \frac{7\sqrt{6}}{10} & \leq 0 \, \, \text{(salah)} \end{align}$
yang ada $x=4$ salah, opsi yang salah adalah B, C dan E.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=-1 \Rightarrow \frac{(x^2-9)\sqrt{x+2}}{x+\sqrt{(x+2)^2}} & \leq 0 \\ \frac{((-1)^2-9)\sqrt{(-1)+2}}{(-1)+\sqrt{(-1+2)^2}} & \leq 0 \\ \frac{(-8)\sqrt{1}}{-1+\sqrt{(1)^2}} & \leq 0 \\ \frac{(-8)\sqrt{1}}{-1+1} & \leq 0 \\ \frac{(-8)\sqrt{1}}{0} & \leq 0 \, \, \text{(salah)} \end{align}$
yang ada $x=-1$ salah, opsi yang salah adalah D.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi A.
Jadi, Himpunan penyelesaiannya : HP $ = \{ -1 < x \leq 3 \} . \, \heartsuit$
Nomor 8
Jika daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan $ x+y \geq 4, \, $ $ ax - y \leq 0 , \, $ $ -x + 5y \leq 20, \, y \geq 0 \, $ berbentuk bidang segitiga siku-siku dengan siku-siku pada titik potong garis $ x + y = 4 \, $ dan $ ax - y = 0 \, $, maka maksimum $ f = 3x + 2y \, $ dengan kendala sistem pertidaksamaan di atas adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar
*). Dua garis tegak lurus, maka $ m_1.m_2 = -1 $.
*). Gradien garis $ ax + by = c \, $ adalah $ m = \frac{-a}{b} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
Garis I : $ x + y = 4 \rightarrow m_1 = \frac{-1}{1} = -1 $
Garis II : $ ax - y = 0 \rightarrow m_2 = \frac{-a}{-1} = a $
Kedua garis tegak lurus sehingga :
$\begin{align} m_1 . m_2 & = -1 \rightarrow (-1).a = -1 \rightarrow a = 1 \end{align} $
Sehingga fungsi kendala/batasannya menjadi dan titik potong sumbu X dan Y :
Garis I : $ x + y \geq 4 \rightarrow (0,4), \, (4,0) $
Garis II : $ ax - y \leq 0 \rightarrow x - y \leq 0 \rightarrow (0,0), \, (1,1) $
Garis III : $ -x + 5y \leq 20 \rightarrow (0,4), \, (-20,0) $
dan $ y \geq 0 $.
Gambar daerah penyelesaiannya (DHP) :
um_ugm_matdas_2015_3.png
$\spadesuit \, $ Menentukan titik-titik pojoknya (titik A, B, dan C)
*). Titik A , eliminasi pers(I) dan pers(II)
$ \begin{array}{cc} x + y = 4 & \\ x - y = 0 & + \\ \hline x = 2, \, y = 2 \end{array} $
Sehingga titik A(2,2).
*). Titik B , eliminasi pers(II) dan pers(III)
$ \begin{array}{cc} x - y = 0 & \\ -x + 5y = 20 & + \\ \hline x = 5, \, y = 5 \end{array} $
Sehingga titik B(5,5).
Dan titik C(0,4).
$\spadesuit \, $ Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya : $ f(x,y) = 3x + 2y $
$\begin{align} A(2,2) \rightarrow f & = 3.2 + 2.2 = 10 \\ B(5,5) \rightarrow f & = 3.5 + 2.5 = 25 \\ C(0,4) \rightarrow f & = 3.0 + 2.4 = 8 \end{align} $
Jadi, nilai maksimumnya adalah 25. $ \, \heartsuit $
Nomor 9
Pada sebuah deret geometri diketahui suku ke-6 adalah 162 dan jumlah logaritma dari suku ke-2, ke-3, ke-4, dan ke-5 sama dengan $ 4 \, \log 2 + 6 \, \log 3 . \, $ Jika suku awal positif, suku ke-4 deret tersebut adalah .....
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar
*). Barisan geometri : $ u_n = ar^{n-1} $
*). Sifat log : $ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b \, $ dan $ \, {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan
*). Persamaan pertama :
$\begin{align} u_6 = 162 \rightarrow ar^5 & = 162 \\ a & = \frac{162}{r^5} \\ a & = \frac{2 . 3^4}{r^5} \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
*). Persamaan kedua :
jumlah logaritma dari suku ke-2, ke-3, ke-4, dan ke-5 sama dengan $ 4 \, \log 2 + 6 \, \log 3 . \, $
$\begin{align} \log u_2 + \log u_3 + \log u_4 + \log u_5 & = 4 \log 2 + 6 \log 3 \\ \log ar + \log ar^2 + \log ar^3 + \log ar^4 & = \log 2^4 + \log 3^6 \\ \log (ar . ar^2 . ar^3 . ar^4 ) & = \log (2^4 . 3^6 ) \\ \log a^4r^{10} & = \log (2^4 . 3^6 ) \\ a^4r^{10} & = 2^4 . 3^6 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align} a^4r^{10} & = 2^4 . 3^6 \\ \left( \frac{2 . 3^4}{r^5} \right)^4r^{10} & = 2^4 . 3^6 \\ \left( \frac{2^4 . 3^{16}}{r^{20}} \right) r^{10} & = 2^4 . 3^6 \\ \left( \frac{ 3^{10}}{r^{10}} \right) & = 1 \\ r^{10} & = 3^{10} \\ r & = 3 \end{align}$
Pers(i) : $ a = \frac{2 . 3^4}{r^5} = \frac{2 . 3^4}{3^5} = \frac{2 }{3} $
$\clubsuit \, $ Menentukan suku ke-4
$\begin{align} u_4 & = ar^3 \\ & = \frac{2}{3} . 3^3 \\ & = 2 . 9 = 18 \end{align}$
Jadi, nilai suku ke-4 nya adalah 18. $ \, \heartsuit $
Nomor 10
Dalam suatu barisan artimatika, perbandingan jumlah 5 suku pertama dan jumlah 10 suku pertama adalah 2 : 3. Jika $ U_n \, $ menyatakan suku ke-$n$ , maka nilai $ \log \left( \frac{U_5}{U_{10}} - 4 \frac{U_{10}}{U_5} \right) = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar
*). Barisan aritmetika :
$ u_n = a + (n-1)b \, $ dan $ s_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b) $
*). Sifat logaritma : $ {}^a \log \frac{b}{c} = \log b - \log c $
$\spadesuit \, $ Menentukan hubungan $ a \, $ dan $ b $
$\begin{align} \frac{\text{jumlah 5 suku pertama}}{\text{jumlah 10 suku pertama}} & = \frac{2}{3} \\ \frac{ s_5 }{ s_{10} } & = \frac{2}{3} \\ \frac{ \frac{5}{2} (2a + 4b) }{ \frac{10}{2} (2a + 9b) } & = \frac{2}{3} \\ \frac{ (2a + 4b) }{ 2(2a + 9b) } & = \frac{2}{3} \\ 3(2a + 4b) & = 2. 2(2a + 9b) \\ 6a + 12b & = 8a + 36b \\ -2a & = 24b \\ a & = -12b \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi bentuk $ a = -12b \, $ ke pertanyaan
$\begin{align} \log \left( \frac{U_5}{U_{10}} - 4 \frac{U_{10}}{U_5} \right) & = \log \left( \frac{a + 4b}{a + 9b} - 4 . \frac{a + 9b}{a + 4b} \right) \\ & = \log \left( \frac{-12b + 4b}{-12b + 9b} - 4 . \frac{-12b + 9b}{-12b + 4b} \right) \\ & = \log \left( \frac{-8b}{-3b} - 4 . \frac{-3b}{-8b} \right) \\ & = \log \left( \frac{8}{3} - 4 . \frac{3}{8} \right) \\ & = \log \left( \frac{8}{3} - \frac{3}{2} \right) \\ & = \log \left( \frac{16-9}{6} \right) \\ & = \log \left( \frac{7}{6} \right) \\ & = \log 7 - \log 6 \end{align}$
Jadi, diperoleh $ \log \left( \frac{U_5}{U_{10}} - 4 \frac{U_{10}}{U_5} \right) = \log 7 - \log 6 . \, \heartsuit $ 
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Tidak ada komentar:

Posting Komentar