Rabu, 06 Januari 2016

Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2015


Nomor 1
Jika $ x = \left( p^{-\frac{1}{2}} - q^{-\frac{1}{2}} \right) \left( p^{-1} + q^{-1} + 2(pq)^{-\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{2}} \, $ dan $ \, y = \left( p+q \right)^{-2} \left( p^{-1} - q^{-1} \right) \, $ dengan $ p,q > 0 , p \neq q , \, $ maka $ \frac{x}{y} = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar
*). Bentuk Pemfaktoran
$ a^2 + b^2 + 2ab = (a+b)^2 $
$ (a^n-b^n)(a^n + b^n ) = (a^{n})^2 - (b^{n})^2 $
Sehingga bentuk :
$\begin{align} p^{-1} + q^{-1} + 2(pq)^{-\frac{1}{2}} & = \left( p^{-\frac{1}{2}} \right)^2 + \left( q^{-\frac{1}{2}} \right)^2 + 2\left( p^{-\frac{1}{2}} .q^{-\frac{1}{2}} \right) \\ & = \left( p^{-\frac{1}{2}} + q^{-\frac{1}{2}} \right)^2 \end{align}$
*). Sifat Eksponen : $ \, a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan bentuk $ x $
$\begin{align} x & = \left( p^{-\frac{1}{2}} - q^{-\frac{1}{2}} \right) \left( p^{-1} + q^{-1} + 2(pq)^{-\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{2}} \\ & = \left( p^{-\frac{1}{2}} - q^{-\frac{1}{2}} \right) \left( \left( p^{-\frac{1}{2}} + q^{-\frac{1}{2}} \right)^2 \right)^{\frac{1}{2}} \\ & = \left( p^{-\frac{1}{2}} - q^{-\frac{1}{2}} \right) \left( p^{-\frac{1}{2}} + q^{-\frac{1}{2}} \right) \\ & = \left( p^{-\frac{1}{2}} \right)^2 - \left( q^{-\frac{1}{2}} \right)^2 \\ & = p^{-1} - q^{-1} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan bentuk $ \frac{x}{y} $
$\begin{align} \frac{x}{y} & = \frac{ \left( p^{-1} - q^{-1} \right) }{ \left( p+q \right)^{-2} \left( p^{-1} - q^{-1} \right) } \\ & = \frac{ 1 }{ \left( p+q \right)^{-2} } \\ & = (p+q)^2 \end{align}$
Jadi, diperoleh $ \frac{x}{y} = (p+q)^2 . \, \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ \sqrt[3]{4.2^{3-x}} = 2^{y-3} \, $ dan $ \, {}^3 \log (2x +y) = -\frac{5}{2} {}^9 \log \left( \frac{1}{4} \right) . {}^{32} \log 64 $ , maka nilai $ x^2 - y + 1 = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep Eksponen dan Logaritma
*). Eksponen :
$ a^m . a^n = a^{m+n} , \, \, \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} $
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $.
*). Logaritma :
$ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b , \, \, {}^a \log b^n = n. {}^a \log b $
$ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan Persamaan
Persamaan Pertama :
$\begin{align} \sqrt[3]{4.2^{3-x}} & = 2^{y-3} \\ (2^2.2^{3-x})^\frac{1}{3} & = 2^{y-3} \\ 2^\frac{5-x}{3} & = 2^{y-3} \\ \not{2}^\frac{5-x}{3} & = \not{2}^{y-3} \\ \frac{5-x}{3} & = {y-3} \\ 5 - x & = 3y - 9 \\ x + 3y & = 14 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
Persamaan Kedua :
$\begin{align} {}^3 \log (2x +y) & = -\frac{5}{2} . {}^9 \log \left( \frac{1}{4} \right) . {}^{32} \log 64 \\ {}^3 \log (2x +y) & = -\frac{5}{2} . {}^{3^2} \log 2^{-2} . {}^{2^5} \log 2^6 \\ {}^3 \log (2x +y) & = -\frac{5}{2} . \frac{-2}{2} . \frac{6}{5} . {}^{3 } \log 2 . {}^{2 } \log 2 \\ {}^3 \log (2x +y) & = 3 . {}^{3 } \log 2 . 1 \\ {}^3 \log (2x +y) & = 3 . {}^{3 } \log 2 \\ {}^3 \log (2x +y) & = {}^{3 } \log 2^3 \, \, \, \, \, \, \text{(coret log nya)} \\ (2x +y) & = 2^3 \\ 2x +y & = 8 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} x + 3y = 14 & \text{ kali 2 } & 2x + 6y = 28 & \\ 2x +y = 8 & \text{ kali 1 } & 2x +y = 8 & - \\ \hline & & 5y = 20 & \\ & & y = 4 & \end{array}$
Pers(i) : $ x + 3y = 14 \rightarrow x + 3.4 = 14 \rightarrow x = 2 $
Sehingga nilai $ x^2 - y + 1 = 2^2 - 4 + 1 = 1 $
Jadi, nilai $ x^2 - y + 1 = 1. \, \heartsuit $
Nomor 3
Jika persamaan kuadrat $ 3x^2 + x - 3 = 0 \, $ mempunyai akar-akar $ \alpha \, $ dan $ \beta $, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya $ 2 + \frac{1}{\alpha + 1} \, $ dan $ 2 + \frac{1}{\beta + 1} \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar pada persamaan kuadrat (PK),
*). Menyusun Persamaan Kuadrat Baru (PKB)
Rumus dasar menyusun PKB : $ x^2 - (HJ)x + (HK) = 0 $
Dengan HJ = Hasil Jumlah dan HK = Hasil Kali.
*). PK : $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ memiliki akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 $
Operasi akar-akarnya : $ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
$\clubsuit \, $ PK : $ 3x^2 + x - 3 = 0 \, $ akar-akarnya $ \alpha \, $ dan $ \beta $
Operasi akar-akarnya :
$ \alpha + \beta = \frac{-1}{3} \, $ dan $ \alpha . \beta = \frac{-3}{3} = -1 $
$\clubsuit \, $ Menghitung beberapa operasi,
$\begin{align} (\alpha + 1)(\beta + 1) & = \alpha . \beta + (\alpha + \beta ) + 1 \\ & = -1 + \frac{-1}{3} + 1 = \frac{-1}{3} \\ (\alpha + 1) + (\beta + 1) & = (\alpha + \beta ) + 2 \\ & = \frac{-1}{3} + 2 = \frac{5}{3} \\ \frac{1}{\alpha + 1} + \frac{1}{\beta + 1} & = \frac{(\alpha + 1) + (\beta + 1)}{(\alpha + 1)(\beta + 1)} \\ & = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{-1}{3}} = -5 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai HJ dan HK dengan akar-akar $ 2 + \frac{1}{\alpha + 1} \, $ dan $ 2 + \frac{1}{\beta + 1} $
$\begin{align} HJ & = \left( 2 + \frac{1}{\alpha + 1} \right) + \left( 2 + \frac{1}{\beta + 1} \right) \\ & = 4 + \left( \frac{1}{\alpha + 1} + \frac{1}{\beta + 1} \right) \\ & = 4 + (-5) \\ & = -1 \\ HK & = \left( 2 + \frac{1}{\alpha + 1} \right) \left( 2 + \frac{1}{\beta + 1} \right) \\ & = 4 + \left( \frac{2}{\alpha + 1} + \frac{2}{\beta + 1} \right) + \left( \frac{1}{\alpha + 1} . \frac{1}{\beta + 1} \right) \\ & = 4 + 2 \left( \frac{1}{\alpha + 1} + \frac{1}{\beta + 1} \right) + \frac{1}{(\alpha + 1)(\beta + 1)} \\ & = 4 + 2 \left( -5 \right) + \frac{1}{\frac{-1}{3}} \\ & = 4 + (-10) + (-3) \\ & = -9 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan kuadratnya dengan HJ = $ -1 $ dan HK = $ -9 $
$\begin{align} x^2 - (HJ)x + (HK) & = 0 \\ x^2 - (-1)x + (-9) & = 0 \\ x^2 + x - 9 & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah $ x^2 + x - 9 = 0 . \, \heartsuit $
Nomor 4
Parabola $ y = ax^2 + bx + c , \, a > 0 \, $ memotong sumbu X pada $ x = p \, $ dan $ x = 2p, \, p \neq 0 . \, $ Nilai $ c - b > 0 \, $ terpenuhi apabila ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar pada fungsi kuadrat (FK)
Menyusun fungsi kuadrat (fk) yang diketahui memotong sumbu X di $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ adalah $ y = a(x-x_1)(x-x_2) $
$\spadesuit \, $ FK : $ y = ax^2 + bx + c \, $ dengan $ x_1 = p \, $ dan $ x_2 = 2p $
Menyusun FK nya :
$\begin{align} y & = a(x-x_1)(x-x_2) \\ y & = a(x-p)(x-2p) \\ & = a(x^2 -3px + 2p^2) \\ & = ax^2 -3pax + 2p^2a \end{align}$
Bentuk $ y = ax^2 -3pax + 2p^2a \, $ sama dengan bentuk $ y = ax^2 + bx + c $
Sehingga $ b = -3ap \, $ dan $ c = 2p^2 a $
$\spadesuit \, $ Menentukan interval $ p \, $ dengan $ b = -3ap \, $ dan $ c = 2p^2 a $
$\begin{align} c - b & > 0 \\ 2p^2 a - (-3ap) & > 0 \\ 2p^2 a + 3ap & > 0 \\ ap(2p + 3) & > 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi } a) \\ p(2p + 3) & > 0 \\ p = 0 \vee p & = -\frac{3}{2} \end{align}$
gambar garis bilangannya :
um_ugm_matdas_2015_1baru.png
Karena yang diminta lebih besar dari nol ($ > 0$) maka intervalnya adalah yang positif yaitu interval $ x < -\frac{3}{2} \vee x > 0 . $
Jadi, interval nilai $ p \, $ adalah $ x < -\frac{3}{2} \vee x > 0 . \, \heartsuit $
Nomor 5
Jika $ \{ (x,y,z)\} \, $ adalah himpunan penyelesaian sistem persamaan
      $ \left\{ \begin{array}{c} 2x + 2y = 6 \\ x - 3z = -8 \\ x + 5y = 11 \end{array} \right. $
maka nilai $ x + y + z = ... . $
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
pers(i) : $ 2x + 2y = 6 \rightarrow x + y = 3 $
$\begin{array}{cc} x + y = 3 & \\ x + 5y = 11 & - \\ \hline -4y = - 8 & \\ y = 2 & \end{array}$
Pers(i) : $ x + y = 3 \rightarrow x + 2 = 3 \rightarrow x = 1 $
Pers(ii) : $ x - 3z = -8 \rightarrow 1 - 3z = -8 \rightarrow z = 3 $
Sehingga nilai $ x + y + z = 1 + 2 + 3 = 6 $.
Jadi, nilai $ x + y + z = 6. \, \heartsuit$ 
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar