Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2010 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Jika $ x \, $ dan $ y \, $ memenuhi $ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{5}{2} \, $ dan $ x - 3y = 1 \, $ , maka $ 5x + 5y = .... $
$\spadesuit \, $ Persamaan pertama :
$ x - 3y = 1 \rightarrow x = 3y + 1 $
$\spadesuit \, $ Substitusi $ x = 3y + 1 \, $ ke persamaan kedua
$\begin{align} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} & = \frac{5}{2} \\ \frac{x^2 + y^2}{xy} & = \frac{5}{2} \\ 2(x^2 + y^2) & = 5xy \\ 2[(3y + 1)^2 + y^2] & = 5(3y + 1)y \\ 2[9y^2 + 6y + 1 + y^2] & = 15y^2 + 5y \\ 2[10y^2 + 6y + 1 ] & = 15y^2 + 5y \\ 20y^2 + 12y + 2 & = 15y^2 + 5y \\ 5y^2 + 7y + 2 & = 0 \\ (5y+2)(y+1) & = 0 \\ y = - \frac{2}{5} \vee y & = -1 \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x \, $ dan $ 5x+5y = 5(x+y) $
*). Untuk $ y = -1 $
$\begin{align} x & = 3y + 1 \\ & = 3. (-1) + 1 \\ & = -2 \end{align} $
Sehingga nilai $ 5x + 5y $ :
$\begin{align} 5x+5y & = 5(x+y) \\ & = 5(-2 + (-1)) \\ & = 5(-3) \\ & = -15 \end{align} $

*). Untuk $ y = -\frac{2}{5} $
$\begin{align} x & = 3y + 1 \\ & = 3. (-\frac{2}{5}) + 1 \\ & = -\frac{1}{5} \end{align} $
Sehingga nilai $ 5x + 5y $ :
$\begin{align} 5x+5y & = 5(x+y) \\ & = 5[-\frac{1}{5} + -\frac{2}{5}] \\ & = 5(-\frac{3}{5}) \\ & = -3 \end{align} $
Jadi, nilai $ 5x + 5y \, $ adalah $ \, -15 \, $ atau $ \, -3 . \, \heartsuit $
Nomor 7
Himpunan penyelesaian dari $ \sqrt{2x + 2} - \sqrt{6x - 8 } \geq 0 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Syarat bentuk akar
Jika ada bentuk $ \sqrt{f(x)} , \, $ maka harus terpenuhi syarat $ f(x) \geq 0 $.
$\clubsuit \, $ Syarat bentuk akarnya dari pertidaksamaan
*). Bentuk $ \sqrt{2x + 2} \, $ , syaratnya $ 2x + 2 \geq 0 \rightarrow x \geq -1 $.
*). Bentuk $ \sqrt{6x - 8 } \, $ , syaratnya $ 6x - 8 \geq 0 \rightarrow x \geq \frac{4}{3} $
Dari kedua syarat bentuk akar di atas, yang memenuhi keduanya adalah $ HP_1 = \{ x \geq \frac{4}{3} \} $.
$\clubsuit \, $ Solusi umum pertidaksamaan dengan dikuadratkan
$\begin{align} \sqrt{2x + 2} - \sqrt{6x - 8 } & \geq 0 \\ \sqrt{2x + 2} & \geq \sqrt{6x - 8 } \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\sqrt{2x + 2})^2 & \geq (\sqrt{6x - 8 })^2 \\ 2x + 2 & \geq 6x - 8 \\ -4x & \geq -10 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -4, tanda dibalik)} \\ x & \leq \frac{-10}{-4} \\ x & \leq \frac{5}{2} \end{align}$
Kita peroleh : $ HP_2 = \{ x \leq \frac{5}{2} \} $
$\clubsuit \, $ Solusi akhirnya adalah irisan dari HP1 dan HP2
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ x \geq \frac{4}{3} \} \cap \{ x \leq \frac{5}{2} \} \\ & = \{ \frac{4}{3} \leq x \leq \frac{5}{2} \} \end{align}$
Jadi, Himpunan penyelesaiannya : HP $ = \{ \frac{4}{3} \leq x \leq \frac{5}{2} \} . \, \heartsuit$

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow \sqrt{2x + 2} - \sqrt{6x - 8 } & \geq 0 \\ \sqrt{2.0 + 2} - \sqrt{6.0 - 8 } & \geq 0 \\ \sqrt{ 2} - \sqrt{ - 8 } & \geq 0 \, \, \, \, \text{(salah)} \end{align}$
yang ada $x=0$ salah, opsi yang salah adalah A dan C.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=2 \Rightarrow \sqrt{2x + 2} - \sqrt{6x - 8 } & \geq 0 \\ \sqrt{2.2 + 2} - \sqrt{6.2 - 8 } & \geq 0 \\ \sqrt{ 8} - \sqrt{ 4 } & \geq 0 \, \, \, \, \text{(benar)} \end{align}$
yang ada $x=2$ benar, opsi yang salah adalah D.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=3 \Rightarrow \sqrt{2x + 2} - \sqrt{6x - 8 } & \geq 0 \\ \sqrt{2.3 + 2} - \sqrt{6.3 - 8 } & \geq 0 \\ \sqrt{ 8} - \sqrt{ 10 } & \geq 0 \, \, \, \, \text{(salah)} \end{align}$
yang ada $x=3$ salah, opsi yang salah adalah B.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi E (yang tersisa).
Jadi, Himpunan penyelesaiannya : HP $ = \{ \frac{4}{3} \leq x \leq \frac{5}{2} \} . \, \heartsuit$
Nomor 8
Nilai minimum $ f(x,y) = 3 + 4x - 5y \, $ untuk $ x $ dan $ y $ yang memenuhi
$ -x + y \leq 1 $
$ x + 2y \geq 5 $
$ 2x + y \geq 10 $
adalah ....
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong garis terhadap sumbu-sumbu
Garis I : $ -x + y \leq 1 \rightarrow (0,1), \, (-1,0) $
Garis II : $ x + 2y \geq 5 \rightarrow (0,\frac{5}{2}), \, (5,0) $
Garis III : $ 2x + y \geq 10 \rightarrow (0,10), \, (5,0) $
$\spadesuit \, $ Gambar daerah penyelesaiannya (DHP) :
um_ugm_matdas_2010_8.png
$\spadesuit \, $ Menentukan titik-titik pojoknya (titik B, dan C)
*). Titik B , eliminasi pers(I) dan pers(III)
$ \begin{array}{cc} -x + y = 1 & \\ 2x + y = 10 & - \\ \hline -3x = -9 & \\ x = 3 & \end{array} $
pers(I) : $ -x + y = 1 \rightarrow -3 + y = 1 \rightarrow y = 4 $
Sehingga titik B(3,4).
*). Titik C , eliminasi pers(I) dan pers(II)
$ \begin{array}{cc} -x + y = 1 & \\ x + 2y = 5 & + \\ \hline 3y = 6 & \\ y = 2 & \end{array} $
pers(I) : $ -x + y = 1 \rightarrow -x + 2 = 1 \rightarrow x = 1 $
Sehingga titik C(1,2).
$\spadesuit \, $ Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya : $ f(x,y) = 3 + 4x - 5y $
$\begin{align} A(5,0) \rightarrow f & = 3 + 4.5 - 5.0 = 23 \\ B(3,4) \rightarrow f & = 3 + 4.3 - 5.4 = -5 \\ C(1,2) \rightarrow f & = 3 + 4.1 - 5.2 = -3 \end{align} $
Jadi, nilai minimumnya adalah $ - 5. \, \heartsuit $
Nomor 9
Tiga bilangan membentuk barisan geometri dengan rasio positif. Jika bilangan kedua ditambah 4, diperoleh barisan aritmetika. Jika bilangan pertama adalah 2, maka jumlah ketiga bilangan semula adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar
*). Barisan geometri : Rasio sama
*). Barisan artimatika : Selisih sama
$\clubsuit \, $ Misalkan barisannya : $ a, b, c $
Suku pertamanya 2, sehingga barisannya : $ 2, b, c $
$\clubsuit \, $ Barisan $ 2, b, c \, $ adalah barisan geometri sehingga rasio sama
$\begin{align} \frac{b}{2} & = \frac{c}{b} \\ b^2 & = 2c \\ c & = \frac{1}{2}b^2 \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Bilangan kedua ditambah 4, barisannya : $ 2, b+4, c $
sehingga terbentuk barisan aritmatika dengan selisih sama.
$\begin{align} (b+4) - 2 & = c - (b+4) \\ 2b - c + 6 & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} c = \frac{1}{2}b^2 \rightarrow 2b - c + 6 & = 0 \\ 2b - \frac{1}{2}b^2 + 6 & = 0 \, \, \, \, \, \text{kali -2)} \\ -4b + b^2 -12 & = 0 \\ b^2 -4b -12 & = 0 \\ (b + 2)(b - 6) & = 0 \\ b = -2 \vee b & = 6 \end{align}$
*). Karena rasio positif, maka yang memenuhi adalah $ b = 6 $
Nilai $ c = \frac{1}{2}b^2 = \frac{1}{2}.6^2 = 18 $
Barisan awalnya : $ 2, b, c \rightarrow 2, 6, 18 $.
*). Jumlah ketiga sukunya : $ 2 + 6 + 18 = 26 $.
Jadi, jumlah ketiga bilangannya adalah 26. $ \, \heartsuit $
Nomor 10
Diketahui $ U_n \, $ adalah suku ke-$n $ suatu barisan aritmetika. Jika untuk setiap bilngan asli $ n $ , nilai $ U_n - U_{n-2} \, $ sama dengan tiga kali suku pertama dan $ \frac{U_3+U_{11}}{U_9 - U_5} = \frac{U_1 + U_3}{3} \, $ , maka $ U_{10} = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar
*). Barisan aritmetika : $ u_n = a + (n-1)b \, $
$\spadesuit \, $ Menentukan hubungan $ a \, $ dan $ b $
Karena berlaku untuk setiap $ n \, $ , maka $ n \, $ bisa kita ganti berapapun nilainya untuk persamaan $ U_n - U_{n-2} = 3U_1 $. Kita substitusi $ n = 3 $ :
$\begin{align} U_n - U_{n-2} & = 3U_1 \\ U_3 - U_{3-2} & = 3U_1 \\ U_3 - U_{1} & = 3U_1 \\ (a+2b) - a & = 3a \\ 2b & = 3a \\ b & = \frac{3}{2}a \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi bentuk $ b = \frac{3}{2}a \, $ ke persamaan lainnya
$\begin{align} \frac{U_3+U_{11}}{U_9 - U_5} & = \frac{U_1 + U_3}{3} \\ \frac{( a + 2b)+( a + 10b)}{(a + 8b) - ( a + 4b)} & = \frac{a + ( a + 2b) }{3} \\ \frac{2a + 12b}{ 4b} & = \frac{2a + 2b }{3} \\ \frac{2a + 12. \frac{3}{2}a}{ 4. \frac{3}{2}a} & = \frac{2a + 2. \frac{3}{2}a }{3} \\ \frac{2a + 18a}{ 6a} & = \frac{2a + 3a }{3} \\ \frac{20a}{ 6a} & = \frac{5a }{3} \\ 30a & = 60 \\ a & = 2 \end{align}$
Sehingga $ b = \frac{3}{2}a = \frac{3}{2}.2 = 3 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ U_{10} $
$\begin{align} U_{10} & = a + 9b \\ & = 2 + 9.3 \\ & = 2 + 27 \\ & = 29 \end{align}$
Jadi, nilai $ U_{10} = 29. \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2010


Nomor 1
Jika $ 2^x = 2 - \sqrt{3} , \, $ maka $ {}^{2+\sqrt{3}} \log 4^x = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log a = 1 \, $ dan $ {}^a \log b^n = n . \, {}^a \log b $
*). Sifat Eksponen :
$ \, (a^m)^n = (a^n)^m = a^{m.n} \, $ dan $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $
$\clubsuit \, $ Memodifikasi bentuk $ \, 2^x = 2 - \sqrt{3} \, $ dengan merasionalkan sehingga sama dengan basis pada logaritmanya.
$\begin{align} 2^x & = 2 - \sqrt{3} \\ 2^x & = 2 - \sqrt{3} \times \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \\ & = \frac{2 - \sqrt{3}}{1} \times \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \\ & = \frac{4 - 3}{2 + \sqrt{3}} \\ & = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \\ & = (2 + \sqrt{3})^{-1} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} {}^{2+\sqrt{3}} \log 4^x & = {}^{2+\sqrt{3}} \log (2^2)^x \\ & = {}^{2+\sqrt{3}} \log (2^x)^2 \\ & = {}^{2+\sqrt{3}} \log [(2 + \sqrt{3})^{-1}]^2 \\ & = {}^{2+\sqrt{3}} \log (2 + \sqrt{3})^{-2} \\ & = -2 . \, {}^{2+\sqrt{3}} \log (2 + \sqrt{3}) \\ & = -2 . \, 1 \\ & = -2 \end{align}$
Jadi, diperoleh $ {}^{2+\sqrt{3}} \log 4^x = -2 . \, \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ {}^{x+y} \log 2 = a \, $ dan $ \, {}^{x-y} \log 8 = b , \, $ dengan $ 0 < y < x, \, $ maka $ {}^4 \log (x^2 - y^2) = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
*). Sifat eksponen :
$ a^n = b \rightarrow a = b^\frac{1}{n} \, $ dan $ a^m . a^n = a^{m+n} $
*). Definisi dan sifat Logaritma :
$ {}^a \log b = c \leftrightarrow a^c = b $
$ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $
$\spadesuit \, $ Memodifikasi yang diketahui
Persamaan Pertama :
$\begin{align} {}^{x+y} \log 2 & = a \rightarrow (x+y)^a = 2 \rightarrow x + y = 2^\frac{1}{a} \\ {}^{x-y} \log 8 & = b \rightarrow (x-y)^b = 8 \rightarrow x - y = 8^\frac{1}{b} \\ \rightarrow x - y & = (2^3)^\frac{1}{b} \rightarrow x - y = 2^\frac{3}{b} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk $ (x^2 - y^2) $
$\begin{align} x^2 - y^2 & = (x+y)(x-y) \\ & = 2^\frac{1}{a} \times 2^\frac{3}{b} \\ & = 2^{ \frac{1}{a} + \frac{3}{b} } \\ & = 2^\frac{3a + b}{ab} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} {}^4 \log (x^2 - y^2) & = {}^4 \log 2^\frac{3a + b}{ab} \\ & = {{}^2}^2 \log 2^\frac{3a + b}{ab} \\ & = \frac{\frac{3a + b}{ab}}{2} \times {}^2 \log 2 \\ & = \frac{3a + b}{2ab} \times 1 \\ & = \frac{3a + b}{2ab} \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^4 \log (x^2 - y^2) = \frac{3a + b}{2ab} . \, \heartsuit $

Cara II :
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
*). Sifat-sifat Logaritma :
$ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} $
$ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $
$ {}^a \log (b.c)) = {}^a \log b + {}^a \log c $
$\spadesuit \, $ Memodifikasi yang diketahui
Persamaan Pertama :
$\begin{align} {}^{x+y} \log 2 & = a \rightarrow {}^2 \log (x+y) = \frac{1}{a} \end{align}$
Persamaan kedua :
$\begin{align} {}^{x-y} \log 8 & = b \rightarrow {}^8 \log (x-y) = \frac{1}{b} \\ \rightarrow {{}^2}^3 \log (x-y) & = \frac{1}{b} \rightarrow \frac{1}{3} {}^2 \log (x-y) = \frac{1}{b} \\ \rightarrow {}^2 \log (x-y) & = \frac{3}{b} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} {}^4 \log (x^2 - y^2) & = {{}^2}^2 \log (x+y)(x-y) \\ & = \frac{1}{2} {}^2 \log (x+y)(x-y) \\ & = \frac{1}{2} [{}^2 \log (x+y) + {}^2 \log (x-y) ] \\ & = \frac{1}{2} [ \frac{1}{a} + \frac{3}{b} ] \\ & = \frac{1}{2} [ \frac{3a + b}{ab} ] \\ & = \frac{3a + b}{2ab} \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^4 \log (x^2 - y^2) = \frac{3a + b}{2ab} . \, \heartsuit $

Nomor 3
Jika akar-akar persamaan $ \frac{x^2 + ax}{bx-2} = \frac{m+2}{m-2} \, $ berlawanan dan $ a \neq b \, $ maka nilai $ m \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar pada persamaan kuadrat (PK),
Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ memiliki akar-akar berlawanan dengan syarat $ b = 0 $
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan kuadratnya dengan kali silang
$\begin{align} & \frac{x^2 + ax}{bx-2} = \frac{m+2}{m-2} \\ & (x^2 + ax).(m-2) = (m+2).(bx - 2) \\ & (m-2)x^2 + (m-2)ax = (m+2)bx - 2(m+2) \\ & (m-2)x^2 + (m-2)ax - (m+2)bx + 2(m+2) = 0 \\ & (m-2)x^2 + [(m-2)a - (m+2)b]x + 2(m+2) = 0 \end{align}$
artinya $ a = m - 2 , \, b = [(m-2)a - (m+2)b] \, \, \, \, $ dan $ c = 2(m+2) $
$\clubsuit \, $ Syarat akar-akar berlawanan : $ b = 0 $
$\begin{align} b & = 0 \\ [(m-2)a - (m+2)b] & = 0 \\ ma - 2a - mb - 2b & = 0 \\ m(a - b) - 2(a+b) & = 0 \\ m(a - b) & = 2(a+b) \\ m & = \frac{2(a+b)}{(a - b)} \end{align}$
Jadi, kita peroleh $ m = \frac{2(a+b)}{(a - b)} . \, \heartsuit $
Nomor 4
Grafik fungsi kuadrat $ y = f(x) \, $ mempunyai titik puncak $(-1,8) $ dan memotong sumbu X di $(x_1,0) $ dan $ (x_2,0) $ . Jika $ x_1.x_2 = -3 \, $ , maka grafik tersebut memotong sumbu Y di ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar pada fungsi kuadrat (FK)
*). Fungsi kuadrat diketahui titik puncak $(x_p,y_p) $ :
FK : $ y = a(x-x_p)^2 + y_p $
*). Fungsi $ y = ax^2 + bx + c \, $ memotong sumbu X di $(x_1,0) \, $ dan $ (x_2 , 0 ) \, $ , maka $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $ .
$\spadesuit \, $ FK dengan titik puncak $(x_p,y_p) = (-1,8) $
$\begin{align} y & = a(x-x_p)^2 + y_p \\ y & = a(x-(-1))^2 + 8 \\ y & = a(x+1)^2 + 8 \\ y & = a(x^2 + 2x + 1) + 8 \\ y & = ax^2 + 2ax + a + 8 \\ y & = ax^2 + 2ax + (a + 8) \end{align}$
$\spadesuit \, $ FK $ \, \, y = ax^2 + 2ax + (a + 8) \, $ memotong sumbu X ,
maka $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} \rightarrow x_1.x_2 = \frac{a+8}{a} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} x_1.x_2 & = -3 \\ \frac{a+8}{a} & = -3 \\ a + 8 & = -3a \\ 4a & = -8 \\ a & = -2 \end{align}$
Sehingga FK nya menjadi :
$ y = ax^2 + 2ax + (a + 8) \rightarrow y = -2x^2 + 2.(-2)x + (-2 + 8) $
$ y = -2x^2 - 4x + 6 $
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong sumbu Y dengan substitusi $ x = 0 $
$\begin{align} x = 0 \rightarrow y & = -2x^2 - 4x + 6 \\ y & = -2.0^2 - 4.0 + 6 \\ y & = 0 - 0 + 6 \\ y & = 6 \end{align}$
Jadi, titik potong sumbu Y adalah $ \, (0,6) . \, \heartsuit $
Nomor 5
Salah satu nilai $ x \, $ yang memenuhi sistem persamaan $ xy+y^2 = 0 \, $ dan $ x-2y = 3 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Memodifikasi Persamaan pertama :
$ x-2y = 3 \rightarrow y = \frac{x-3}{2} \, $ ....pers(i)
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{align} xy+y^2 & = 0 \\ x . (\frac{x-3}{2} ) + (\frac{x-3}{2} )^2 & = 0 \\ \frac{x^2-3x}{2} + \frac{x^2 - 6x + 9}{4} & = 0 \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 2(x^2-3x) + (x^2 - 6x + 9) & = 0 \\ 2x^2- 6x + (x^2 - 6x + 9) & = 0 \\ 3x^2 - 12x + 9 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x^2 - 4x + 3 & = 0 \\ (x - 1)(x - 3) & = 0 \\ x = 1 \vee x & = 3 \end{align}$
Jadi, salah satu nilai $ x \, $ adalah 1. $ \, \heartsuit$

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)