Soal yang Akan Dibahas
Semua nilai $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan
$ \left({}^2 \log (x+6)\right)\left({}^{x^2-3} \log 8 \right) + \left({}^{x^2-3} \log 8 \right) > 3 \, $
berada pada ....
A). $ -3 < x < -2 \vee 2 < x < 5 \, $
B). $-5 < x < -2 \vee 2 < x < 3 \, $
C). $ -3 < x < -\sqrt{3} \vee \sqrt{3} < x < 5 \, $
D). $ x < -2 \vee x > 2 \, $
E). $ 2 < x < 5 $
A). $ -3 < x < -2 \vee 2 < x < 5 \, $
B). $-5 < x < -2 \vee 2 < x < 3 \, $
C). $ -3 < x < -\sqrt{3} \vee \sqrt{3} < x < 5 \, $
D). $ x < -2 \vee x > 2 \, $
E). $ 2 < x < 5 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar Pertidaksamaan Logaritma
*). Syarat Logaritma :
$ {}^{f(x)} \log g(x) \, $ memiliki syarat $ f(x) > 0 , \, f(x) \neq 1, \, $ dan $ g(x) > 0 $ .
*). Sifat Logaritma :
$ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
$ {}^a \log b = {{}^a}^n \log b^n \, $ (dipangkatkan sama)
$ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $
$ n. {}^a \log b = {}^a \log b^n $
*). Pertidaksamaan Logaritma :
$ {}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \, $ memiliki solusi :
Untuk $ a > 1$, maka $ f(x) > g(x) \, $ atau
untuk $ 0 < x < 1 $, maka $ f(x) < g(x) $.
*). Syarat Logaritma :
$ {}^{f(x)} \log g(x) \, $ memiliki syarat $ f(x) > 0 , \, f(x) \neq 1, \, $ dan $ g(x) > 0 $ .
*). Sifat Logaritma :
$ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
$ {}^a \log b = {{}^a}^n \log b^n \, $ (dipangkatkan sama)
$ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $
$ n. {}^a \log b = {}^a \log b^n $
*). Pertidaksamaan Logaritma :
$ {}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \, $ memiliki solusi :
Untuk $ a > 1$, maka $ f(x) > g(x) \, $ atau
untuk $ 0 < x < 1 $, maka $ f(x) < g(x) $.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Memodifikasi pertidaksamaan dengan sifat-sifat logaritma
$ \begin{align} \left({}^2 \log (x+6)\right)\left({}^{x^2-3} \log 8 \right) + \left({}^{x^2-3} \log 8 \right) & > 3 \\ \left({}^{x^2-3} \log 8 \right) [\left({}^2 \log (x+6)\right) + 1 ] & > 3 \\ \left({}^{x^2-3} \log 2^3 \right) [\left({}^2 \log (x+6)\right) + {}^2 \log 2 ] & > 3 \\ 3\left({}^{x^2-3} \log 2 \right) .\left({}^2 \log 2(x+6)\right) & > 3 \\ 3\left({}^{x^2-3} \log 2(x+6)\right) & > 3 \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ {}^{x^2-3} \log 2(x+6) & > 1 \\ {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \end{align} $
$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=3 \Rightarrow {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \\ {}^{3^2-3} \log (2.3 + 12) & > {}^{3^2-3} \log 3^2-3 \\ {}^6 \log 18 & > {}^6 \log 6 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=3$ BENAR, opsi yang salah adalah B dan D.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=2 \Rightarrow {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \\ {}^{2^2-3} \log (2.2 + 12) & > {}^{2^2-3} \log 2^2-3 \\ {}^1 \log 14 & > {}^1 \log 1 \\ \text{(SALAH karena basis } \neq 1) & \end{align}$
yang ada $x=2$ SALAH, opsi yang salah adalah C.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=-\frac{5}{2} \Rightarrow {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \\ {}^{(-\frac{5}{2})^2-3} \log (2.(-\frac{5}{2}) + 12) & > {}^{(-\frac{5}{2})^2-3} \log (-\frac{5}{2})^2-3 \\ {}^\frac{13}{4} \log 7 & > {}^\frac{13}{4} \log \frac{13}{4} \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x= -\frac{5}{2}$ BENAR, opsi yang salah adalah E.
Jadi, opsi yang benar adalah A (yang tersisa) yaitu
$HP= \{ -3 < x < -2 \} \vee \{ 2 < x < 5 \} . \heartsuit$
*). Memodifikasi pertidaksamaan dengan sifat-sifat logaritma
$ \begin{align} \left({}^2 \log (x+6)\right)\left({}^{x^2-3} \log 8 \right) + \left({}^{x^2-3} \log 8 \right) & > 3 \\ \left({}^{x^2-3} \log 8 \right) [\left({}^2 \log (x+6)\right) + 1 ] & > 3 \\ \left({}^{x^2-3} \log 2^3 \right) [\left({}^2 \log (x+6)\right) + {}^2 \log 2 ] & > 3 \\ 3\left({}^{x^2-3} \log 2 \right) .\left({}^2 \log 2(x+6)\right) & > 3 \\ 3\left({}^{x^2-3} \log 2(x+6)\right) & > 3 \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ {}^{x^2-3} \log 2(x+6) & > 1 \\ {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \end{align} $
$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=3 \Rightarrow {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \\ {}^{3^2-3} \log (2.3 + 12) & > {}^{3^2-3} \log 3^2-3 \\ {}^6 \log 18 & > {}^6 \log 6 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=3$ BENAR, opsi yang salah adalah B dan D.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=2 \Rightarrow {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \\ {}^{2^2-3} \log (2.2 + 12) & > {}^{2^2-3} \log 2^2-3 \\ {}^1 \log 14 & > {}^1 \log 1 \\ \text{(SALAH karena basis } \neq 1) & \end{align}$
yang ada $x=2$ SALAH, opsi yang salah adalah C.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=-\frac{5}{2} \Rightarrow {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \\ {}^{(-\frac{5}{2})^2-3} \log (2.(-\frac{5}{2}) + 12) & > {}^{(-\frac{5}{2})^2-3} \log (-\frac{5}{2})^2-3 \\ {}^\frac{13}{4} \log 7 & > {}^\frac{13}{4} \log \frac{13}{4} \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x= -\frac{5}{2}$ BENAR, opsi yang salah adalah E.
Jadi, opsi yang benar adalah A (yang tersisa) yaitu
$HP= \{ -3 < x < -2 \} \vee \{ 2 < x < 5 \} . \heartsuit$
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.