Soal yang Akan Dibahas
Jika $ A^{2x} = 2 $, maka
$ \frac{A^{5x} - A^{-5x}}{A^{3x} + A^{-3x} } = .... $
A). $\frac{31}{18} \, $ B). $\frac{31}{9} \, $ C). $ \frac{32}{18} \, $ D). $ \frac{33}{9} \, $ E). $ \frac{33}{18} $
A). $\frac{31}{18} \, $ B). $\frac{31}{9} \, $ C). $ \frac{32}{18} \, $ D). $ \frac{33}{9} \, $ E). $ \frac{33}{18} $
$\spadesuit $ Konsep Dasar Eksponen
*). Sifat-sifat eksponen :
$ \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} $
$ (a^m)^n = a^{m.n} = (a^n)^m $
$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
$ a^m . a^n = a^{m+n} $
*). Bentuk pengkuadratan :
$ (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $
$ (a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab $
*). Sifat-sifat eksponen :
$ \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} $
$ (a^m)^n = a^{m.n} = (a^n)^m $
$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
$ a^m . a^n = a^{m+n} $
*). Bentuk pengkuadratan :
$ (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $
$ (a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Kita kuadratkan soalnya dan gunakan $ A^{2x} = 2 $ :
$ \begin{align} \left( \frac{A^{5x} - A^{-5x}}{A^{3x} + A^{-3x} } \right)^2 & = \frac{(A^{5x} - A^{-5x})^2}{(A^{3x} + A^{-3x} )^2} \\ & = \frac{(A^{5x})^2 + (A^{-5x})^2 - 2 . A^{5x} . A^{-5x}}{(A^{3x})^2 + (A^{-3x})^2 + 2 . A^{3x} . A^{-3x}} \\ & = \frac{(A^{2x})^5 + (A^{2x})^{-5} - 2 . A^{5x + (-5x)}}{(A^{2x})^3 + (A^{2x})^{-3} + 2 . A^{3x + (-3x)} } \\ & = \frac{(2)^5 + (2)^{-5} - 2 . A^{0}}{(2)^3 + (2)^{-3} + 2 . A^{0} } \\ & = \frac{32 + \frac{1}{2^5} - 2 . 1}{8 + \frac{1}{2^3} + 2 . 1} \\ & = \frac{32 + \frac{1}{32} - 2 }{8 + \frac{1}{8} + 2 } \\ & = \frac{32 + \frac{1}{32} - 2 }{8 + \frac{1}{8} + 2 } \times \frac{32}{32} \\ & = \frac{32 \times 32 + 1 - 2 \times 32 }{32 \times 8 + 4 + 2 \times 32 } \\ \left( \frac{A^{5x} - A^{-5x}}{A^{3x} + A^{-3x} } \right)^2 & = \frac{ 961 }{324} \\ \frac{A^{5x} - A^{-5x}}{A^{3x} + A^{-3x} } & = \sqrt{ \frac{ 961 }{324} } \\ & = \frac{ 31 }{18} \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{A^{5x} - A^{-5x}}{A^{3x} + A^{-3x} } = \frac{ 31 }{18} . \, \heartsuit $
*). Kita kuadratkan soalnya dan gunakan $ A^{2x} = 2 $ :
$ \begin{align} \left( \frac{A^{5x} - A^{-5x}}{A^{3x} + A^{-3x} } \right)^2 & = \frac{(A^{5x} - A^{-5x})^2}{(A^{3x} + A^{-3x} )^2} \\ & = \frac{(A^{5x})^2 + (A^{-5x})^2 - 2 . A^{5x} . A^{-5x}}{(A^{3x})^2 + (A^{-3x})^2 + 2 . A^{3x} . A^{-3x}} \\ & = \frac{(A^{2x})^5 + (A^{2x})^{-5} - 2 . A^{5x + (-5x)}}{(A^{2x})^3 + (A^{2x})^{-3} + 2 . A^{3x + (-3x)} } \\ & = \frac{(2)^5 + (2)^{-5} - 2 . A^{0}}{(2)^3 + (2)^{-3} + 2 . A^{0} } \\ & = \frac{32 + \frac{1}{2^5} - 2 . 1}{8 + \frac{1}{2^3} + 2 . 1} \\ & = \frac{32 + \frac{1}{32} - 2 }{8 + \frac{1}{8} + 2 } \\ & = \frac{32 + \frac{1}{32} - 2 }{8 + \frac{1}{8} + 2 } \times \frac{32}{32} \\ & = \frac{32 \times 32 + 1 - 2 \times 32 }{32 \times 8 + 4 + 2 \times 32 } \\ \left( \frac{A^{5x} - A^{-5x}}{A^{3x} + A^{-3x} } \right)^2 & = \frac{ 961 }{324} \\ \frac{A^{5x} - A^{-5x}}{A^{3x} + A^{-3x} } & = \sqrt{ \frac{ 961 }{324} } \\ & = \frac{ 31 }{18} \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{A^{5x} - A^{-5x}}{A^{3x} + A^{-3x} } = \frac{ 31 }{18} . \, \heartsuit $
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