Soal yang Akan Dibahas
Luas minimum segitiga yang dapat dibentuk
oleh garis lurus yang melalui titik (4, 3) dengan
sumbu-sumbu koordinat adalah ....
A). $ 12 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 20 \, $ D). $ 24 \, $ E). $ 26 $
A). $ 12 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 20 \, $ D). $ 24 \, $ E). $ 26 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ mencapai minimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $.
*). Turunan fungsi pecahan :
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime .V + U . V^\prime }{V^2} $
*). Persamaan garis lurus yang memotong sumbu X dan sumbu Y seperti gambar berikut ini :
Persamaan garisnya adalah : $ ax + by = ab $
*). Fungsi $ y = f(x) $ mencapai minimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $.
*). Turunan fungsi pecahan :
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime .V + U . V^\prime }{V^2} $
*). Persamaan garis lurus yang memotong sumbu X dan sumbu Y seperti gambar berikut ini :
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Membuat segitiga dengan garis lurus melalui titik (4,3) dan memotong sumbu-sumbu :
Kita misalkan panjang alas segitiga AOB adalah $ b $ dan tinggi segitiganya adalah $ a $.
Sehingga persamaan garis lurusnya :
$ ax + by = ab $
*). Substitusi titik (4,3) yang dilalui oleh garis :
$ \begin{align} (x,y)=(4,3) \rightarrow ax + by & = ab \\ 4a + 3b & = ab \\ 4a & = ab - 3b \\ 4a & = b(a - 3) \\ b & = \frac{4a}{a-3} \end{align} $
*). Luas segitiga AOB :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} \\ & = \frac{1}{2} \times b \times a \\ & = \frac{1}{2} \times \frac{4a}{a-3} \times a \\ & = \frac{2a^2}{a-3} \\ f(a) & = \frac{2a^2}{a-3} \end{align} $
*). Menentukan turunan $ f(a) $ :
$ \begin{align} f(a) & = \frac{2a^2}{a-3} = \frac{U}{V} \\ U & = 2a^2 \rightarrow U^\prime = 4a \\ V & = a - 3 \rightarrow V^\prime = 1 \\ f^\prime (a) & = \frac{U^\prime .V + U . V^\prime }{V^2} \\ & = \frac{4a.(a-3) + 2a^2. 1}{(a-3)^2} \\ & = \frac{2a^2 - 12a}{(a-3)^2} \\ \end{align} $
*). Syarat minimum : turunan pertama = 0
$ \begin{align} f^\prime (a) & = 0 \\ \frac{2a^2 - 12a}{(a-3)^2} & = 0 \\ 2a^2 - 12a & = 0 \\ 2a(a - 6) & = 0 \\ a = 0 \vee a & = 6 \end{align} $
yang memenuhi $ a = 6 $ karena panjang tidak nol.
Sehingga : $ b = \frac{4a}{a-3} = \frac{4 . 6}{6-3} = 8 $
Artinya luas segitiga AOB akan minimum pada saat $ a = 6 $ dan $ b = 8 $.
*). Menentukan Luas Minimum segitiga
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} \\ & = \frac{1}{2} \times b \times a \\ & = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 \\ & = 24 \end{align} $
Jadi, luas segitiga minimumnya adalah 24. $ \, \heartsuit $
*). Membuat segitiga dengan garis lurus melalui titik (4,3) dan memotong sumbu-sumbu :
Kita misalkan panjang alas segitiga AOB adalah $ b $ dan tinggi segitiganya adalah $ a $.
Sehingga persamaan garis lurusnya :
$ ax + by = ab $
*). Substitusi titik (4,3) yang dilalui oleh garis :
$ \begin{align} (x,y)=(4,3) \rightarrow ax + by & = ab \\ 4a + 3b & = ab \\ 4a & = ab - 3b \\ 4a & = b(a - 3) \\ b & = \frac{4a}{a-3} \end{align} $
*). Luas segitiga AOB :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} \\ & = \frac{1}{2} \times b \times a \\ & = \frac{1}{2} \times \frac{4a}{a-3} \times a \\ & = \frac{2a^2}{a-3} \\ f(a) & = \frac{2a^2}{a-3} \end{align} $
*). Menentukan turunan $ f(a) $ :
$ \begin{align} f(a) & = \frac{2a^2}{a-3} = \frac{U}{V} \\ U & = 2a^2 \rightarrow U^\prime = 4a \\ V & = a - 3 \rightarrow V^\prime = 1 \\ f^\prime (a) & = \frac{U^\prime .V + U . V^\prime }{V^2} \\ & = \frac{4a.(a-3) + 2a^2. 1}{(a-3)^2} \\ & = \frac{2a^2 - 12a}{(a-3)^2} \\ \end{align} $
*). Syarat minimum : turunan pertama = 0
$ \begin{align} f^\prime (a) & = 0 \\ \frac{2a^2 - 12a}{(a-3)^2} & = 0 \\ 2a^2 - 12a & = 0 \\ 2a(a - 6) & = 0 \\ a = 0 \vee a & = 6 \end{align} $
yang memenuhi $ a = 6 $ karena panjang tidak nol.
Sehingga : $ b = \frac{4a}{a-3} = \frac{4 . 6}{6-3} = 8 $
Artinya luas segitiga AOB akan minimum pada saat $ a = 6 $ dan $ b = 8 $.
*). Menentukan Luas Minimum segitiga
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} \\ & = \frac{1}{2} \times b \times a \\ & = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 \\ & = 24 \end{align} $
Jadi, luas segitiga minimumnya adalah 24. $ \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.