Kode 381 Pembahasan Suku Banyak Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Sisa pembagian $ x^4 + px^3 + qx^2 - 8 \, $ oleh $ x^2-2x-3 \, $ adalah $ 45x+37$. Nilai $ p $ dan $ q $ adalah .....
A). $ p=2, q=3 \, $ B). $ p=-2, q=-3 \, $
C). $ p=3, q=2 \, $ D). $ p=-3, q=-2 \, $
E). $ p=-3, q=2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Suku Banyak atau polinomial
*). Teorema sisa
$ \frac{f(x)}{x-a} \rightarrow \text{ sisa } = f(a) $
artinya sisanya diperoleh dengan mengganti $ x = a \, $ yaitu akar dari pembaginya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
$P(x) : (x^2-2x-3) \, $ bersisa $(45x+37) $.
dengan $ P(x) = x^4 + px^3 + qx^2 - 8 $
$ \frac{P(x)}{x^2-2x-3} = \frac{P(x)}{(x+1)(x-3)} = \left\{ \begin{array}{c} \text{sisa} = P(-1) \\ \text{sisa} = P(3) \end{array} \right. $
artinya dengan sisa = $ 45x+37 \, $ dan $ P(x) $ , kita peroleh :
Persamaan Pertama :
$\begin{align} \text{sisa} & = P(-1) \\ P(-1) & = \text{sisa} \\ (-1)^4 + p.(-1)^3 + q.(-1)^2 - 8 & = 45 . (-1) + 37 \\ 1 - p + q - 8 & = -8 \\ -p + q & = -1 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
Persamaan Kedua :
$\begin{align} \text{sisa} & = P(3) \\ P(3) & = \text{sisa} \\ (3)^4 + p.(3)^3 + q.(3)^2 - 8 & = 45 . (3) + 37 \\ 81 + 27 p + 9 q - 8 & = 172 \\ 27p + 9q & = 99 \\ 3p + q & = 11 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan (ii) :
$ \begin{array}{cc} -p + q = -1 & \\ 3p + q = 11 & - \\ \hline -4p = -12 & \\ p = 3 & \end{array} $
Pers(i) : $ -p + q = -1 \rightarrow -3 + q = -1 \rightarrow q = 2 $
Jadi, nilai $ p= 3 \, $ dan $ q = 2 . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 381 Pembahasan Pertidaksamaan Mutlak Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Semua bilangan real $ x \, $ yang memenuhi $ |2x+1| < 5 - |2x| \, $ adalah ....
A). $ -\frac{3}{2} < x < 1 \, $ B). $ -\frac{5}{2} < x < 3 \, $
C). $ -\frac{7}{2} < x < 5 \, $ D). $ x < -\frac{3}{2} \vee x > 2 $
E). $ x < -\frac{5}{2} \vee x > 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Bentuk Mutlak
*). Definisi nilai mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{ untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{ untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menjabarkan masing-masing bentuk mutlaknya :
$ |2x+1| = \left\{ \begin{array}{ccc} (2x+1) & , \text{ untuk } 2x + 1 \geq 0 & \rightarrow x \geq -\frac{1}{2} \\ -(2x+1) & , \text{ untuk } 2x+ 1 < 0 & \rightarrow x < -\frac{1}{2} \end{array} \right. $
$ |2x| = \left\{ \begin{array}{ccc} (2x) & , \text{ untuk } 2x \geq 0 & \rightarrow x \geq 0 \\ -2x & , \text{ untuk } 2x < 0 & \rightarrow x < 0 \end{array} \right. $
Sehingga pembatas nilai $ x \, $ dari kedua bentuk mutlak adalah untuk $ x = -\frac{1}{2} \, $ dan $ x = 0 $. Ini artinya terbentuk tiga daerah yaitu :
Daerah I untuk $ x < -\frac{1}{2} $ ,
Daerah II untuk $ -\frac{1}{2} \leq x < 0 $ ,
Daerah III untuk $ x \geq 0 $ ,
*). Menyelesaikan soal berdasarkan daerah dan definisinya :
Soal mula-mula : $ |2x+1| < 5 - |2x| $
-). Daerah I : untuk $ x < -\frac{1}{2} $,
maka $ |2x+1| = -(2x+1) \, $ dan $ |2x| = -2x $
$\begin{align} |2x+1| & < 5 - |2x| \\ -(2x+1) & < 5 - [-2x] \\ -2x-1 & < 5 + 2x \\ - 4x & < 6 \, \, \, \, \, \text{(bagi -4, tanda dibalik)} \\ x & > \frac{6}{-4} \\ x & > -\frac{3}{2} \end{align} $
Karena daerah I untuk $ x < -\frac{1}{2} $, maka solusinya :
HP1 = $ \{ -\frac{3}{2} < x < -\frac{1}{2} \} $
-). Daerah II : untuk $ -\frac{1}{2} \leq x < 0 $,
maka $ |2x+1| = (2x+1) \, $ dan $ |2x| = -2x $
$\begin{align} |2x+1| & < 5 - |2x| \\ (2x+1) & < 5 - [-2x] \\ 2x+1 & < 5 + 2x \\ 1 & < 5 \, \, \, \, \, \text{(Benar)} \end{align} $
Artinya untuk semua $ x \, $ di daerah II benar, sehingga
HP2 = $ \{ -\frac{1}{2} \leq x < 0 \} $
-). Daerah III : untuk $ x \geq 0 $,
maka $ |2x+1| = (2x+1) \, $ dan $ |2x| = 2x $
$\begin{align} |2x+1| & < 5 - |2x| \\ (2x+1) & < 5 - [2x] \\ 4x & < 4 \\ x & < 1 \end{align} $
Karena daerah III untuk $ x \geq 0 $, maka solusinya :
HP3 = $ \{ 0 \leq x < 1 \} $
*). Solusi keseluruhannya :
HP = HP1 $ \cap $ HP2 $ \cap $ HP3
HP = $ \{ -\frac{3}{2} < x < 1 \} $
Jadi, solusinya adalah $ \{ -\frac{3}{2} < x < 1 \} . \, \heartsuit $

$\clubsuit $ Pembahasan
Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow |2x+1| & < 5 - |2x| \\ |2.0+1| & < 5 - |2.0| \\ 1 & < 5 \\ \text{(Benar)} & \end{align}$
yang ada $x=0$ benar, opsi yang salah adalah D dan E.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=1 \Rightarrow |2x+1| & < 5 - |2x| \\ |2.1+1| & < 5 - |2.1| \\ 3 & < 3 \\ \text{(Salah)} & \end{align}$
yang ada $x=1$ salah, opsi yang salah adalah B dan C.
Sehingga opsi yang tersisa benar adalah opsi A, artinya jawabannya A.
Jadi, solusinya adalah $ \{ -\frac{3}{2} < x < 1 \} . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 381 Pembahasan Dimensi Tiga Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui T.ABCD merupakan limas beraturan dengan alas bujur sangkar. Titik E pada TA dengan $ TE:EA = 2 : 3 $ , titik F pada TB dengan $ TF:FB = 7:3$. Jika bidang yang melalui EF dan sejajar BC memotong TC dan TD berturut-turut di G dan H, maka $ EH : FG = .... $
A). $ \frac{9}{8} \, $ B). $ \frac{5}{8} \, $ C). $ \frac{4}{8} \, $ D). $ \frac{3}{8} \, $ E). $ \frac{1}{8} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Dimensi Tiga
*). Sebuah segitiga ABC dimana salah satu sudutnya $ 60^\circ \, $ dan segitiga tersebut sama kaki, maka pasti segitiga ABC adalah segitiga sama sisi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar.
Misalkan panjang rusuk limasnya adalah 10. Panjang semua rusuk sama karena bentuknya limas beraturan, sehingga sisi tegaknya adalah segitiga sama sisi.
 
Agar Bidang EFGH sejajar dengan BC, maka $ TE = TH \, $ dan $ TF = TG$.
*). Menentukan panjang beberapa rusuk.
perbandingan $ TE:EA = 2 : 3 \rightarrow TE = \frac{2}{5} \times TA = \frac{2}{5} \times 10 = 4 $
Panjang $ EA = TA - TE = 10 - 4 = 6 $
perbandingan $ TF:FB = 7:3 \rightarrow TF = \frac{7}{10} \times TB = \frac{7}{10} \times 10 = 7 $
Panjang $ FB = TB - TF = 10 - 7 = 3 $
*). Perhatikan segitiga TEH.
Karena segitiga TAD sama sisi, maka sudut ATD = $ 60^\circ \, $ dan segitiga TEH sama kaki, sehingga segitiga TEH juga sama sisi yang artinya $ EH = 4 $.
*). Perhatikan segitiga TFG.
Karena segitiga TBC sama sisi, maka sudut BTC = $ 60^\circ \, $ dan segitiga TFG sama kaki, sehingga segitiga TFG juga sama sisi yang artinya $ FG = 7 $.
*). Perbandingan EH dan FG .
Perbandingan $ EH : FG = 4 : 7 $.
Jadi, perbandingan EH dan FG adalah $ 4 : 7 . \, \heartsuit $
(Tidak ada jawabannya).

$\clubsuit $ Pembahasan
Cara II : Konsep kesebangunan dua segitiga.
*). Misalkan kita anggap tidak semua rusuknya sama panjang, sehingga hanya rusuk alasnya saja yang sama karena beraturan. Misalkan panjang rusuk alas adalah $ a $.
*). Gambar segitiga TAD dan segitiga TBC
 
*). Perhatikan segitiga TAD, Segitiga TEH sebangun dengan segitiga TAD :
$\begin{align} \frac{EH}{AD} & = \frac{TE}{TA} \\ \frac{EH}{a} & = \frac{2}{5} \\ EH & = \frac{2}{5} a \\ \end{align} $
*). Perhatikan segitiga TBC, Segitiga TFG sebangun dengan segitiga TBC :
$\begin{align} \frac{FG}{BC} & = \frac{TG}{TC} \\ \frac{FG}{a} & = \frac{7}{10} \\ FG & = \frac{7}{10} a \\ \end{align} $
*). Menentukan perbandingan EH dan FG
$\begin{align} \frac{EH}{FG} & = \frac{ \frac{2}{5} a}{\frac{7}{10} a} \\ & = \frac{2}{5} \times \frac{10}{7} \\ & = \frac{4}{7} \end{align} $
Jadi, perbandingan EH dan FG adalah $ 4 : 7 . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)