Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ g $ adalah garis singgung lingkaran $ x^2+y^2=25 $ di titik A(3,4). Jika
garis singgung tersebut ditransformasikan dengan matriks rotasi
$ \left( \begin{matrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right)$,
maka absis dari titik potong antara garis singgung lingkaran dengan
garis hasil transformasi adalah ....
A). $ \frac{7}{2} \, $ B). $ \frac{18}{5} \, $ C). $ 4 \, $ D). $ \frac{24}{5} \, $ E). $ 5 $
A). $ \frac{7}{2} \, $ B). $ \frac{18}{5} \, $ C). $ 4 \, $ D). $ \frac{24}{5} \, $ E). $ 5 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar Garis singgung Lingkaran dan Transformasi
*). Persamaan Garis singgung lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $ di titik $ (x_1,y_1) $ dengan $(x_1,y_1)$ ada pada lingkaran adalah $ x_1.x + y_1.y = r^2 $.
*). Transformasi Matriks :
$ \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = (MT) \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right)$
*). Sifat invers matriks :
$ A = BC \rightarrow C = B^{-1}.A $
*). Invers matriks :
$ D = \left(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow D^{-1} = \frac{1}{a.d - b. c } \left(\begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
*). Persamaan Garis singgung lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $ di titik $ (x_1,y_1) $ dengan $(x_1,y_1)$ ada pada lingkaran adalah $ x_1.x + y_1.y = r^2 $.
*). Transformasi Matriks :
$ \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = (MT) \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right)$
*). Sifat invers matriks :
$ A = BC \rightarrow C = B^{-1}.A $
*). Invers matriks :
$ D = \left(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow D^{-1} = \frac{1}{a.d - b. c } \left(\begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan garis singgung g pada lingkaran $ x^2 + y^2 = 25 $ di titik A(3,4)
$\begin{align} x_1.x+y_1.y & = r^2 \\ x_1.x+y_1.y & = 25 \\ 3x+4y & = 25 \end{align} $
*). Menentukan hasil transformasi garis g oleh matriks $\left(\begin{matrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right)$
$\begin{align} \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT) \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left(\begin{matrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left(\begin{matrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right)^{-1} \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \frac{1}{(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2} \left(\begin{matrix} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \frac{1}{1} \left(\begin{matrix} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left(\begin{matrix} \frac{3}{5}x^\prime - \frac{4}{5}y^\prime \\ \frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime \end{matrix} \right) \end{align} $
Sehingga kita peroleh :
$ x = \frac{3}{5}x^\prime - \frac{4}{5}y^\prime $ dan $ y = \frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime $
*). Substitusikan bentuk yang kita peroleh ke pesamaan awal g : $ 3x + 4y = 25 $ , sehingga kita peroleh bayangan (hasil transformasinya) :
$ \begin{align} 3x + 4y & = 25 \\ 3(\frac{3}{5}x^\prime - \frac{4}{5}y^\prime) + 4(\frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime) & = 25 \\ 3(\frac{3}{5}x - \frac{4}{5}y ) + 4(\frac{4}{5}x + \frac{3}{5}y ) & = 25 \\ \frac{9}{5}x - \frac{12}{5}y + \frac{16}{5}x + \frac{12}{5}y & = 25 \\ \frac{25}{5}x & = 25 \\ 5x & = 25 \\ x & = 5 \end{align} $
Jadi, absis perpotongannya adalah 5 $ . \, \heartsuit $
*). Menentukan garis singgung g pada lingkaran $ x^2 + y^2 = 25 $ di titik A(3,4)
$\begin{align} x_1.x+y_1.y & = r^2 \\ x_1.x+y_1.y & = 25 \\ 3x+4y & = 25 \end{align} $
*). Menentukan hasil transformasi garis g oleh matriks $\left(\begin{matrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right)$
$\begin{align} \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT) \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left(\begin{matrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left(\begin{matrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right)^{-1} \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \frac{1}{(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2} \left(\begin{matrix} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \frac{1}{1} \left(\begin{matrix} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left(\begin{matrix} \frac{3}{5}x^\prime - \frac{4}{5}y^\prime \\ \frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime \end{matrix} \right) \end{align} $
Sehingga kita peroleh :
$ x = \frac{3}{5}x^\prime - \frac{4}{5}y^\prime $ dan $ y = \frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime $
*). Substitusikan bentuk yang kita peroleh ke pesamaan awal g : $ 3x + 4y = 25 $ , sehingga kita peroleh bayangan (hasil transformasinya) :
$ \begin{align} 3x + 4y & = 25 \\ 3(\frac{3}{5}x^\prime - \frac{4}{5}y^\prime) + 4(\frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime) & = 25 \\ 3(\frac{3}{5}x - \frac{4}{5}y ) + 4(\frac{4}{5}x + \frac{3}{5}y ) & = 25 \\ \frac{9}{5}x - \frac{12}{5}y + \frac{16}{5}x + \frac{12}{5}y & = 25 \\ \frac{25}{5}x & = 25 \\ 5x & = 25 \\ x & = 5 \end{align} $
Jadi, absis perpotongannya adalah 5 $ . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.