Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f $ dan $ g $ dengan $ f(x) = f(x+a) $ ,
$ f(x) = x^5 + 2016x^3 \, $ untuk $ 0 < x < a $ , dan
$ g(x) = g(x+2a) $ , $ g(x) = x^5 + 2016x^3 \, $ untuk $ -a < x \leq a $ ,
dan $ \int \limits_0^a f(x) dx = b $. Nilai dari
$ \int \limits_0^{3a} (f(x) + g(x)) dx $ adalah ....
A). $ 2a \, $ B). $ 3a \, $ C). $ 4b \, $ D). $ 5b \, $ E). $ 6b $
A). $ 2a \, $ B). $ 3a \, $ C). $ 4b \, $ D). $ 5b \, $ E). $ 6b $
$\spadesuit $ Konsep Dasar Integral
*). Sifat-sifat Integral tertentu :
i). $ \int \limits_a^c f(x) dx = \int \limits_a^b f(x) dx + \int \limits_b^c f(x) dx $
ii). $ \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_{a-k}^{b-k} f(x+k) dx $
iii). $ \int \limits_a^b [f(x) + g(x)] dx = \int \limits_a^b f(x) dx + \int \limits_a^b g(x) dx $
iv). Jika $ g(x) $ adalah fungsi ganjil, maka $ \int \limits_{-a}^a g(x) dx = 0 $
*). Suatu fungsi $ g(x) $ disebut fungsi ganjil jika $ g(-x) = - g(x) $.
Pada soal ini diketahui $ g(x) = x^5 + 2016x^3 $ , sehingga
$ \begin{align} g(-x) & = (-x)^5 + 2016(-x)^3 \\ & = -(x)^5 -2016(x)^3 \\ & = -[x^5 +2016x^3 ] \\ & = -g(x) \end{align} $
Artinya fungsi $ g(x) = x^5 + 2016x^3 $ adalah fungsi ganjil sehingga $ \int \limits_{-a}^a g(x) dx = 0 $
*). Sifat-sifat Integral tertentu :
i). $ \int \limits_a^c f(x) dx = \int \limits_a^b f(x) dx + \int \limits_b^c f(x) dx $
ii). $ \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_{a-k}^{b-k} f(x+k) dx $
iii). $ \int \limits_a^b [f(x) + g(x)] dx = \int \limits_a^b f(x) dx + \int \limits_a^b g(x) dx $
iv). Jika $ g(x) $ adalah fungsi ganjil, maka $ \int \limits_{-a}^a g(x) dx = 0 $
*). Suatu fungsi $ g(x) $ disebut fungsi ganjil jika $ g(-x) = - g(x) $.
Pada soal ini diketahui $ g(x) = x^5 + 2016x^3 $ , sehingga
$ \begin{align} g(-x) & = (-x)^5 + 2016(-x)^3 \\ & = -(x)^5 -2016(x)^3 \\ & = -[x^5 +2016x^3 ] \\ & = -g(x) \end{align} $
Artinya fungsi $ g(x) = x^5 + 2016x^3 $ adalah fungsi ganjil sehingga $ \int \limits_{-a}^a g(x) dx = 0 $
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Menentukan nilai $ \int \limits_a^{3a} f(x) dx $
dengan $ f(x+a) = f(x) $ dan $ \int \limits_0^a f(x) dx = b $
$\begin{align} \int \limits_a^{3a} f(x) dx & = \int \limits_{a - a}^{3a-a} f(x+a) dx \, \, \, \, \, \text{(sifat (ii))} \\ & = \int \limits_{0}^{2a} f(x+a) dx \, \, \, \, \, \text{[ganti } f(x+a) = f(x) \, ] \\ & = \int \limits_{0}^{2a} f(x) dx \, \, \, \, \, \text{[sifat (i)]} \\ & = \int \limits_0^a f(x) dx + \int \limits_a^{2a} f(x) dx \\ & = b + \int \limits_a^{2a} f(x) dx \, \, \, \, \, \text{(sifat (ii))} \\ & = b + \int \limits_{a - a}^{2a - a} f(x+a) dx \\ & = b + \int \limits_{0}^{a} f(x+a) dx \, \, \, \, \, \text{[ganti } f(x+a) = f(x) \, ] \\ & = b + \int \limits_{0}^{a} f(x ) dx = b + b = 2b \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \int \limits_0^{3a} f(x) dx $:
$\begin{align} \int \limits_0^{3a} f(x) dx & = \int \limits_0^a f(x) dx + \int \limits_a^{3a} f(x) dx \\ & = b + 2b = 3b \end{align} $
*). Karena pada interval $ 0 < x < a $ fungsi $ f(x) = g(x) = x^5 + 2016x^3 \, $ (sama) ,
maka $ \int \limits_0^a g(x) dx = \int \limits_0^a f(x) dx = b $ .
*). Menentukan nilai $ \int \limits_0^{3a} g(x) dx $
dengan $ \int \limits_0^a g(x) dx = b $ dan $ g(x + 2a) = g(x) $
$\begin{align} \int \limits_0^{3a} g(x) dx & = \int \limits_0^a g(x) dx + \int \limits_a^{3a} g(x) dx \\ & = b + \int \limits_{a-2a}^{3a-2a} g(x+2a) dx \\ & = b + \int \limits_{-a}^{a} g(x+2a) dx \\ & = b + \int \limits_{-a}^{a} g(x) dx = b + 0 = b \end{align} $
*). Menentkan nilai $ \int \limits_0^{3a} (f(x) + g(x)) dx $ :
$\begin{align} \int \limits_0^{3a} (f(x) + g(x)) dx & = \int \limits_0^{3a} f(x) dx + \int \limits_0^{3a} g(x) dx \\ & = 3b + b \\ & = 4b \end{align} $
Jadi, nilai $ \int \limits_0^{3a} (f(x) + g(x)) dx = 4b . \, \heartsuit $
*). Menentukan nilai $ \int \limits_a^{3a} f(x) dx $
dengan $ f(x+a) = f(x) $ dan $ \int \limits_0^a f(x) dx = b $
$\begin{align} \int \limits_a^{3a} f(x) dx & = \int \limits_{a - a}^{3a-a} f(x+a) dx \, \, \, \, \, \text{(sifat (ii))} \\ & = \int \limits_{0}^{2a} f(x+a) dx \, \, \, \, \, \text{[ganti } f(x+a) = f(x) \, ] \\ & = \int \limits_{0}^{2a} f(x) dx \, \, \, \, \, \text{[sifat (i)]} \\ & = \int \limits_0^a f(x) dx + \int \limits_a^{2a} f(x) dx \\ & = b + \int \limits_a^{2a} f(x) dx \, \, \, \, \, \text{(sifat (ii))} \\ & = b + \int \limits_{a - a}^{2a - a} f(x+a) dx \\ & = b + \int \limits_{0}^{a} f(x+a) dx \, \, \, \, \, \text{[ganti } f(x+a) = f(x) \, ] \\ & = b + \int \limits_{0}^{a} f(x ) dx = b + b = 2b \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \int \limits_0^{3a} f(x) dx $:
$\begin{align} \int \limits_0^{3a} f(x) dx & = \int \limits_0^a f(x) dx + \int \limits_a^{3a} f(x) dx \\ & = b + 2b = 3b \end{align} $
*). Karena pada interval $ 0 < x < a $ fungsi $ f(x) = g(x) = x^5 + 2016x^3 \, $ (sama) ,
maka $ \int \limits_0^a g(x) dx = \int \limits_0^a f(x) dx = b $ .
*). Menentukan nilai $ \int \limits_0^{3a} g(x) dx $
dengan $ \int \limits_0^a g(x) dx = b $ dan $ g(x + 2a) = g(x) $
$\begin{align} \int \limits_0^{3a} g(x) dx & = \int \limits_0^a g(x) dx + \int \limits_a^{3a} g(x) dx \\ & = b + \int \limits_{a-2a}^{3a-2a} g(x+2a) dx \\ & = b + \int \limits_{-a}^{a} g(x+2a) dx \\ & = b + \int \limits_{-a}^{a} g(x) dx = b + 0 = b \end{align} $
*). Menentkan nilai $ \int \limits_0^{3a} (f(x) + g(x)) dx $ :
$\begin{align} \int \limits_0^{3a} (f(x) + g(x)) dx & = \int \limits_0^{3a} f(x) dx + \int \limits_0^{3a} g(x) dx \\ & = 3b + b \\ & = 4b \end{align} $
Jadi, nilai $ \int \limits_0^{3a} (f(x) + g(x)) dx = 4b . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.