Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = x\sqrt{1-x} $ , maka nilai $ a $ yang memenuhi $ f^\prime (a) = 1 $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{8}{9} \, $ C). $ 0 \, $ dan $ \frac{8}{9} $
D). $ 0 \, $ dan $ -\frac{8}{9} $ E). $ -\frac{8}{9} \, $ dan $ \frac{8}{9} $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{8}{9} \, $ C). $ 0 \, $ dan $ \frac{8}{9} $
D). $ 0 \, $ dan $ -\frac{8}{9} $ E). $ -\frac{8}{9} \, $ dan $ \frac{8}{9} $
$\spadesuit $ Konsep Dasar Turunan :
*). Rumus dasar Turunan :
$ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime.V + U.V^\prime$
$ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x}} $
*). Rumus dasar Turunan :
$ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime.V + U.V^\prime$
$ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x}} $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsi $ f(x) = x\sqrt{1-x} $ :
$ \begin{align} f(x) & = x\sqrt{1-x} = U.V \\ U & = x \rightarrow U^\prime = 1 \\ V & = \sqrt{1-x} \rightarrow V^\prime = \frac{-1}{2\sqrt{1-x}} \\ f^\prime (x) & = U^\prime . V + U . V^\prime \\ & = 1.\sqrt{1-x} + x. \frac{-1}{2\sqrt{1-x}} \\ & = \sqrt{1-x} - \frac{x}{2\sqrt{1-x}} \\ & = \frac{2\sqrt{1-x} . \sqrt{1-x} - x}{2\sqrt{1-x}} \\ & = \frac{2(1-x) - x}{2\sqrt{1-x}} \\ & = \frac{2 - 3x}{2\sqrt{1-x}} \end{align} $ .
*). Menentukan nilai $ a $ dari syarat $ f^\prime (a) = 1 $ :
$ \begin{align} f^\prime (a) & = 1 \\ \frac{2 - 3a}{2\sqrt{1-a}} & = 1 \\ 2 - 3a & = 2\sqrt{1-a} \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (2 - 3a)^2 & = (2\sqrt{1-a})^2 \\ 9a^2 - 12a + 4 & = 4 (1-a) \\ 9a^2 - 12a + 4 & = 4 - 4a \\ 9a^2 - 8a & = 0 \\ a ( 9a - 8) & = 0 \\ a = 0 \vee a & = \frac{8}{9} \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 0 \vee a = \frac{8}{9} . \, \heartsuit $
*). Menentukan turunan fungsi $ f(x) = x\sqrt{1-x} $ :
$ \begin{align} f(x) & = x\sqrt{1-x} = U.V \\ U & = x \rightarrow U^\prime = 1 \\ V & = \sqrt{1-x} \rightarrow V^\prime = \frac{-1}{2\sqrt{1-x}} \\ f^\prime (x) & = U^\prime . V + U . V^\prime \\ & = 1.\sqrt{1-x} + x. \frac{-1}{2\sqrt{1-x}} \\ & = \sqrt{1-x} - \frac{x}{2\sqrt{1-x}} \\ & = \frac{2\sqrt{1-x} . \sqrt{1-x} - x}{2\sqrt{1-x}} \\ & = \frac{2(1-x) - x}{2\sqrt{1-x}} \\ & = \frac{2 - 3x}{2\sqrt{1-x}} \end{align} $ .
*). Menentukan nilai $ a $ dari syarat $ f^\prime (a) = 1 $ :
$ \begin{align} f^\prime (a) & = 1 \\ \frac{2 - 3a}{2\sqrt{1-a}} & = 1 \\ 2 - 3a & = 2\sqrt{1-a} \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (2 - 3a)^2 & = (2\sqrt{1-a})^2 \\ 9a^2 - 12a + 4 & = 4 (1-a) \\ 9a^2 - 12a + 4 & = 4 - 4a \\ 9a^2 - 8a & = 0 \\ a ( 9a - 8) & = 0 \\ a = 0 \vee a & = \frac{8}{9} \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 0 \vee a = \frac{8}{9} . \, \heartsuit $
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