Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = x^3 - 3x^2 + a $ memotong sumbu Y di titik (0,10), maka nilai minimum $ f(x) $
untuk $ x \in [0,1]$ adalah ....
A). $ 10 \, $ B). $ 8 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 3 $
A). $ 10 \, $ B). $ 8 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 3 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar Nilai Minimum/maksimum
*). Nilai minimum suatu fungsi $ f(x) $ diperoleh pada saat $ f^\prime (x) = 0 $ dan untuk $ x $ pada interval batas yang diinginkan.
*). Uji Turunan kedua :
$ f^{\prime \prime }(x_1) > 0 \rightarrow \, $ minimum,
$ f^{\prime \prime }(x_1) = 0 \rightarrow \, $ titik belok,
$ f^{\prime \prime }(x_1) < 0 \rightarrow \, $ maksimum.
*). Nilai minimum suatu fungsi $ f(x) $ diperoleh pada saat $ f^\prime (x) = 0 $ dan untuk $ x $ pada interval batas yang diinginkan.
*). Uji Turunan kedua :
$ f^{\prime \prime }(x_1) > 0 \rightarrow \, $ minimum,
$ f^{\prime \prime }(x_1) = 0 \rightarrow \, $ titik belok,
$ f^{\prime \prime }(x_1) < 0 \rightarrow \, $ maksimum.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ a $ :
*). Substitusi titik (0,10) ke fungsi $ f(x) $ :
$\begin{align} f(x) & = x^3 - 3x^2 + a \\ y & = x^3 - 3x^2 + a \\ 10 & = 0^3 - 3.0^2 + a \\ 10 & = a \end{align} $
Sehingga fungsinya $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 10 $
dan $ f^\prime (x) = 3x^2 - 6x \, $ serta $ f^{\prime \prime } (x) = 6x - 6 $.
*). Syarat maksimum/minimum :
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 3x^2 - 6x & = 0 \\ 3x(x - 2) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 2 \end{align} $
Cek Turunan kedua :
$ \begin{align} x = 0 \rightarrow f^{\prime \prime } (0) & = 6. 0 - 6 = -6 \, \text{(maksimum)} \\ x = 2 \rightarrow f^{\prime \prime } (2) & = 6. 2 - 6 = 6 \, \text{(minimum)} \end{align} $
*). Artinya $ f(x) $ minimum untuk $ x = 2 $. Namun pada interval [0,1] tidak memuat $ x = 2 $, sehingga tinggal kita cek patas intervalnya saja yaitu 0 atau 1. Karena $ x = 0 $ jenisnya maksimum, maka tinggal cek $ x = 1 $ saja.
*). Nilai minimum $ f(x) $ saat $ x = 1 $ :
$\begin{align} f(x) & = x^3 - 3x^2 + 10 \\ f(1) & = 1^3 - 3.1^2 + 10 = 8 \end{align} $
Jadi, nilai minimum $ f(x) $ pada interval $ [0,1] $ adalah $ 8 . \, \heartsuit $
*). Menentukan nilai $ a $ :
*). Substitusi titik (0,10) ke fungsi $ f(x) $ :
$\begin{align} f(x) & = x^3 - 3x^2 + a \\ y & = x^3 - 3x^2 + a \\ 10 & = 0^3 - 3.0^2 + a \\ 10 & = a \end{align} $
Sehingga fungsinya $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 10 $
dan $ f^\prime (x) = 3x^2 - 6x \, $ serta $ f^{\prime \prime } (x) = 6x - 6 $.
*). Syarat maksimum/minimum :
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 3x^2 - 6x & = 0 \\ 3x(x - 2) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 2 \end{align} $
Cek Turunan kedua :
$ \begin{align} x = 0 \rightarrow f^{\prime \prime } (0) & = 6. 0 - 6 = -6 \, \text{(maksimum)} \\ x = 2 \rightarrow f^{\prime \prime } (2) & = 6. 2 - 6 = 6 \, \text{(minimum)} \end{align} $
*). Artinya $ f(x) $ minimum untuk $ x = 2 $. Namun pada interval [0,1] tidak memuat $ x = 2 $, sehingga tinggal kita cek patas intervalnya saja yaitu 0 atau 1. Karena $ x = 0 $ jenisnya maksimum, maka tinggal cek $ x = 1 $ saja.
*). Nilai minimum $ f(x) $ saat $ x = 1 $ :
$\begin{align} f(x) & = x^3 - 3x^2 + 10 \\ f(1) & = 1^3 - 3.1^2 + 10 = 8 \end{align} $
Jadi, nilai minimum $ f(x) $ pada interval $ [0,1] $ adalah $ 8 . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.